高考数学一轮复习第七章立体几何76空间直角坐标系空间向量及其运算课时提升作业理Word文档格式.docx

1、（+）+.其中与向量相等的是（）A. B. C. D.【解析】选A.（-）-=-=;（+）-=-=;（-）-2=-2;（+）+=+=,综上,符合题意.二、填空题（每小题5分,共15分）6.（xx湖北四校联考）向量a=（1,2,x）,b=（2,y,-1）,若|a|=,且ab,则x+y=.【解析】由|a|=得=,解得x=0,即a=（1,2,0）,又ab,则ab=0,即2+2y=0,解得y=-1,从而x+y=-1.答案:-17.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=,点E是B1C1的中点,建立空间直角坐标系Dxyz如图所示,则|AE|=.【解题提示】确定A,E的坐标,可得的

2、坐标,然后求出AE的长度.【解析】由题意长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=,点E是B1C1的中点,则A（1,0,0）,E,所以=,所以|=.8.（xx宜昌模拟）已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,（+）2=32;（-）=0;向量与向量的夹角是60;正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|.其中正确的序号是.【解析】中,（+=2+2+ 2=32,故正确;中,-=,因为AB1A1C,故正确;中,两异面直线A1B与AD1所成的角为60,但与的夹角为120,故不正确,中,|=0,故也不正确.三、解答题（每小题10分,共20分）9.（xx周口模拟）已知空间三点A（0,2,

3、3）,B（-2,1,6）,C（1,-1,5）.（1）求以,为边的平行四边形的面积.（2）若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.【解析】（1）由题意可得:=（-2,-1,3）,=（1,-3,2）,所以cos=,所以sin=,所以以,为边的平行四边形的面积:S=2|sin=.（2）=（-2,-1,2）.设c=（x,y,z）,因为|c|=3,c,所以=3,存在实数使得c=,即联立解得所以c=（-2,-1,2）.（20分钟40分）1.（5分）（xx开封模拟）若A（x,5-x,2x-1）,B（1,x+2,2-x）,当|取最小值时,x的值为（）A.19 B.- C. D.【解析】选C.|=,所以当

4、x=时,|min=.2.（5分）设A,B,C,D是空间不共面的四个点,且满足=0,=0,=0,则BCD的形状是（）A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.无法确定【解题提示】通过,的符号判断BCD各内角的大小,进而确定出三角形的形状.【解析】选C.=（-）+2=20,同理0,0.故BCD为锐角三角形.【加固训练】如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos0）,则E.所以=（0,0, a）,=,|= a,|=.又cos解得a 2=4,即a=2,所以E（1,1,1）.3.（5分）二面角-l-为60,A,B是l上的两点,AC,BD分别在半平面,内,ACl,

5、BDl,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为（）A.2 a B. a C. a D. a【解题提示】选,为基向量,进行基向量运算求解.【解析】选A.因为ACl,BDl,所以=60且所以=+,=2a.4.（12分）已知a=（3,1,5）,b=（1,2,-3）,ac=9,bc=-4.（1）若向量c垂直于空间直角坐标系的z轴,试求c的坐标.（2）是否存在向量c,使得c与z轴共线?试说明理由.【解题提示】（1）设c=（x0,y0,z0）,设z轴上一点为（0,0,m）（m0）,依题意ac=-4,c垂直于空间直角坐标系的z轴,即可求得c的坐标.（2）设c=（x1,y1,z1）,设z轴上一点为（0,0

6、,n）（n0）,则（x1,y1,z1）=（0,0,n）, c=（0,0,n）（n0）,同（1）求得与n的关系式即可作出判断.（1）设c=（x0,y0,z0）,设z轴上一点为（0,0,m）（m0）,则由题意得:即c=.（2）设c=（x1,y1,z1）,设z轴上一点为（0,0,n）（n0）,则由题意,知（x1,y1,z1）=（0,0,n）=（0,0,n）（n0）,所以x1=0,y1=0,z1=n,即c=（0,0,n）（n0）,c=-4,显然矛盾,所以不存在满足题意的向量c,使得c与z轴共线.5.（13分）（xx广州模拟）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面ABC中,CA=CB=1,BCA=9

7、0,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.（1）求的模.（2）求cos的值.（3）求证:A1BC1M.【解析】如图,建立空间直角坐标系Oxyz,点C为坐标原点O.（1）依题意得B（0,1,0）,N（1,0,1）,（2）依题意得A1（1,0,2）,B（0,1,0）,C（0,0,0）,B1（0,1,2）.所以=（1,-1,2）,=（0,1,2）,=3,|=,|=,（3）依题意,得C1（0,0,2）,M,=（-1,1,-2）,=.=-+0=0,所以.所以A1BC1M.2019-2020年高考数学一轮复习第七章立体几何7.7.1利用空间向量证明空间中的位置关系课时提升作业理1.（xx泉州模

8、拟）设平面的一个法向量为n1=（1,2,-2）,平面的一个法向量为n2=（-2,-4,k）,若,则k=（）A.2 B.4 C.-2 D.-4【解析】选B.由知n1n2,则n2=n1.即（-2,-4,k）=（1,2,-2）,解得k=4.【加固训练】若平面,垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的是（）A.n1=（1,2,1）,n2=（-3,1,1）B.n1=（1,1,2）,n2=（-2,1,1）C.n1=（1,1,1）,n2=（-1,2,1）D.n1=（1,2,1）,n2=（0,-2,-2）【解析】选A.因为,所以n1n2,即n1n2=0,经验证可知,选项A正确.西安模拟）若平面,的法向量分别是n

9、1=（2,-3,5）,n2=（-3,1,-4）,则（）A.B.C.,相交但不垂直D.以上答案均不正确【解析】选C.因为n1n2=2（-3）+（-3）1+5（-4）0.所以n1与n2不垂直,且不共线.所以与相交但不垂直.3.若=+,则直线AB与平面CDE的位置关系是（）A.相交 B.平行C.在平面内 D.平行或在平面内【解析】选D.由=+知,向量,共面,则直线AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.珠海模拟）如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则（）A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EFA1D,EFACC.EF与BD1相

10、交D.EF与BD1异面【解题提示】建立空间直角坐标系,用向量法求解.【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,则A1（1,0,1）,D（0,0,0）,A（1,0,0）,C（0,1,0）,E,F,B（1,1,0）,D1（0,0,1）,=（-1,0,-1）,=（-1,1,0）,=,=（-1,-1,1）,=-,从而EFBD1,EFA1D,EFAC.故选B.5.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M在EF上,且AM平面BDE,则M点

11、的坐标为（）A.（1,1,1） B.C. D.【解析】选C.由已知得A（,0）,B（0,0）,D（,0,0）,E（0,0,1）,设M（x,x,1）.则=（x-,x-,1）,=（,-,0）,=（0,-,1）.设平面BDE的一个法向量为n=（a,b,c）.则解得令b=1,则n=（1,1,）.又AM平面BDE,所以n=0.即2（x-）+=0,得x=,所以M.6.设点C（2a+1,a+1,2）在点P（2,0,0）,A（1,-3,2）,B（8,-1,4）确定的平面上,则a=.【解析】由共面向量定理知=x+y,即（2a-1,a+1,2）=x（-1,-3,2）+y（6,-1,4）,即解得a=16.167.（

12、xx襄阳模拟）已知平面内的三点A（0,0,1）,B（0,1,0）,C（1,0,0）,平面的一个法向量n=（-1,-1,-1）.则不重合的两个平面与的位置关系是.【解析】由已知得,=（0,1,-1）,=（1,0,-1）,设平面的一个法向量为m=（x,y,z）,则得得令z=1,得m=（1,1,1）.又n=（-1,-1,-1）,所以m=-n,即mn,所以.平行【方法技巧】平面的法向量的求法（1）设出平面的一个法向量n=（x,y,z）,利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,即数量积为0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.（2

13、）注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一.8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E平面ABF,则CE与DF的和为.【解析】以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E（x,1,1）,B1（1,1,0）,所以=（x-1,0,1）,又F（0,0,1-y）,B（1,1,1）,所以=（1,1,y）,由于ABB1E,故若B1E平面ABF,只需=（1,1,y）（x-1,0,1）=0x+y=1.1石家庄模拟）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC为等腰直角三角形,BAC

14、=90,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.（1）求证:DE平面ABC.（2）求证:B1F平面AEF.【证明】以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,令AB=AA1=4,则A（0,0,0）,E（0,4,2）,F（2,2,0）,B1（4,0,4）,D（2,0,2）,A1（0,0,4）.（1）=（-2,4,0）,平面ABC的法向量为=（0,0,4）,因为=0,DE平面ABC,所以DE平面ABC.（2）=（-2,2,-4）,=（2,-2,-2）,=（-2）2+2（-2）+（-4）（-2）=0,所以,B1FEF,2+（

15、-4）0=0,所以,所以B1FAF.因为AFEF=F,所以B1F平面AEF.【加固训练】如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1BC,二面角A1-AB-C是直二面角.求证:（1）A1B1平面AA1C.（2）AB1平面A1C1C.【证明】因为二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,所以AA1平面BAC.又因为AB=AC,BC=AB,所以CAB=90,即CAAB,所以AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则A（0,0,0）,B1（0,2,2）,A1（0,0,2）,C（2,0,0）,C1

16、（1,1,2）.（1）=（0,2,0）,=（0,0,-2）,=（2,0,0）,设平面AA1C的一个法向量n=（x,y,z）,即即取y=1,则n=（0,1,0）.所以=2n,即n.所以A1B1平面AA1C.（2）易知=（0,2,2）,=（1,1,0）,=（2,0,-2）,设平面A1C1C的一个法向量m=（x1,y1,z1）,令x1=1,则y1=-1,z1=1,即m=（1,-1,1）.m=01+2（-1）+21=0,所以m.又AB1平面A1C1C,所以AB1平面A1C1C.福州模拟）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5

17、.AA1平面ABC.（2）证明在线段BC1上存在点D,使得ADA1B,并求的值.（1）因为AA1C1C为正方形,所以AA1AC.因为平面ABC平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC.所以AA1平面ABC.（2）由（1）知AA1AB,AA1AC.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以ABAC.如图,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz,则B（0,3,0）,A1（0,0,4）,B1（0,3,4）,C1（4,0,4）.设D（x,y,z）是线段BC1上的一点,且=,0,1.所以（x,y-3,z）=（4,-3,4）.解得x=4,y=3-3,z=4,所以=（4,3-3,4）.由=0,即9-

18、25=0,解得=.因为0,1,所以在线段BC1上存在点D,使得ADA1B,此时,=.1.（5分）已知=（1,5,-2）,=（3,1,z）,若,=（x-1,y,-3）,且BP平面ABC,则实数x,y,z分别为（）A.,-,4 B.,-,4C.,-2,4 D.4,-15【解题提示】利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出.【解析】选B.因为,所以=3+5-2z=0,解得z=4.所以=（3,1,4）.因为BP平面ABC,所以,.化为所以x=,y=-,z=4.2.（5分）（xx太原模拟）如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,

19、则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）A.斜交 B.平行C.垂直 D.不能确定【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为A1M=AN=a,所以M,N,所以=.又C1（0,0,0）,D1（0, a,0）,所以=（0, a,0）,=0,所以.因为是平面BB1C1C的一个法向量,且MN平面BB1C1C,所以MN平面BB1C1C.3.（5分）空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF,设M,N分别是BD,AE的中点,给出如下命题:ADMN;MN平面CDE;MNCE;MN,CE异面.则所有的正确命题为.【解题提示】选,为基向量,利用向量法,

20、对四个命题逐一判断从中选择出正确命题.【解析】如图,设=a,=b,=c,则|a|=|c|且ab=cb=0.=-=（b+c）-（a+b）=（c-a）,=（c-a）b=（cb-ab）=0,故ADMN,故正确;=c-a=2,故MNCE,故MN平面CDE,故正确;正确时一定不正确.4.（12分）（xx汕头模拟）如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,B=C=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30的角.（1）CM平面PAD.（2）平面PAB平面PAD.【证明】以C为坐标原点,CB为x轴,CD为y轴,CP为z轴建立如图所示的

21、空间直角坐标系Cxyz.因为PC平面ABCD,所以PBC为PB与平面ABCD所成的角,所以PBC=30因为PC=2,所以BC=2,PB=4,所以D（0,1,0）,B（2,0,0）,A（2,4,0）,P（0,0,2）,M,所以=（0,-1,2）,=（2,3,0）,（1）设n=（x,y,z）为平面PAD的一个法向量,令y=2,得n=（-,2,1）.因为n=-+2所以n.又CM平面PAD,所以CM平面PAD.（2）如图,取AP的中点E,连接BE,则E（,2,1）,=（-,2,1）.因为PB=AB,所以BEPA.又因为=（-,2,1）（2,3,0）=0,所以.所以BEDA.又PADA=A,所以BE平面

22、PAD.又因为BE平面PAB,所以平面PAB平面PAD.郑州模拟）如图（1）所示,在RtABC中,C=90,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DEBC,DE=2,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1CCD,如图（2）所示.A1C平面BCDE.（2）若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小.（3）线段BC上是否存在一点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.（1）因为ACBC,DEBC,所以DEAC,所以DEA1D,DECD,A1DDC=D,所以DE平面A1DC,所以DEA1C.又因为A1CCD,DECD=D,所以A1C平面BCDE.（2）如图所示,以

23、C为坐标原点,建立空间直角坐标系Cxyz,则A1（0,0,2）,D（0,2,0）,M（0,1,）,B（3,0,0）,E（2,2,0）.设平面A1BE的法向量为n=（x,y,z）,则n=0,n又因为=（3,0,-2）,=（-1,2,0）,令y=1,则x=2,z=,所以n=（2,1,）.设CM与平面A1BE所成的角为.因为=（0,1,）,所以sin=|cos|= =.所以CM与平面A1BE所成角的大小为.（3）线段BC上不存在一点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直.理由如下:假设这样的点P存在,设其坐标为（p,0,0）,其中p0,3.设平面A1DP的法向量为m=（x1,y1,z1）,又因为=（0,2,-2）,=（p,-2,0）,所以令x1=2,则y1=p,z1=.所以m=.当且仅当mn=0时,平面A1DP平面A1BE.由mn=0,得4+p+p=0,解得p=-2,与p0,3矛盾.所以线段BC上不存在一点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直.