立体几何知识点与例题讲解题型方法技巧.docx

1、立体几何知识点与例题讲解题型方法技巧立体几何知识点和例题讲解、知识点一 常用结论1.证明直线与直线的平行的思考途径： （1）转化为判定共面二直线无交点； （2 ）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5 ）转化为面面平行.2.证明直线与平面的平行的思考途径： （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行.3.证明平面与平面平行的思考途径： （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.4.证明直线与直线的垂直的思考途径： （1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射

2、影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直 .5.证明直线与平面垂直的思考途径： （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直6证明平面与平面的垂直的思考途径： （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.7.夹角公式：设 a=（印82月3）, b= （gpb），贝V cosa, b = / 2 驾 2比尸=2Ja +a2 +a3 Jb +b3|x）X2十y2 +乙乙2丨2 2 2 2 2X1 y1 Z1 . X2

3、y2 Z2（其中二（0 ：90）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线 a,b的方向向量）9.直线AB与平面所成角：-arcs in m（ m为平面的法向量）.|AB|m|10. 空间四点 A、B C、P共面OP = xOA yOB zOC，且 x + y + z = 111.二面角二一I - ：的平面角8.异面直线所成角： cost =|cos：a,b 十亞里一丿 |a|b| ?m为平面的法向量）.）-arc cos m n 或專-arc cos m n|m| n| |m| n|12.三余弦定理：设 AC是a内的任一条直线，且 BCL AC,垂足为C,又设AO与 AB所成的角为 齐,

4、AB与AC所（m , n为平面，：的法向量）.成的角为二2 , AO与AC所成的角为 则COST - COS可COSV2.13.空间两点间的距离公式 若A（x-!, y1,z1） , b（x2, y2, z2），则(y2“2 3犷14.异面直线间的距离：| n |d为I1,l2间的距离）.1 1 1 1T -415.点B到平面的距离：16.三个向量和的平方公式：(a b c)12 2 2(2h,l2是两异面直线，其公垂向量为 n , C、D分别是I1,I2上任一点,17.（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线， A -）.“2 2 彳2=a b c 2a b 2b c 2c a二a b c

5、 21 a | |b | cos .a,b ： 2 |b | |c| cosb,c； 21 c| |a |cos； c,a；长度为I的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 |2、l3，夹角分别为片、二2、二3 ,则有I2 =l： I； l； = cos2 片 cos2 叮 cos2 -3 =1 二 sin2 齐 sin J2 sin2 二3 = 2 .（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）s18. 面积射影定理 S .（平面多边形及其射影的面积分别是 S、S,它们所在平面所成锐二面角的 二）.cos廿19.球的组合体（1）球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长

6、 .（2）球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长 ，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长 ，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长 .（3）球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为 a,外接球的半径为 6a.12 420.求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）21.求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）二温馨提示：1.直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时它们各自的取值范围？ 直线的倾斜角、到的角、.与的夹角的取值范围依次是 I - .-.三解题思路:1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:a丄b，a丄c，b，c 二 x，b c

7、 = 0= a丄:面丄a，面：丄a= - / :a丄 0A = a丄 PO; a丄P0= a丄AO 二面角：二面角I - 的平面角二，01 ： X 80（三垂线定理法：A a作或证AB丄B于B ,作BO丄棱于 O,连AO，贝U AO丄棱I ,/ AOB为所 求。）三类角的求法：1找出或作出有关的角。2证明其符合定义，并指出所求作的角。3计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）、题型与方法【考点透视】不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。 求解空间距离和角的方法有两种：一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。【例题解析】考点1点到平面的距离求点到平面的距离就是求点

8、到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用 例1如图，正三棱柱ABC -A1B1C1的所有棱长都为2， D为CG中点（I）求证：AB丄平面ABD ；（n）求二面角 A - AD -B的大小；（川）求点C到平面ABD的距离.考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的 大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维 能力和运算能力.解答过程：解法一：（I）取BC中点O，连结AO .ABC为正三角形，.AO丄BC .正三棱柱ABC _ABG中，平面ABC丄平面BCCB ,.AO 丄平面 BCCiBi - 连结B1O，在正方形BBGC中，

9、O，D分别为BC, CCi 的中点，.BQ 丄 BD , . AB 丄 BD - 在正方形 ABBA中，ABi丄AB , . AB丄平面AiBD -(H)设ABi与A B交于点G ,在平面ABD中，作GF丄AD于F ,连结AF，由(I)得 ab丄平面A BD .AF丄AD， . / AFG为二面角A-AD-B的平面角.在厶AA D中，由等面积法可求得 AF二4& ,5又；AG =2 AB = 2，. sin / AFG 二空 _2 2 AF 4/5 45-所以二面角A -AD -B的大小为眦前帀4(川) A BD 中BD 二AD 二 5, AB =2.2,. S abd 二 6， bcd =

10、i在正三棱柱中， a到平面BCG B的距离为,3 设点C到平面A BD的距离为d 点C到平面A BD的距离为2解法二：2(I)取BC中点O，连结AO ABC为正三角形，.AO丄BC .AD 丄平面 BCCi Bi H r _ 取BQ中点Oi，以O为原点，OB ,OQ , OA的方向为X, y, Z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 B( i ,0,0)-Bi (1 ,2,0),D(-i，0)，A(0,2, 3)，A(0,0, 3)， AB =(i ,2, - 3)，BD =(2,i0)， BA =(i,2j. 3) TAB _BD - -2 2 0=0， AB UBA 一 T 4 -3 =0，A

11、Bi丄平面A1BD .(H)设平面 a ad的法向量为n = (x, y, z).Ad =(-1,1,- 3) , AA =(0,2,0) . 丄 AD , n 丄TA ,n|_AD =0, _x y - 3z =0, y =，J 2 nLAAt =0, 2y =0, x=_.3 z.令z=1得n=(,01)为平面AiAD的一个法向量.由（I）知AB丄平面ABD ,.AB为平面ABD的法向量., 22.2面角 A A D B的大小为arccoA6 4（川）由（n） , ab为平面abd法向量,：BCy,0,0),AB =( 1,2, _ .3)点c到平面abd的距离小结：本例中（川）采用了两种

12、方法求点到平面的距离解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的例2已知三棱锥S-ABC，底面是边长为 4.2的正三角形，棱 SC的长为2,且垂直于底面点到平面AMB i的距离转化为容易求的点 K到平面AMBi的距离的计算方法， 这是数学解题中常用的方法； 解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法 考点2 异面直线的距离此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离BC、AB的中点，求CD与SE间的距离思路启迪：由于异面直线 CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面直线的距离，转化成求直

13、线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离解答过程：如图所示，取 BD的中点F,连结EF , SF , CF , E、D分别为EF 为二BCD 的中位线，.EF / CD, CD /面 SEF ,.CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离 .又:线面之间的距离可转化为线 CD上一点C到平面SEF的距离，设其为h，由题意知，BC =4、. 2,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点，_ 1 _.CD =2.6,EF CD 6, DF h；2SC =22.Vs_cef 工1 - EF DF SC =1 1 6 、2 2 =亘3 2 3 2 3在 Rt . SCE 中，SE 二 SC2 CE

14、2 = 2.3在 Rt SCF 中，SF 二 SC2 CF2 h；4 24 2 = 30又 EF 二 6 . Ssef =3由于 Vc _sef =Vs_cef = - S sef h，即 1 3 h = 2 3，解得 h = 23333 3故CD与SE间的距离为3小结：通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程考点3直线到平面的距离此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化如图，在棱长为2的正方体AC-中，G是AA-的中点，求BD到平面GB-D-的距离.思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解 解答过程：解析一 BD /平面GBQ,.BD上任意一点到平面 GB-D-的距离皆为所求，以下求点O平面GB, D,的距离， B-D-丄 A-C- , B-D-丄 A)AB- D-丄平面 A)ACC-,又 B-D- - 平面 GB-D-平面AACC- GB-D-，两个平面的交线是 O-G ,作OH _ O-G于H，则有OH 平面GB-D-，即OH是O点到平面GB- D-的距离. 在 O-OG 中，S O-OG =丄 OQ AO = 1 2 2 = 2 .2 2O1OGJ OH 02、3 OH OH2 2 3即BD到平面GB1D1的距离等于 红63解析二 BD /平面GB.D,.BD上