高考数学一轮复习第七章立体几何76空间直角坐标系空间向量及其运算课时提升作业理Word文档格式.docx

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④（+）+.

其中与向量相等的是　（　　）

A.①②B.②③C.③④D.①④

【解析】选A.①（-）-=-=;

②（+）-=-=;

③（-）-2=-2≠;

④（+）+=+=≠,

综上,①②符合题意.

二、填空题（每小题5分,共15分）

6.（xx·

湖北四校联考）向量a=（1,2,x）,b=（2,y,-1）,若|a|=,且a⊥b,则x+y=　　　.

【解析】由|a|=得=,

解得x=0,即a=（1,2,0）,

又a⊥b,则a·

b=0,即2+2y=0,

解得y=-1,从而x+y=-1.

答案:

-1

7.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=,点E是B1C1的中点,建立空间直角坐标系Dxyz如图所示,则|AE|=　　　　.

【解题提示】确定A,E的坐标,可得的坐标,然后求出AE的长度.

【解析】由题意长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=DD1=1,DC=,点E是B1C1的中点,则A（1,0,0）,E,所以=,

所以||=

=.

8.（xx·

宜昌模拟）已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,

①（++）2=32;

②·

（-）=0;

③向量与向量的夹角是60°

;

④正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|·

|.

其中正确的序号是　　　　.

【解析】①中,（++=2+2+2=32,故①正确;

②中,-=,因为AB1⊥A1C,故②正确;

③中,两异面直线A1B与AD1所成的角为60°

但与的夹角为120°

故③不正确,④中,|·

|=0,故④也不正确.

①②

三、解答题（每小题10分,共20分）

9.（xx·

周口模拟）已知空间三点A（0,2,3）,B（-2,1,6）,C（1,-1,5）.

（1）求以,为边的平行四边形的面积.

（2）若|a|=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.

【解析】

（1）由题意可得:

=（-2,-1,3）,=（1,-3,2）,

所以cos<

>

====,

所以sin<

=,

所以以,为边的平行四边形的面积:

S=2×

||||sin<

=14×

=7.

（2）设a=（x,y,z）,

由题意得

解得

或

所以a=（1,1,1）或a=（-1,-1,-1）.

10.（xx·

唐山模拟）已知空间三点A（-2,0,2）,B（-1,1,2）,C（-3,0,4）,设a=,b=.

（1）求a和b夹角的余弦值.

（2）设|c|=3,c∥,求c的坐标.

（1）因为=（1,1,0）,=（-1,0,2）,

所以a·

b=-1+0+0=-1,|a|=,|b|=.

a,b>

===.

（2）=（-2,-1,2）.设c=（x,y,z）,

因为|c|=3,c∥,

所以=3,存在实数λ使得c=λ,

即

联立解得

所以c=±

（-2,-1,2）.

（20分钟　40分）

1.（5分）（xx·

开封模拟）若A（x,5-x,2x-1）,B（1,x+2,2-x）,当||取最小值时,x的值为　（　　）

A.19B.-C.D.

【解析】选C.||=

=,所以当x=时,

||min=.

2.（5分）设A,B,C,D是空间不共面的四个点,且满足·

=0,

=0,·

=0,则△BCD的形状是　（　　）

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.无法确定

【解题提示】通过·

·

的符号判断△BCD各内角的大小,进而确定出三角形的形状.

【解析】选C.·

=（-）·

+2=2>

0,

同理·

>

0,·

0.故△BCD为锐角三角形.

【加固训练】如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos<

=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为　（　　）

A.（1,1,1）　　　　　B.

C.D.（1,1,2）

【解析】选A.由已知得D（0,0,0）,A（2,0,0）,B（2,2,0）,

设P（0,0,a）（a>

0）,则E.

所以=（0,0,a）,=,

||=a,||=

==.

又cos<

解得a2=4,即a=2,所以E（1,1,1）.

3.（5分）二面角α-l-β为60°

A,B是l上的两点,AC,BD分别在半平面α,β内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为　（　　）

A.2aB.aC.aD.a

【解题提示】选,,为基向量,进行基向量运算求解.

【解析】选A.因为AC⊥l,BD⊥l,所以<

=60°

且·

所以=++,

=

=2a.

4.（12分）已知a=（3,1,5）,b=（1,2,-3）,a·

c=9,b·

c=-4.

（1）若向量c垂直于空间直角坐标系的z轴,试求c的坐标.

（2）是否存在向量c,使得c与z轴共线?

试说明理由.

【解题提示】

（1）设c=（x0,y0,z0）,设z轴上一点为（0,0,m）（m≠0）,依题意a·

c=-4,c垂直于空间直角坐标系的z轴,即可求得c的坐标.

（2）设c=（x1,y1,z1）,设z轴上一点为（0,0,n）（n≠0）,则（x1,y1,z1）=λ（0,0,n）,

c=（0,0,λn）（n≠0）,同

（1）求得λ与n的关系式即可作出判断.

（1）设c=（x0,y0,z0）,设z轴上一点为（0,0,m）（m≠0）,则由题意得:

即c=.

（2）设c=（x1,y1,z1）,设z轴上一点为（0,0,n）（n≠0）,则由题意,知（x1,y1,z1）=λ（0,0,n）=（0,0,λn）（n≠0）,

所以x1=0,y1=0,z1=λn,

即c=（0,0,λn）（n≠0）,

c=-4,

⇒

显然矛盾,

所以不存在满足题意的向量c,使得c与z轴共线.

5.（13分）（xx·

广州模拟）如图,直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°

棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.

（1）求的模.

（2）求cos<

的值.

（3）求证:

A1B⊥C1M.

【解析】如图,建立空间直角坐标系Oxyz,点C为坐标原点O.

（1）依题意得B（0,1,0）,N（1,0,1）,

（2）依题意得A1（1,0,2）,

B（0,1,0）,C（0,0,0）,B1（0,1,2）.

所以=（1,-1,2）,

=（0,1,2）,·

=3,

||=,||=,

（3）依题意,得C1（0,0,2）,M,=（-1,1,-2）,=.

=-++0=0,

所以⊥.所以A1B⊥C1M.

2019-2020年高考数学一轮复习第七章立体几何7.7.1利用空间向量证明空间中的位置关系课时提升作业理

1.（xx·

泉州模拟）设平面α的一个法向量为n1=（1,2,-2）,平面β的一个法向量为n2=（-2,-4,k）,若α∥β,则k=　（　　）

A.2B.4C.-2D.-4

【解析】选B.由α∥β知n1∥n2,则n2=λn1.

即（-2,-4,k）=λ（1,2,-2）,

解得k=4.

【加固训练】若平面α,β垂直,则下面可以是这两个平面的法向量的

是　（　　）

A.n1=（1,2,1）,n2=（-3,1,1）

B.n1=（1,1,2）,n2=（-2,1,1）

C.n1=（1,1,1）,n2=（-1,2,1）

D.n1=（1,2,1）,n2=（0,-2,-2）

【解析】选A.因为α⊥β,

所以n1⊥n2,即n1·

n2=0,

经验证可知,选项A正确.

西安模拟）若平面α,β的法向量分别是n1=（2,-3,5）,n2=（-3,1,-4）,则　（　　）

A.α∥β

B.α⊥β

C.α,β相交但不垂直

D.以上答案均不正确

【解析】选C.因为n1·

n2=2×

（-3）+（-3）×

1+5×

（-4）≠0.

所以n1与n2不垂直,且不共线.

所以α与β相交但不垂直.

3.若=λ+μ,则直线AB与平面CDE的位置关系是　（　　）

A.相交B.平行

C.在平面内D.平行或在平面内

【解析】选D.由=λ+μ知,向量,,共面,则直线AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.

珠海模拟）如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则　（　　）

A.EF至多与A1D,AC之一垂直

B.EF⊥A1D,EF⊥AC

C.EF与BD1相交

D.EF与BD1异面

【解题提示】建立空间直角坐标系,用向量法求解.

【解析】选B.以D点为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设正方体棱长为1,

则A1（1,0,1）,D（0,0,0）,A（1,0,0）,C（0,1,0）,

E,F,B（1,1,0）,

D1（0,0,1）,

=（-1,0,-1）,=（-1,1,0）,

=,=（-1,-1,1）,

=-,·

从而EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.故选B.

5.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,以CD,CB,CE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为　（　　）

A.（1,1,1）　B.

C.　D.

【解析】选C.由已知得A（,,0）,B（0,,0）,D（,0,0）,E（0,0,1）,设M（x,x,1）.

则=（x-,x-,1）,=（,-,0）,=（0,-,1）.设平面BDE的一个法向量为n=（a,b,c）.

则

解得令b=1,则n=（1,1,）.

又AM∥平面BDE,所以n·

=0.

即2（x-）+=0,得x=,

所以M.

6.设点C（2a+1,a+1,2）在点P（2,0,0）,A（1,-3,2）,B（8,-1,4）确定的平面上,则a=　　　　.

【解析】由共面向量定理知=x+y,

即（2a-1,a+1,2）=x（-1,-3,2）+y（6,-1,4）,

即解得a=16.

16

7.（xx·

襄阳模拟）已知平面α内的三点A（0,0,1）,B（0,1,0）,C（1,0,0）,平面β的一个法向量n=（-1,-1,-1）.则不重合的两个平面α与β的位置关系是　　　　.

【解析】由已知得,=（0,1,-1）,=（1,0,-1）,设平面α的一个法向量为m=（x,y,z）,

则得

得令z=1,得m=（1,1,1）.

又n=（-1,-1,-1）,所以m=-n,即m∥n,

所以α∥β.

平行

【方法技巧】平面的法向量的求法

（1）设出平面的一个法向量n=（x,y,z）,利用其与该平面内的两个不共线向量垂直,即数量积为0,列出方程组,两个方程,三个未知数,此时给其中一个变量恰当赋值,求出该方程组的一个非零解,即得到这个法向量的坐标.

（2）注意,赋值不同得到法向量的坐标也不同,法向量的坐标不唯一.

8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱BC,DD1上的点,如果B1E⊥平面ABF,则CE与DF的和为　　　　.

【解析】以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CE=x,DF=y,则易知E（x,1,1）,B1（1,1,0）,所以=（x-1,0,1）,又F（0,0,1-y）,B（1,1,1）,所以=（1,1,y）,由于AB⊥B1E,故若B1E⊥平面ABF,

只需·

=（1,1,y）·

（x-1,0,1）=0⇒x+y=1.

1

石家庄模拟）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,

∠BAC=90°

且AB=AA1,D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.

（1）求证:

DE∥平面ABC.

（2）求证:

B1F⊥平面AEF.

【证明】以A为原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,令AB=AA1=4,则A（0,0,0）,E（0,4,2）,F（2,2,0）,

B1（4,0,4）,D（2,0,2）,

A1（0,0,4）.

（1）=（-2,4,0）,

平面ABC的法向量为=（0,0,4）,

因为·

=0,DE⊄平面ABC,

所以DE∥平面ABC.

（2）=（-2,2,-4）,=（2,-2,-2）,

=（-2）×

2+2×

（-2）+（-4）×

（-2）=0,

所以⊥,B1F⊥EF,

2+（-4）×

0=0,

所以⊥,所以B1F⊥AF.

因为AF∩EF=F,所以B1F⊥平面AEF.

【加固训练】如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=AB,B1C1BC,二面角A1-AB-C是直二面角.

求证:

（1）A1B1⊥平面AA1C.

（2）AB1∥平面A1C1C.

【证明】因为二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,

所以AA1⊥平面BAC.

又因为AB=AC,BC=AB,

所以∠CAB=90°

即CA⊥AB,

所以AB,AC,AA1两两互相垂直.

建立如图所示的空间直角坐标系,

设AB=2,则A（0,0,0）,B1（0,2,2）,A1（0,0,2）,C（2,0,0）,C1（1,1,2）.

（1）=（0,2,0）,=（0,0,-2）,=（2,0,0）,

设平面AA1C的一个法向量n=（x,y,z）,

即即

取y=1,则n=（0,1,0）.

所以=2n,即∥n.

所以A1B1⊥平面AA1C.

（2）易知=（0,2,2）,=（1,1,0）,

=（2,0,-2）,

设平面A1C1C的一个法向量m=（x1,y1,z1）,

令x1=1,则y1=-1,z1=1,

即m=（1,-1,1）.

m=0×

1+2×

（-1）+2×

1=0,

所以⊥m.

又AB1⊄平面A1C1C,

所以AB1∥平面A1C1C.

福州模拟）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.

AA1⊥平面ABC.

（2）证明在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.

（1）因为AA1C1C为正方形,所以AA1⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC.所以AA1⊥平面ABC.

（2）由

（1）知AA1⊥AB,AA1⊥AC.

由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.

如图,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz,

则B（0,3,0）,A1（0,0,4）,B1（0,3,4）,C1（4,0,4）.

设D（x,y,z）是线段BC1上的一点,

且=λ,λ∈[0,1].

所以（x,y-3,z）=λ（4,-3,4）.

解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ,

所以=（4λ,3-3λ,4λ）.

由·

=0,即9-25λ=0,解得λ=.

因为∈[0,1],所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,此时,=λ=.

1.（5分）已知=（1,5,-2）,=（3,1,z）,若⊥,=（x-1,y,-3）,且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为　（　　）

A.,-,4B.,-,4

C.,-2,4D.4,,-15

【解题提示】利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出.

【解析】选B.因为⊥,所以·

=3+5-2z=0,解得z=4.

所以=（3,1,4）.

因为BP⊥平面ABC,

所以⊥,⊥.

化为

所以x=,y=-,z=4.

2.（5分）（xx·

太原模拟）如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是　（　　）

A.斜交B.平行

C.垂直D.不能确定

【解析】选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.

因为A1M=AN=a,

所以M,

N,

所以=.

又C1（0,0,0）,D1（0,a,0）,所以=（0,a,0）,

=0,所以⊥.

因为是平面BB1C1C的一个法向量,

且MN⊄平面BB1C1C,

所以MN∥平面BB1C1C.

3.（5分）空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF,设M,N分别是BD,AE的中点,给出如下命题:

①AD⊥MN;

②MN∥平面CDE;

③MN∥CE;

④MN,CE异面.

则所有的正确命题为　　　　.

【解题提示】选,,为基向量,利用向量法,对四个命题逐一判断从中选择出正确命题.

【解析】如图,设=a,=b,=c,则|a|=|c|且a·

b=c·

b=0.=

-=（b+c）-（a+b）=（c-a）,·

=（c-a）·

b=（c·

b-a·

b）=0,故AD⊥MN,故①正确;

=c-a=2,故MN∥CE,故MN∥平面CDE,故②③正确;

③正确时④一定不正确.

①②③

4.（12分）（xx·

汕头模拟）如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°

AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30°

的角.

（1）CM∥平面PAD.

（2）平面PAB⊥平面PAD.

【证明】以C为坐标原点,CB为x轴,CD为y轴,CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

因为PC⊥平面ABCD,

所以∠PBC为PB与平面ABCD所成的角,

所以∠PBC=30°

因为PC=2,

所以BC=2,PB=4,

所以D（0,1,0）,B（2,0,0）,A（2,4,0）,

P（0,0,2）,M,

所以=（0,-1,2）,=（2,3,0）,

（1）设n=（x,y,z）为平面PAD的一个法向量,

令y=2,得n=（-,2,1）.

因为n·

=-×

+2×

所以n⊥.又CM⊄平面PAD,

所以CM∥平面PAD.

（2）如图,取AP的中点E,连接BE,

则E（,2,1）,

=（-,2,1）.

因为PB=AB,

所以BE⊥PA.

又因为·

=（-,2,1）·

（2,3,0）=0,

所以⊥.所以BE⊥DA.

又PA∩DA=A,所以BE⊥平面PAD.

又因为BE⊂平面PAB,

所以平面PAB⊥平面PAD.

郑州模拟）如图

（1）所示,在Rt△ABC中,∠C=90°

BC=3,

AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图

（2）所示.

A1C⊥平面BCDE.

（2）若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小.

（3）线段BC上是否存在一点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?

说明理由.

（1）因为AC⊥BC,DE∥BC,所以DE⊥AC,所以DE⊥A1D,DE⊥CD,A1D∩DC=D,

所以DE⊥平面A1DC,所以DE⊥A1C.

又因为A1C⊥CD,DE∩CD=D,

所以A1C⊥平面BCDE.

（2）如图所示,以C为坐标原点,建立空间直角坐标系Cxyz,则A1（0,0,2）,D（0,2,0）,M（0,1,）,B（3,0,0）,E（2,2,0）.

设平面A1BE的法向量为n=（x,y,z）,

则n·

=0,n·

又因为=（3,0,-2）,=（-1,2,0）,

令y=1,则x=2,z=,所以n=（2,1,）.

设CM与平面A1BE所成的角为θ.

因为=（0,1,）,

所以sinθ=|cos<

n,>

|===.

所以CM与平面A1BE所成角的大小为.

（3）线段BC上不存在一点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直.理由如下:

假设这样的点P存在,设其坐标为（p,0,0）,其中p∈[0,3].

设平面A1DP的法向量为m=（x1,y1,z1）,

又因为=（0,2,-2）,=（p,-2,0）,

所以令x1=2,则y1=p,z1=.

所以m=.

当且仅当m·

n=0时,平面A1DP⊥平面A1BE.

由m·

n=0,得4+p+p=0,解得p=-2,与p∈[0,3]矛盾.

所以线段BC上不存在一点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直.