单摆与复摆文档格式.docx

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三、建立该知识点所经历的困难

首先，伽利略实验所用的大小不同的木球、铁球、石块、铜球，体积都较大，并不能很好地视其为质点，且绳子与小球连接起来也有困难，对摆线的长度也有

误差影响。

其次，最为困难的是没有标准的计时工具。

伽利略按自己脉搏的跳动来计时，发现它们往复运动的时间总是相等的。

伽利略无法精确地得到单摆的周期公式。

惠更斯在重复伽利略的实验时发现，单摆的等时性只是近似成立，当摆动幅度增大时，摆的周期就会变化。

惠更斯出众的数学才能帮助他解决了这一困难。

他通过精心研究从理论上证明，真正等时的摆，摆动轨迹是一条摆线•他通过严密的数学计算得到，要使摆动轨迹成一条摆线，单摆摆动时就必须按照一定的规律改变摆线悬点的位置，建立了摆运动的数学理论。

四、对该知识点的描述以及我的理解

单摆：

设质点的质量为m，绳长为I，当绳偏离竖直方向角时，质点受重力和绳的张力作用，重力的切向分力mgsin决定质点沿圆周的切向加速度，通过角

动量定理得到摆角关于时间的函数。

由此可得质点的切向

运动方程为

d2

ml——2mgsin

dt2

（1）

式中负号表示切向加速度总与摆角增大的方向相反。

1、当很小时，sin

，忽略阻力，式

（1）变为

ml

mg

整理后得

（2）

d2dt2

而弹簧阵子运动所满足的方程为

（3）

咚2x0

（2）与（3）有相同的形式，因此小角度的单摆也做简谐运动。

方程（3）是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为Acos（t

式中A、为任意常数，由初值条件给定。

于是单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动

cos（t）

式中

单摆的周期T21

\g

结论：

当单摆做小角度振动时，单摆的周期

T

完全决定于振动系

所以伽利略的结论：

单摆的周期随摆线长度的二次方根而变动得到了验证,并得到了进一步的修正与改进。

统本身的性质，仅与重力加速度g和摆长I有关，而与摆球的质量m无关

小角度的范围：

因为50.087266rad，sin50.087156，故通常规定振动

角度5时单摆做简谐运动。

2、当不是很小时，sin

35

3!

5!

……，物体所收的回复力与摆角

不成

简单的正比关系，因此物体也不再做简谐运动。

任意角度下单摆的周期公式的推导（忽略阻力）：

设摆长为I,摆线与竖直方向的夹角为，那么单摆的运动公式为:

J，于是有◎」总

dtdt2dtd/

dwd

⑵式改写成：

dgsin0dl

分离变量得：

2d2gsind

l

其通解为：

22gcosC

给定初始条件t0（0）,t00

则其特解为:

g

2—（cos

s"

（2））

设sin

sin—

2

，则t

sin

2arcsin（sin

化简得到

sin2—sin

2\g0

^2

d

sin）,———

2d-

J1

1T

4

.2.2sinsin

2cos

.2.2

sin—sin

g2

cos）4—（sin（—）

l2

」1sin—sin2

T4t4F（sin-,—）

\g22

其中F（k,）

1

0<

1k2sin2

周期可以用级数表示成:

1sin-

22

・4

.6sin-2

为摆角，F（sin—,—）为第一类完全椭圆积分

单摆大角度摆动的周期与单摆的摆角、绳长l和当地的重力加速度g

有关。

3、在实际的振动过程中，单摆会受到阻力的作用，称为阻尼振动。

因为小角度单摆可以参考弹簧振子的运动，所以弹簧振子在弹性力和黏滞阻

力的作用下，其运动方程为

d2x

m——2

kxv，

为与阻尼介质有关的比例系数。

dxm

dt

定义阻尼系数

——，固有圆频率0

2m

k，则

m

d2xdx

孑2d

在只存在阻力的情况下,

物体的动力学方程为

d22x2dx0

dt2dt

作变量代换［I

dvdt

dxv，则

dV2v0

分离变量并积分,

vdv

v0v

t

解得vvoe

（4）的试探解

tcos（

（5）

将其代入（4）可知,

只有

022时，（5）才是（4）的解。

因此振子作阻尼振动的运动学方程为

xA°

etcosj022t0）

其周期定义为相邻两个振动位移极大值间的时间间隔，即T

阻尼运动的周期大于无阻尼运动振动周期。

2可知，只有202（称为弱阻尼）时，（5）成立。

当阻

尼过大以致202（称为过阻尼）或者202（成为临界阻尼）时，振子只能由初始位置慢慢回到平衡位置而静止，此时运动已不再有周期性。

所以单摆小角度阻尼振动的周期为T

复摆:

复摆做的是刚体运动，如图所示。

若复摆的转动惯量为J，质量为m，质心C到固定转轴的垂直距离为h。

mghsin

1、当摆角较小时，sin

，忽略阻力，复摆的运动方程为

mgh

由刚体定轴转动定理得

即mgho⑹

dt2J

式中豊h

由（4）可知，在摆角较小的情况下，复摆的运动也是简谐运动，其运动学方程为

周期为T

2、当复摆摆角较大时，忽略阻力，其运动的微分方程为J一mghsin

方程不存在解析解，只能用数值解法求解这一方程。

将上述方程简化为两个

d_

一阶微分方程，即dt

d_mghsin

然后可以用计算精度较高的龙格-库塔法求解，编写程序输出结果。

个人理解：

在无阻力情况下单摆根据摆角不同可分为两种情况。

当摆角小于等于

5度时，近似推导出单摆做简谐振动，且周期为T21，只与重力加速度g以

\g

及摆线长度I有关。

当单摆振幅变大时，不再做简谐振动，根据数学推导，可得出其周期与振幅有关，振幅越大，周期也随之增大。

当考虑阻力时，小角度单摆做阻尼振动，在弱阻尼条件下阻尼振动的周期大于无阻尼振动周期，T22，°

jg。

而过阻尼与临界阻尼时已不作周期性运动。

P0

而复摆是绕不通过质心的水平固定轴摆动的刚体，忽略阻力时，根据MJ

得出运动方程。

当摆角较小时，近似推导出复摆的运动也是简谐振动，且周期T2J。

当复摆振幅变大时，方程不存在解析解，需要通过编程来进一步

Vmgh

研究复摆的振幅对周期是否有影响。

五、其他形式

有上述讨论可知，单摆及复摆只有在做小角度摆动的情况下，其运动才是简谐振动。

其原因就在于它们所收的回复力Fsin都是非线性力。

若很小，

则可作泰勒公式展开并略去高阶项，sin...，故得到简谐振

动满足的动力学方程式d；

20o

上述处理方法属于数学上的线性近似，其前提条件是趋向于0,只有在

0附近的小区域中，直线才与正弦曲线近似重合。

从势能的角度进行分析，单摆或复摆在运动的过程中重力势能的变化可以表示为Epmgrc（1cos），式中心是质心到转轴的距离。

24

由于cos1——...，在小角度摆动的情况下，略去4及以上各高阶

2!

4!

项，势能函数Ep；

mgrC2，其形式与弹簧振子的弹性势能相仿。

所以，一个做微振动的系统一般都可以当作简谐振动处理。

六、存在的问题

1、复摆大角度振动时的运动分析问题。

由于大角度复摆的运动微分方程不存在解析解，因此在许多教材中避而不谈大角度振动。

而我则只搜寻到一种利用计算机模拟显示大角度的振动情况，但因编程知识有限而不能得出大角度的振动情况。

2、考虑阻力时，大角度单摆以及复摆的周期问题。

这个问题如今的解答都是通过计算机模拟仿真得到。

网上这方面的资料并不多，也并不完整。

七、意义及影响

在发现了摆的等时性后，伽利略很想应用摆的等时性指示时间，但是由于从事科学活动遭到了教会的迫害。

到1636年，他已经双目失明，还向荷兰政府建议试制摆钟，却没有如愿。

1656年，荷兰科学家惠更斯完成了伽利略的遗愿，不仅从理论上研究完善了钟摆及其理论，在《摆钟》（1658）及《摆式时钟或用

于时钟上的摆的运动的几何证明》（1673）中提出著名的单摆周期公式。

在研制摆钟时，他制作了一个秒摆（周期为2秒的单摆），导出了单摆的运动公式。

同时他应用摆的等时性，造出了一座带摆的时钟，利用重锤作单摆的摆锤，由于摆锤可以调节，计时就比较准确。

摆钟的出现大大提高了时钟的精确度，直至今天许多人仍在使用。

摆钟的出现也为后世科学实验时间的精确测量做出了巨大的贡献。

单摆不仅是准确测定时间的仪器，也可用来测量重力加速度的变化。

只要测出摆长I和周期T，就可以算出重力加速度。

而复摆可以应用于许多物理实验，测量重力加速度以及测量刚体的转动惯量，并运用于机械制造及生产中。

参考文献