江苏省常州市教学研究合作联盟学年高二下学期期中考试数学理Word格式文档下载.docx

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▲．

8.我们知道等比数列与等差数列在许多地方都有类似的性质，请由等差数列

的前项和公式.类比得到正项等比数列的前项

积公式▲．

9.用数学归纳法证明等式：

，则从到

时左边应添加的项为▲．

10.如图，在直三棱柱中，，，

点是棱上一点，且异面直线与所成角的余弦值为，则

的长为▲．

11.德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子

为﹑分母为正整数的分数），称为莱布尼兹三角形.根据前行的规律，第

行的左起第个数为▲．

（第7题图）（第10题图）（第11题图）

12.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称

之为鳖臑（bienao）.已知在鳖臑中，平面，

，为的中点，则点到平面的距离为

▲．

13.如图，已知正三棱柱中，，分别为

的中点，点在直线上且满足若平面

与平面所成的二面角的平面角的大小为，则实数的值为

14.如图所示的正方体是一个三阶魔方（由27个全等的棱长为1的小正方体构

成），正方形是上底面正中间一个正方形，正方形是下底面

最大的正方形，已知点是线段上的动点，点是线段上的动点，

则线段长度的最小值为▲．

（第12题图）（第13题图）（第14题图）

二﹑解答题：

本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分14分）

已知为虚数单位，复数,.

（1）若为实数，求的值；

（2）若为纯虚数，求.

16.（本小题满分14分）

已知矩阵，.

（1）求；

（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下得到另一曲线，

求的方程.

17.（本小题满分14分）

已知数列满足，，，

（1）求的值并猜想数列的通项公式；

（2）用数学归纳法证明你的猜想.

18.（本小题满分16分）

如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为

直角梯形，，，点,分

别是,的中点.

（1）求证：

平面；

（2）若点为棱上一点，且平面平面，

求证：

19.（本小题满分16分）

如图，在正三棱柱中，所有棱长都等于.

（1）当点是的中点时，

1求异面直线和所成角的余弦值；

2求二面角的正弦值；

（2）当点在线段上（包括两个端点）运动时，求直线与

平面所成角的正弦值的取值范围.

（第18题图）（第19题图）

20.（本小题满分16分）

（1）是否存在实数，，，使得等式

对于一切正整数都成立？

若存在，

求出，，的值并给出证明；

若不存在，请说明理由.

（2）求证：

对任意的，.

常州市“教学研究合作联盟”

2018学年度第二学期期中质量调研

高二数学（理科）参考答案和评分标准

1.12.3.四4.4或-15.且

6.存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和.7.8.

9.10.111.

12.13.14.

15.解：

（1）因为，若为实数，则.………3分

此时，所以………7分

（2）因为，………10分

若为纯虚数，则，得，………12分

所以………14分

16.解：

（1）=………6分

（2）设曲线上任一点坐标为在矩阵对应的变换作用下得到点则

=，即，解得.………10分

因为所以整理得，所以的方程为………14分

17.解：

（1）由1

得解得或

又所以

将代入1，可得或

又所以………3分

故猜想数列的通项公式为………5分

（2）1当时，，猜想成立.

2假设当时，猜想成立，即………7分

则当时，由1得

即

解得或………12分

又所以故当时，猜想成立.

综上：

由12得.………14分

18.解：

平面，平面

又因为所以，则两两

垂直，则以为正交基底，

建立如图所示的空间直角坐标系

则各点的坐标为

因为点分别是，的中点，所以………2分

（1）证明：

设平面的一个法向量为

因为

由

得，令所以

则………5分

因为所以

又平面所以平面.………8分

（注：

平面没交代扣1分，如果不用空间向量的方法做，比如取的中点证明平面平面，或者延长和相交于点然后证明也可以，但如果推理过程有一步错，则扣6分）

（2）证明：

因为为棱上一点，所以

设则，所以

即所以

设平面的一个法向量为则

所以消去可得

令则所以………12分

平面平面则所以……14分

从而因为所以

则即………16分

19.解：

（1）取的中点为建立如图所示的空间直角坐标系，则

当是的中点时，则

1

设异面直线和所成角为则

=

………4分

2设平面的一个法向量为则

所以令则…5分

令………6分

设二面角的平面角为，

则………8分

所以………9分

（2）当在上运动时，设

设

则

设直线与平面所成的角为则

………11分

设设所以

直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为

………16分

20.解：

（1）在等式中

令得1；

令得2；

令得3；

由123解得

对于都有

成立.………3分

下面用数学归纳法证明：

对一切正整数，式都成立.

1当时，由上所述知式成立；

2假设当时式成立，即

，

那么当时，

………5分

由12得对一切正整数，式都成立，所以存在时题设的等

式对于一切正整数都成立.………8分

1当时，左式，右式，所以左式<

右式，则时不等式成立；

2假设当时不等式成立，即

，

………10分

下面证明当时，.

设，则所以在

上单调增，所以即时，.

因为，所以则

………12分

所以

由得

那么时不等式也成立.

由12可得对任意.