单摆与复摆文档格式.docx

1、三、 建立该知识点所经历的困难首先，伽利略实验所用的大小不同的木球、 铁球、石块、铜球，体积都较大， 并不能很好地视其为质点，且绳子与小球连接起来也有困难，对摆线的长度也有误差影响。其次，最为困难的是没有标准的计时工具。 伽利略按自己脉搏的跳动 来计时，发现它们往复运动的时间总是相等的。伽利略无法精确地得到单摆的周 期公式。惠更斯在重复伽利略的实验时发现， 单摆的等时性只是近似成立，当摆 动幅度增大时，摆的周期就会变化。惠更斯出众的数学才能帮助他解决了这一困 难。他通过精心研究从理论上证明，真正等时的摆，摆动轨迹是一条摆线他通 过严密的数学计算得到，要使摆动轨迹成一条摆线，单摆摆动时就必须按照

2、一定 的规律改变摆线悬点的位置，建立了摆运动的数学理论。四、对该知识点的描述以及我的理解单摆：设质点的质量为m，绳长为I，当绳偏离竖直方向 角时，质点受重力和 绳的张力作用，重力的切向分力 mg sin决定质点沿圆周的切向加速度，通过角动量定理得到摆角 关于时间的函数。由此可得质点的切向运动方程为d2ml 2 mg sindt2（1）式中负号表示切向加速度总与摆角 增大的方向相反。1、当很小时，sin，忽略阻力，式（1）变为mlmg整理后得（2）d2 dt2而弹簧阵子运动所满足的方程为（3）咚2x 0（2）与（3）有相同的形式，因此小角度的单摆也做简谐运动。方程（3）是一个二阶常系数线性齐次微

3、分方程，其通解为 A cos（ t式中A、 为任意常数，由初值条件给定。于是单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动cos（ t ）式中单摆的周期T 2 1g结论：当单摆做小角度振动时，单摆的周期T完全决定于振动系所以伽利略的结论：单摆的周期随摆线长度的二次方根而变动得到了验证, 并得到了进一步的修正与改进。统本身的性质，仅与重力加速度g和摆长I有关，而与摆球的质量m无关小角度的范围：因为5 0.087266rad，sin5 0.087156，故通常规定振动角度 5时单摆做简谐运动。2、当不是很小时，sin3 53! 5!，物体所收的回复力与摆角不成简单的正比关系，因此物体也不再做简谐运动。任

4、意角度下单摆的周期公式的推导（忽略阻力）：设摆长为I ,摆线与竖直方向的夹角为 ，那么单摆的运动公式为:J，于是有总dt dt2 dt d /dw d式改写成： d gsin 0 d l分离变量得：2 d 2g si ndl其通解为：2 2gcos C给定初始条件t0 （0 ）, t 0 0则其特解为:g2 （coss（2）设sinsin 2，则tsin2arcs in（sin化简得到sin 2 sin2 g 02dsin ）,2 d -J11T4.2 . 2 sin sin2 cos.2 . 2sin sing 2cos ） 4 （si n（ ）l 21 sin sin 2T 4t 4 F（

5、si n-,）g 2 2其中F（k,）10 1 k2 sin 2周期可以用级数表示成:1 sin -2 24.6 sin - 2为摆角，F （si n,）为第一类完全椭圆积分单摆大角度摆动的周期与单摆的摆角 、绳长l和当地的重力加速度g有关。3、在实际的振动过程中，单摆会受到阻力的作用，称为阻尼振动。因为小角度单摆可以参考弹簧振子的运动， 所以弹簧振子在弹性力和黏滞阻力的作用下，其运动方程为d2xm2kx v，为与阻尼介质有关的比例系数。dx mdt定义阻尼系数，固有圆频率02mk，则md 2x dx孑2 d在只存在阻力的情况下,物体的动力学方程为d22x 2 dx 0dt2 dt作变量代换I

6、dv dtdx v，则dV 2v 0分离变量并积分,v dvv0 vt解得v v o e（4）的试探解t cos（5）将其代入（4）可知,只有02 2时，（5）才是（4）的解。因此振子作阻尼振动的运动学方程为x Ae tcosj 02 2t 0）其周期定义为相邻两个振动位移极大值间的时间间隔，即 T阻尼运动的周期大于无阻尼运动振动周期。2可知，只有2 02 （称为弱阻尼）时，（5）成立。当阻尼过大以致2 02 （称为过阻尼）或者 2 02 （成为临界阻尼）时，振子只 能由初始位置慢慢回到平衡位置而静止，此时运动已不再有周期性。所以单摆小角度阻尼振动的周期为T复摆:复摆做的是刚体运动，如图所示。

7、若复摆的转动惯量为J，质量为m，质心C到固定转轴的垂直距 离为h。mghs in1、当摆角较小时，sin，忽略阻力，复摆的运动方程为mgh由刚体定轴转动定理得即mgh o dt2 J式中豊h由（4）可知，在摆角 较小的情况下，复摆的运动也是简谐运动，其运动学 方程为周期为T2、当复摆摆角较大时，忽略阻力，其运动的微分方程为 J一mghsin方程不存在解析解，只能用数值解法求解这一方程。将上述方程简化为两个d_一阶微分方程，即dtd_ mghsi n然后可以用计算精度较高的龙格-库塔法求解，编写程序输出结果。个人理解：在无阻力情况下单摆根据摆角不同可分为两种情况。 当摆角小于等于5度时，近似推导

8、出单摆做简谐振动，且周期为T 2 1，只与重力加速度g以 g及摆线长度I有关。当单摆振幅变大时，不再做简谐振动，根据数学推导，可得 出其周期与振幅有关，振幅越大，周期也随之增大。当考虑阻力时，小角度单摆 做阻尼振动，在弱阻尼条件下阻尼振动的周期大于无阻尼振动周期， T 2 2， j g。而过阻尼与临界阻尼时已不作周期性运动。P 0而复摆是绕不通过质心的水平固定轴摆动的刚体， 忽略阻力时，根据M J得出运动方程。当摆角较小时，近似推导出复摆的运动也是简谐振动，且周期 T 2 J 。当复摆振幅变大时，方程不存在解析解，需要通过编程来进一步Vmgh研究复摆的振幅对周期是否有影响。五、其他形式有上述讨

9、论可知，单摆及复摆只有在做小角度摆动的情况下， 其运动才是简 谐振动。其原因就在于它们所收的回复力 F sin都是非线性力。若 很小，则可作泰勒公式展开并略去高阶项， sin .，故得到简谐振动满足的动力学方程式d； 2 0 o上述处理方法属于数学上的线性近似，其前提条件是 趋向于0,只有在0附近的小区域中，直线才与正弦曲线近似重合。从势能的角度进行分析，单摆或复摆在运动的过程中重力势能的变化可以表 示为Ep mgrc （1 cos ），式中心是质心到转轴的距离。2 4由于cos 1 .，在小角度摆动的情况下，略去4及以上各高阶2! 4!项，势能函数Ep ；mgrC 2，其形式与弹簧振子的弹性

10、势能相仿。所以，一个做微振动的系统一般都可以当作简谐振动处理。六、 存在的问题1、 复摆大角度振动时的运动分析问题。由于大角度复摆的运动微分方程不 存在解析解，因此在许多教材中避而不谈大角度振动。而我则只搜寻到一种利用 计算机模拟显示大角度的振动情况，但因编程知识有限而不能得出大角度的振动 情况。2、 考虑阻力时，大角度单摆以及复摆的周期问题。这个问题如今的解答都 是通过计算机模拟仿真得到。网上这方面的资料并不多，也并不完整。七、 意义及影响在发现了摆的等时性后，伽利略很想应用摆的等时性指示时间， 但是由于从 事科学活动遭到了教会的迫害。到 1636年，他已经双目失明，还向荷兰政府建 议试制摆

11、钟，却没有如愿。1656年，荷兰科学家惠更斯完成了伽利略的遗愿， 不仅从理论上研究完善了钟摆及其理论，在摆钟 （1658）及摆式时钟或用于时钟上的摆的运动的几何证明（1673）中提出著名的单摆周期公式。在研制 摆钟时，他制作了一个秒摆（周期为 2秒的单摆），导出了单摆的运动公式。同 时他应用摆的等时性，造出了一座带摆的时钟，利用重锤作单摆的摆锤，由于摆 锤可以调节，计时就比较准确。摆钟的出现大大提高了时钟的精确度， 直至今天 许多人仍在使用。摆钟的出现也为后世科学实验时间的精确测量做出了巨大的贡 献。单摆不仅是准确测定时间的仪器，也可用来测量重力加速度的变化。只要测 出摆长I和周期T，就可以算出重力加速度。而复摆可以应用于许多物理实验，测量重力加速度以及测量刚体的转动惯 量，并运用于机械制造及生产中。参考文献