1、uzyz zy)0.144(024) 3.456 Pazx xzUz)288) 41.472 Pa62两种流体在压力梯度为业k的情形下在两固定的平行平板间作稳定层流流动,试导出其速度分布式。dp k。建立坐标系,将坐标原点放置在两种液体的分界面上,x轴与流动方向相同,y轴垂直于平行平板。根据题意,两流体在y轴和z轴方向的速度分量都为零,即 Uy = Uz= 0。由连续性方程知= 0,即速度分量Ux与x坐标无关。另外,由式(6 6)可以看出,在质量力忽略不计时,有p0, p0,因此,压力P只是x的函数,于是式(6 6)可简化为dux1 Pd2 2由于流体是在两无限大平行平板间作稳定层流流动,因此
2、上式中 一与一项相比可以z y忽略不计,同时,由于也=0,那么dUx0 ,于是上式可进一步简化为d2ux1 dp对于第一种流体有对于第二种流体有d2Ux11 d pkdy21 dx1d2Ux22 dxdUxidyC1Ux1GyC2 ;Ux2鬥2 Gy C2积分以上两式,得dUx2再次积分以上两式得根据边界条件确定四个积分常数:当 y = 0 时,Ux1 Ux2,得 C2当y = 0时,1 2,即1d2 dy当y = b时,ux1C2kb22-Gb。将以上所得各式联立,解得kb 2kb 2 1; C2 C2于是得到两种流体的速度分布式分别为2;kb6 3密度为 试证明:p、动力粘度为卩的薄液层在
3、重力的作用下沿倾斜平面向下作等速层流流动,(1)流速分布为(2)单位宽度流量为gsin H 3p,p, H, h, 0O(1)建立坐标系如图所示,液层厚度方向 h为自变量,由于液层的流动为不可压缩一维稳定层流流动,则 N-S方程可简化为gsin将上式整理后,两次积分得u 厘 h2sinC1h C2由边界条件:当h = 0时,0,得 C1 0 ;当h = H时,u= 0,得所以流速分布为 ugsin (h2h2)Hq 0 udhH gsin (h2h2)dh6 4 一平行于固定底面 0 0的平板,面积为A = 0.1m2,以衡速U= 0.4m/s被拖曳移动,平板与底面间有上下两层油液,上层油液的
4、深度为 m = 0.8mm,粘度 0.142N s/m2,下层油液的深度为h2= 1.2mm,粘度 遊=0.235N s/m2,求所需要的拖曳力 T。A = 0.1m2, u= 0.4m/s, m = 0.8mm , h2= 1.2mm , r = 0.142N s/m2,血=0.235N s/m2。解析一:建立坐标系如图所示,由于两层油液均作不可压缩一维稳定层流流动,则 N-S方将上式两次积分后,得程可简化为-J旳 0 Zi1 MPl c/)尹h F声蔘h 蔘蔘買声厂蓼厂声旷声寥旷#对两层油液的速度分布可分别写为U1U2C1z GC2z C2当z= 0时,u2 0,得当 z= h2 时,U1
5、 = U2, 得当 z= h1+ h2时,U1 = u,C1(h1 h2)当z= h2时,12,即2 ,1C1 2C2。将以上四式联立,可解得u( 1h1 22)h2 .;h2h1U 1 .2 h2 1C2 0代入上述速度分布式,得U 2h1 2 h2 12川2u 1 z那么,拖曳平板所需要的力为T 1A |z h1 h21 2Au0.1420.2350.1 0.43.724 N线性分布,且在垂直于板面方向的粘性切应力为一常数,即 0。因此有所以u u*u* 0hiu 1h2u*hi 2 h2 i0.4 0.142 1.2 100.19 m/s(0.8 0.235 1.2 0.142) 10T
6、 2A土 0.235 0.1 0.19 3 3.724 Nh2 1.2 106 5粘度0.05Pas的油在正圆环缝中流动,已知环缝内外半径分别为 n= 10mm , r2 =20mm,若外壁的切应力为 40N/m2,试求(1)每米长环缝的压力降; 每秒流量;流体作用在 10m长内壁上的轴向力。门=10mm , r2= 20mm ,卩=0.05Pas; w2 = 40N/m2。建立坐标系,由于ur ue 0,由连续性方程可知, 一匹 0 ;忽略质量力,N S方程可简化为dp R 山 dUx d , dux、 1 dp,dx dr rdr dr dr dx对上式进行两次积分上式,得ux 丄些 r2
7、 C1lnr C?4 dx#*止*董#上出止止止#選*盖#養止止累#根据边界条件确定积分常数:当当 r =1 时,ux0,得1 dp 2r1C1 In r1;当当r =时,uxdp 2r2C1 In r2。联立以上两式,得G dp(r22);1 d p (r2 In r1 rj In d)4In4 dx In丄空r2ln(3 rAJAln(t) ln(3 r流量计算式为riux2 r drdp r2 dx r1r2空 3|n(空)2)rrdr式中:Rm4 ri22In(二)Uln(二)詈,为单位体积流体在单位管长内流动时所造成的机械能损失,亦即单位管长上的压力损失或压力降,称为压力坡度或称比摩
8、阻。摩擦切应力分布式为dr1 dp(D2)r2dx 4dx ln如r2dx(r; r;) 2ln (乜)r1当 r= r2 时,w2=40N/m2,代入上式得到每米长环缝的压力降为0.02每秒钟的流量为Rm4Q L22 /r2丄2ln (空)r22 40(0.012 0.022)/2 ln(0.02/0.01) 0.028714.8 Pa/m/ 2 2、2(r2 r1 )ln (二)3.14 8714.88 0.050.024 0.014(0.022 0.012)2 In(0.02/0.01)1.38 10 3 m3/s流体作用在10m长内壁上的轴向力为(r;)2ln&) r10.01 0.0
9、2w1 A11 2 r丄8714.80.012 3.14 0.01 10 31.85 N的关系式,并求平板一面上的阻力。平板长为L, B, u u y(2 2 oL,宽为B。流动为不可压缩稳定流动。根据题意,对于层流附面层,由牛顿内摩擦定律得出平板板面上粘性摩擦应力为yy 0(丄)y 0附面层的动量损失厚度 3为2 01 uu )dy3 y(2 y) y(2 丿 2 1 -)dy 15将以上两式代入动量积分方程 (6 - 30)式,得到2 2 d u -15 dx上式整理后为15 dxu15x C u由边界条件:x = 0,3= 0,得 C = 0o由此得到附面层的厚度3为5.48 x 5.4
10、8x 5.48xRex. u Rex把式代入式,得到壁面上的粘性切应力为5.480.365 u 0.365x u xu2 Rex对于长度为FfL,宽度为B的平板一侧面上的总摩擦阻力为x dx 0.73B、, u3L 0.73BLL wBdx 0.365B ; u3u26-7设平板层流附面层的速度分布为sin (),试用动量积分方程式推导附面层厚度&壁面切应力T和摩阻系数Cf的表达式。:对于层流附面层,根据牛顿内摩擦定律得到平板板面上粘性摩擦应力为(且)y 0JCOS)y附面层的动量损失厚度3将以上两式代入动量积分方程)dysi n?Cy)1Si/)dy0.137(6 30)式,得到2 du 4
11、 u对上式积分得 xx = 0,8= 0,得由此得到附面层的厚度8为C= 0。4.794.79x、Rex4.79xRex2u u 0.3282 4.79 xu2 ux0.328 u2 Rexl0 wBdx平板的总摩擦阻力系数为L,宽度为B的平板一侧面上的总摩擦阻力为 l丄x 2dx0.328B .u30.656Bu3L 0.656BL2 ReL:Cf-u2BL0.656BL uReL1 u2bL1.312ReL26 8 一长为2m、宽为0.4m 的平板,以 u= 5m/s的速度在20 C的水( = 106m2/s, P=丄998.2kg/m3)中运动,若边界层内的速度分布为 Ux u以戶, 边
12、界层厚度8与沿板长方向坐标 x1 6的关系为 0.216()7x7,试求平板上的总阻力。L = 2m , B = 0.4m, u= 5m/s, v= 10 6m2/s, p= 998.2kg/m3。 (1)根据冯卡门动量积分方程,对于平板有2 d u dx-,并将ux u (丄)订代入上式,得70uux -)dy u(Sdy111560.216()7x7代入上式,2 0.0152()7x ud 20.013()7x代入动量积分方程,得2 d u - dx2 0.013 u2()(2)将w沿整个板面积分,可得平板上的总阻力计算式为L 2 7 LB wdx 0.013 u2()7B0 u 00.0
13、152 u2BL()? 0.0152u Lx 7dxu2BLReL 7(3)将已知参数代入上式,且知ReL5 2106 107,得平板上的总阻力为52 0.4 2 (107厂 30.35NFf 0.0152 u2BLReL7 0.0152 998.26 9 一块长50cm、宽15cm的光滑平板置于流速为 60cm/s的油中,已知油的比重为 0.925, 运动粘度为0.79cm2/s,试求光滑平板一面上的摩擦阻力。 L = 50cm, B = 15cm , u匸 60cm/s, S= 0.925, v= 0.79cm2/s。平板末端处的流动雷诺数为6 0.54 3797.5 5 105,整块平板
14、上均为层流附面层。0.79 10 4则平板一面上的摩擦阻力为1 10.664BL u2 ReL2 0.664 0.15 0.5 925 0.62 3797.5 2 0.269 N20 C,求离平板6 10空气以12m/s的速度流过一块顺流置放的光滑平板,如当地气温为 前缘x= 0.6m处附面层的厚度 8和壁面切应力 t。 u= 12m/s, x = 0.6m, v= 15 X10 6m2/s, p= 1.2kg/m3。12 0 6 5 5x= 0.6m处的流动雷诺数为Rex* 4.8 105 5 105,即平板上15 10 6的附面层为层流附面层。(1) x = 0.6m处附面层的厚度为x 5
15、.0x Rex2 5.00.6(4.8105)0.0043 m 4.3 mm(2) x = 0.6m处壁面切应力为w 0.332 u2 Rex20.3321.2 122(4.8 105) 2 0.0828 N/m220m、宽10m的光滑平板,空气温度为 20C,如转(1)层流附面层的长度; 层流附面层末端的厚度和壁面切应力;(3)平板末端附面层的厚度和壁面切应力; (4)板面的总摩擦阻力。L = 20m, B = 10m ,u oc 15m/s, v= 15 X10 6m2/s, p= 1.2kg/m3。6 11空气以15m/s的速度流过一块长变点的临界雷诺数采用 Rexc = 5 x 105
16、,求:(1)取 Rexc= 5 X105。由 Rexcu xc 5c 5 105,得RexcXc 一5 105 15 106150.5m即层流附面层的长度为 0.5m,平板上的附面层主要为紊流附面层。(2)计算附面层的厚度在x= 0.5m处为层流附面层;在 x= 20m处为紊流附面层。则0.5m 5.845.8415 106 5 4 10 3 m 4 mm1 15 10 6 -20m 0.382()5x 0.382 ( )5 20 0.265mu x 15 20(3)计算摩擦切应力在x= 0.5m和x= 20m处板面上的摩擦切应力分别为w20m= 0.029752 uw0.5m = .3430
17、.343 1.2 1 52 .V 15 0.515 10 6 0.131 N/m20.0297 1.2 15 5 15 2015 10 0.278N/m2(4)计算总摩擦阻力平板末端的雷诺数为 ReL7 2 10715 10混合附面层的总摩阻系数为CfM0.455(lg ReL)2.581700lg(2 107)2.58呷 2.61 10 32 10板面总摩擦阻力为12 3 1 2FfM CfM u BL 2.61 10 - 1.2 15 10 20 70.47 N226 12在15 C的静水中,以5.0m/s的速度拖曳一块长 20m、宽3m的薄板,求所需要的拖 曳力。已知:L = 20m,
18、B = 3m, u5.0m/s, v= 1.14 氷0 m2/s, p= 1000kg/m3。先确定临界转变点的位置,取 Rexc = 5 x 105。由Rexc U-Xc 5 105,得x Rex cxc5 65 10 1.14 100.114m 5.0可以认为整块薄板上的附面层均为紊流附面层。平板末端的流动雷诺数为u L 5.0 20 7ReL 6 8.77 1071.14 10 6绕流平板的总摩擦阻力系数按施利希廷公式计算,即c 0.455Cf 2 5810 3 2 17lg(8.77 107)2.58 .那么,拖曳薄板所需要的力为F 2Ff 2 Cfu2BL2 2.17 101 2-1
19、000 5.0 3 2010m的平底驳船,吃水深度为3255N6 13有一长为25m、宽为行驶,水温为20C,试估算克服其摩擦阻力所需的功率。L = 25m, B = (10+ 1.8 X)m,1.8m,在水中以 9.0km/h的速度u= 9.0km/h , v= 1.0解析:先确定临界转变点的位置,取Rexc = 5 x 105。X06m2/s, p= 1000kg/m3。沁5 105,得Rexc 5 105 1.0Xc9000/3600空 0.2 m可以认为平底驳船的外侧面上的附面层均为紊流附面层。驳船末端的流动雷诺数为u L 9000 25 6 6.253600 1.0 10 6总摩擦阻
20、力系数按施利希廷公式计算,即107f 2 58(IgReL) lg( 6.25107)2.582.275 10(9000f(3600)350kW,迎风面积为1.5m2,如绕流阻力系数为 0.3,(10 1.8 2) 25 6.043kW那么,克服驳船摩擦阻力所需要的功率为1 3 N Ffu Cf u3BL3 12.275 10 3 1000当地空气温度为25 C,不计车轮与地面的摩擦力。试估算下列情况下赛车所能达到的最大速度:(1)空气静止;(2)迎面风速为10km/h。 已知:N = 350kW, A = 1.5m2, CD = 0.3,(1)当空气静止时,由 N FDump= 1.18kg
21、/m3, u= 10km/h。1 2 CD umA umCD uA,得赛车速度为um 32NCD2 350 101.181.5109.65 m/s(2)当迎面风速 uo= 10km/h时,FDUmCD2 (u0um) A um,可得um(u0 um)2350 103通过试算,得迎面风速为CD A0.3 1.18 1.5 1.318310610km/h时的赛车速度为 um 107.8 m/s。6 15有一圆柱形烟囱高为 28m,直径为0.6m,水平风速为15m/s,空气温度为0C,求烟 囱所受的水平推力。H = 28m, d = 0.6m, u= 15m/s, p= 1.293kg/m3, v=
22、 13.2 X0 6m2/s。 圆柱形烟囱的绕流雷诺数为u d 15 0.6 5Re 6 6.82 1013.2 10 6由图6 16查得其绕流阻力系数为 CD = 1.2,因此,烟囱所受的水平推力为FD Cd1 u2A6 16高压电缆线的直径为求风作用于高压电缆线上的作用力。1.2 1.293 15 28 0.6 2932.5 N10mm,两支撑点距离为 70m,风速为20m/s,气温为10C。试d= 10mm, L = 70m,电缆线的绕流雷诺数为)= 20m/s, p= 1.25kg/m3, v= 14X10 6m2/s。屮 1.43 10414 10由图6 16查得其绕流阻力系数为Cd = 1.2,因此,风作用于高压电缆线上的作用力为6 17温为20C, 已知: 解析1 2 1FD CD u A 1.2 2 2有一水塔,上部为直径 12m1.25 202 70 0.01 210 N的球体,下部为高 30m、直径2.5m的圆柱体,如当地气最大风速为28m/s,求水塔底部所受的最大弯矩。= 28m/s, p= 1.2kg/m3, v= 15X10 6m2/s。H = 30m, d1= 2.5m , d2= 12m, 圆柱体及球体的绕流雷诺数分别为Re1u d1Re 2u d228 2.5 66 4.67 10
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