江苏省常州市教学研究合作联盟学年高二下学期期中考试数学理Word格式文档下载.docx

1、 8.我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列的前项和公式.类比得到正项等比数列的前项积公式 9.用数学归纳法证明等式：，则从到时左边应添加的项为 10.如图，在直三棱柱中，点是棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为，则的长为 11.德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子为分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形.根据前行的规律，第行的左起第个数为 （第7题图） （第10题图） （第11题图）12.在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑中，平面，为的中点，则点到平面的距离为 13.

2、 如图，已知正三棱柱中，分别为的中点，点在直线上且满足若平面与平面所成的二面角的平面角的大小为，则实数的值为14. 如图所示的正方体是一个三阶魔方（由27个全等的棱长为1的小正方体构成），正方形是上底面正中间一个正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知点是线段上的动点，点是线段上的动点，则线段长度的最小值为 （第12题图） （第13题图） （第14题图） 二解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤.15. （本小题满分14分）已知为虚数单位，复数,.（1）若为实数，求的值；（2）若为纯虚数，求.16.（本小题满分14分）已知矩阵 ，

3、.（1）求；（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，求的方程.17.（本小题满分14分）已知数列满足，（1）求的值并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.18.（本小题满分16分）如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，点,分别是,的中点.（1）求证：平面；（2）若点为棱上一点，且平面平面， 求证：19.（本小题满分16分）如图，在正三棱柱中，所有棱长都等于.（1）当点是的中点时， 1求异面直线和所成角的余弦值； 2求二面角的正弦值；（2）当点在线段上（包括两个端点）运动时，求直线与 平面所成角的正弦值的取值范围. （第18题图） （第19题图）20.（本小题满分

4、16分）（1）是否存在实数，使得等式 对于一切正整数都成立？若存在，求出，的值并给出证明；若不存在，请说明理由.（2）求证：对任意的，.常州市“教学研究合作联盟”2018学年度第二学期期中质量调研高二 数学（理科）参考答案和评分标准 1. 1 2. 3.四 4. 4或-1 5. 且6. 存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和. 7. 8. 9. 10. 1 11. 12. 13. 14. 15.解：（1）因为，若为实数，则. 3分 此时，所以 7分（2）因为， 10分若为纯虚数，则，得， 12分 所以 14分16.解：（1） = 6分（2）设曲线上任一点坐标为在矩阵对应的变换作用下得到点

5、则 =，即，解得. 10分因为所以整理得，所以的方程为 14分17.解：（1）由1得解得或又所以将代入1，可得或又所以 3分故猜想数列的通项公式为 5分（2） 1当时，猜想成立.2假设当时，猜想成立，即 7分则当时，由1得即解得或 12分又所以故当时，猜想成立.综上：由12得. 14分18.解：平面，平面又因为所以，则两两垂直，则以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系则各点的坐标为因为点分别是，的中点，所以 2分（1）证明：设平面的一个法向量为因为由得，令所以则 5分因为所以 又平面所以平面. 8分（注：平面没交代扣1分，如果不用空间向量的方法做，比如取的中点证明平面平面，或者延长和相交于

6、点然后证明也可以，但如果推理过程有一步错，则扣6分）（2）证明：因为为棱上一点，所以设则，所以即所以设平面的一个法向量为则所以消去可得令则所以 12分平面平面则所以 14分从而因为所以则即 16分19. 解：（1）取的中点为建立如图所示的空间直角坐标系，则当是的中点时，则1设异面直线和所成角为则= 4分2设平面的一个法向量为则所以令则 5分令 6分设二面角的平面角为，则 8分所以 9分（2）当在上运动时，设设则设直线与平面所成的角为则 11分设设所以直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为 16分20. 解：（1）在等式中令得1；令得2；令得3；由123解得对于都有成立. 3分下面用数学归纳法证明：对一切正整数，式都成立.1当时，由上所述知式成立；2假设当时式成立，即， 那么当时， 5分由12得对一切正整数，式都成立，所以存在时题设的等式对于一切正整数都成立. 8分 1当时，左式，右式，所以左式右式，则时不等式成立；2假设当时不等式成立，即， 10分下面证明当时，.设，则所以在上单调增，所以即时，.因为，所以则 12分所以由得那么时不等式也成立.由12可得对任意.