立体几何知识点与例题讲解题型方法技巧.docx
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立体几何知识点与例题讲解题型方法技巧
立体几何知识点和例题讲解
、知识点
＜一＞常用结论
1.证明直线与直线的平行的思考途径：
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线
平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.
2.证明直线与平面的平行的思考途径：
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；（3）转化为面
面平行.
3.证明平面与平面平行的思考途径：
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；（3）转化为线面
垂直.
4.证明直线与直线的垂直的思考途径：
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的
射影垂直；（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.
5.证明直线与平面垂直的思考途径：
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相
交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转
化为该直线与两个垂直平面的交线垂直
6•证明平面与平面的垂直的思考途径：
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直.
7.夹角公式：
设a=（印82月3）,b=（gpb），贝Vcos〈a,b＞=/2驾2比'尸=2
Ja+a2+a3Jb+b3
|x）X2十y』2+乙乙2丨
~22222
X1y1Z1.X2y2Z2
（其中二（0°—：
：
：
90°）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）
9.直线AB与平面所成角：
--arcsinm（m为平面〉的法向量）.
|AB||m|
10.空间四点A、BC、P共面OP=xOAyOBzOC，且x+y+z=1
11.二面角二一I-：
的平面角
8.异面直线所成角：
cost=|cos：
：
a,b十亞里一
'丿|a||b|?
m为平面〉的法向量）.
）-arccosmn或專-arccosmn
|m||n||m||n|
12.三余弦定理：
设AC是a内的任一条直线，且BCLAC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为齐,AB与AC所
（m,n为平面〉，：
的法向量）.
成的角为二2,AO与AC所成的角为—则COST-COS可COSV2.
13.空间两点间的距离公式若A（x-!
y1,z1）,b（x2,y2,z2），则
（y2“23犷
14.异面直线间的距离：
|n|
d为I1,l2间的距离）.
1111
T-4
15.点B到平面〉的距离：
16.三个向量和的平方公式：
（abc）1
222
（
2
h,l2是两异面直线，其公垂向量为n,C、D分别是I1,I2上任一点,
17.
（n为平面〉的法向量，AB是经过面〉的一条斜线，A-）.
“22彳2
=abc2ab2bc2ca
二abc21a||b|cos.a,b：
：
2|b||c|cos'b,c；'21c||a|cos；c,a；
长度为I的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为|2、l3，夹角分别为片、二2、二3,则有
I2=l：
I；l；=cos2片cos2叮cos2-3=1二sin2齐sinJ2sin2二3=2.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）
s'
18.面积射影定理S.（平面多边形及其射影的面积分别是S、S,它们所在平面所成锐二面角的二）.
cos廿
19.球的组合体
（1）球与长方体的组合体：
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
（2）球与正方体的组
合体：
正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的
外接球的直径是正方体的体对角线长.（3）球与正四面体的组合体:
棱长为a的正四面体的内切球的半径
为—a,外接球的半径为6a.
124
20.求点到面的距离的常规方法是什么？
（直接法、体积法）
21.求多面体体积的常规方法是什么？
（割补法、等积变换法）
〈二〉温馨提示：
1.直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时它们各自的取值范围？
②直线的倾斜角、到的角、.〔与的夹角的取值范围依次是I-.-.
〈三〉解题思路:
1、平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:
a丄b，a丄c，b，c二x，bc=0=a丄:
面〉丄a，面：
丄a=-■//:
a丄0A=a丄PO;a丄P0=a丄AO
⑶二面角：
二面角—I-［的平面角二，0°1：
：
：
X80°
（三垂线定理法：
A€a作或证AB丄B于B,作
BO丄棱于O,连AO，贝UAO丄棱I,•••/AOB为所求。
）
三类角的求法：
1找出或作出有关的角。
2证明其符合定义，并指出所求作的角。
3计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）
、题型与方法
【考点透视】
不论是求空间距离还是空间角，都要按照“一作，二证，三算”的步骤来完成。
求解空间距离和角的方法有两种：
一是利用传统的几何方法，二是利用空间向量。
【例题解析】
考点1点到平面的距离
求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化
法与等体积法的应用•例1如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CG中点•
（I）求证：
AB丄平面ABD；
（n）求二面角A-AD-B的大小；
（川）求点C到平面ABD的距离.
考查目的：
本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
解答过程：
解法一：
（I）取BC中点O，连结AO.
ABC为正三角形，.AO丄BC.
正三棱柱ABC_ABG中，平面ABC丄平面BCCB,
.AO丄平面BCCiBi-连结B1O，在正方形BBGC中，O，D分别为
BC,CCi的中点，.BQ丄BD,.AB丄BD-在正方形ABBA中，ABi丄AB,.AB丄平面AiBD-
（H）设ABi与AB交于点G,在平面ABD中，作GF丄AD于F,连结AF，由（I）得ab丄平面ABD•
.AF丄AD，./AFG为二面角A-AD-B的平面角.
在厶AAD中，由等面积法可求得AF二4&,
5
又；AG=2AB=2，.sin/AFG二空_2•
2AF4/54
""5-
所以二面角A-AD-B的大小为眦前帀•
4
（川）△ABD中'BD二AD二5,AB=2.2,.Sabd二6，£bcd=i
在正三棱柱中，a到平面BCGB的距离为,3•
设点C到平面ABD的距离为d•
•点C到平面ABD的距离为—2
解法二：
2
（I）取BC中点O，连结AO•
ABC为正三角形，.AO丄BC•
.AD丄平面BCCiBi•
—Hr_
取BQ中点Oi，以O为原点，OB,
OQ,OA的方向为X,y,Z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B（i,0,0）-
Bi（1,2,0）,
D（-i，0），A（0,2,3），A（0,0,3），■AB=（i,2,-3），BD=（—2,i0），BA=（—i,2j.3）•
TAB_BD--220=0，ABUBA一T4-3=0，
ABi丄平面A1BD.
（H）设平面aad的法向量为n=（x,y,z）.
Ad=（-1,1,-3）,AA=（0,2,0）.丄AD,n丄TA,
n|_AD=0,_xy-3z=0,y=°，
J2"<
'nLAAt=0,2y=0,x=_.3z.
令z=1得n=（』,01）为平面AiAD的一个法向量.
由（I）知AB丄平面ABD,
.AB为平面ABD的法向量.
■22.2
面角A—AD—B的大小为arccoA6•
4
（川）由（n）,ab为平面abd法向量,
：
BCy,0,0）,AB=（1,2,_..3）
•点c到平面abd的距离
小结：
本例中（川）采用了两种方法求点到平面的距离
•解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的
例2已知三棱锥S-ABC，底面是边长为4.2的正三角形，棱SC的长为2,且垂直于底面
点到平面AMBi的距离转化为容易求的点K到平面AMBi的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解
法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法考点2异面直线的距离
此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法，考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离
BC、AB的中点，求CD与SE间的距离•
思路启迪：
由于异面直线CD与SE的公垂线不易寻找，所以设法将所求异面
直线的距离，转化成求直线与平面的距离，再进一步转化成求点到平面的距离
解答过程：
如图所示，取BD的中点F,连结EF,SF,CF,
•E、D分别为
EF为二BCD的中位线，.EF//CD,・CD//面SEF,
.CD到平面SEF的距离即为两异面直线间的距离.
又:
线面之间的距离可转化为线CD上一点C到平面SEF
的距离，设其为h，由题意知，BC=4、..2,D、E、F分别是
AB、BC、BD的中点，
_1_
.CD=2.6,EFCD»6,DFh；2SC=2
2
.Vs_cef工1-EFDFSC=116、22=亘
32323
在Rt.SCE中，SE二SC2CE2=2.3
在RtSCF中，SF二SC2CF2h；\4242=30
又EF二6.Ssef=3
由于Vc_sef=Vs_cef=-Ssefh，即13h=23，解得h=2'3
3^333
故CD与SE间的距离为
3
小结：
通过本例我们可以看到求空间距离的过程，就是一个不断转化的过程
考点3直线到平面的距离
此类题目再加上平行平面间的距离，主要考查点面、线面、面面距离间的转化
如图，在棱长为
2的正方体AC-中，G是AA-的中点，求
BD到平面GB-D-的距离.
思路启迪：
把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解解答过程：
解析一BD//平面GBQ,,
.BD上任意一点到平面GB-D-的距离皆为所求，以下求
点O平面GB,D,的距离，
■B-D-丄A-C-,B-D-丄A）AB-D-丄平面A）ACC-,
又■B-D--平面GB-D-
平面AACC-—GB-D-，两个平面的交线是O-G,
作OH_O-G于H，则有OH—平面GB-D-，即OH是O点到平面GB-D-的距离.在O-OG中，SO-OG=丄OQAO=12•2=2.
22
O1OG
JOH02」、3OHOH
223
即BD到平面GB1D1的距离等于红6
3
解析二BD//平面GB.D,,
.BD上
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