最近公共祖先LCA打印螺旋矩阵Word下载.docx

1、4. left=u.value;5. rightv.value;6. parentnull;7. 8. /二叉查找树内，如果左结点大于右结点，不对，交换9. if（leftright）10. templeft;11. right;12. temp;13. 14. 15. while（true）16. /如果t小于u、v，往t的右子树中查找17. （t.valueleft）18. t;19. tt.right;20. 21. /如果t大于u、v，往t的左子树中查找22. else23. 24. t.left;25. =|t.value26. returnparent.value;27. 28.

2、t.value;29. 30. 31. 1.2、不是二叉查找树 但如果这棵树不是二叉查找树呢？一网友何海涛在他博客中用了一种蛮力方法。由于每个结点都有一个指针指向它的父结点，于是我们可以从任何一个结点出发，得到一个到达树根结点的单向链表。因此这个问题转换为两个单向链表的第一个公共结点。 我不想再在这里重复赘述，有兴趣的可以看原文。 接下来的解法，将不再区别对待是否为二叉查找树，而是一致当做是一棵普通的二叉树。总体来说，由于可以把LCA问题看成是询问式的，即给出一系列询问，程序对每一个询问尽快做出反应。故处理这类问题一般有两种解决方法： 一种是在线算法，相当于循序渐进处理； 另外一种则是离线算法

3、，如Tarjan算法，相当于一次性批量处理。解法二、Tarjan算法 如上文末节所述，不论咱们所面对的二叉树是二叉查找树，或不是二叉查找树，都可以把求任意两个结点的最近公共祖先，当做是查询的问题，如果是只求一次，则是单次查询；如果要求多个任意两个结点的最近公共祖先，则相当于是批量查询。 涉及到批量查询的时候，咱们可以借鉴离线处理的方式，这就引出了解决此LCA问题的Tarjan离线算法。2.1、什么是Tarjan算法 Tarjan算法 （以发现者Robert Tarjan命名）是一个在图中寻找强连通分量的算法。算法的基本思想为：任选一结点开始进行深度优先搜索dfs（若深度优先搜索结束后仍有未访问

4、的结点，则再从中任选一点再次进行）。搜索过程中已访问的结点不再访问。搜索树的若干子树构成了图的强连通分量。 应用到咱们要解决的LCA问题上，则是：对于新搜索到的一个结点u，先创建由u构成的集合，再对u的每颗子树进行搜索，每搜索完一棵子树，这时候子树中所有的结点的最近公共祖先就是u了。它的原理是利用并查集优越的时空复杂度，可以实现O（n+q）的算法，q是查询次数。 引用此文的一个例子，如下图（不同颜色的结点相当于不同的集合）： 假设遍历完10的孩子,要处理关于10的请求了，取根节点到当前正在遍历的节点的路径为关键路径,即1-3-8-10，集合的祖先便是关键路径上距离集合最近的点。 比如： 1，2

5、，5，6为一个集合,祖先为1，集合中点和10的LCA为1 3，7为一个集合，祖先为3，集合中点和10的LCA为3 8，9，11为一个集合，祖先为8，集合中点和10的LCA为8 10，12为一个集合，祖先为10，集合中点和10的LCA为10得出的结论便是：LCA（u,v）便是根至u的路径上到节点v最近的点。2.2、Tarjan算法如何而来 但关键是 Tarjan算法是怎么想出来的呢？再给定下图，你是否能看出来：分别从结点1的左右子树当中，任取一个结点，设为u、v，这两个任意结点u、v的最近公共祖先都为1。 于此，我们可以得知：若两个结点u、v分别分布于某节点t 的左右子树，那么此节点 t即为u和

6、v的最近公共祖先。更进一步，考虑到一个节点自己就是LCA的情况，得知： 若某结点t 是两结点u、v的祖先之一，且这两结点并不分布于该结点t 的一棵子树中，而是分别在结点t 的左子树、右子树中，那么该结点t 即为两结点u、v的最近公共祖先。 这个定理就是Tarjan算法的基础。 一如上文1.1节我们得到的结论：“如果当前结点t 满足 u v，说明u和v分居在t 的两侧，故当前结点t 即为最近公共祖先”。 而对于本节开头我们所说的“如果要求多个任意两个结点的最近公共祖先，则相当于是批量查询”，即在很多组的询问的情况下，或许可以先确定一个LCA。例如是根节点1，然后再去检查所有询问，看是否满足刚才的

7、定理，不满足就忽视，满足就赋值，全部弄完，再去假设2号节点是LCA，再去访问一遍。 可此方法需要判断一个结点是在左子树、还是右子树，或是都不在，都只能遍历一棵树，而多次遍历的代价实在是太大了，所以我们需要找到更好的方法。这就引出了下面要阐述的Tarjan算法，即每个结点只遍历一次，怎么做到的呢，请看下文讲解。2.3、Tarjan算法流程 Tarjan算法流程为：Procedure dfs（u）； begin 设置u号节点的祖先为u 若u的左子树不为空，dfs（u - 左子树）； 若u的右子树不为空，dfs（u - 右子树）； 访问每一条与u相关的询问u、v -若v已经被访问过，则输出v当前的祖

8、先t（t即u,v的LCA） 标记u为已经访问，将所有u的孩子包括u本身的祖先改为u的父亲 end 如果树根 t 正在被遍历，那么当前访问点u 必定还在 t 的未被遍历完成的子树中。如果v 已经被访问过，那么 v 在其祖先 t 已被遍历完成的子树中。u , v分别位于t 的不同子树，那么 u，v 的LCA 必定是 t。2.4、Tarjan算法的应用举例 引用此文中的一个例子。i） 访问1的左子树STEP1：从根结点1开始，开始访问结点1、2、3节点12345678祖先2：2的左子树结点3访问完毕3：开始访问2的右子树中的结点4、5、64：4的左子树中的结点5访问完毕5：开始访问4的右子树的结点6

9、6：结点4的左、右子树均访问完毕，故4、5、6中任意两个结点的LCA均为47：2的左子树、右子树均访问完毕，故2、3、4、5、6任意两个结点的LCA均为2 如上所述：进行到此step7，当访问完结点2的左子树（3），和右子树（4、5、6）后，结点2、3、4、5、6这5个结点中，任意两个结点的最近公共祖先均为2。ii） 访问1的右子树8：1的左子树访问完毕，开始访问1的右子树9：开始访问1的右子树中的结点7、8101112：1的右子树中的结点7、8访问完毕当进行到此step12，访问完1的左子树（2、3、4、5、6），和右子树（7、8）后，结点2、3、4、5、6、7、8这7个结点中任意两个结点的

10、最近公共祖先均为1。13：1的左子树、右子树均访问完毕 通过上述例子，我们能看到，使用此Tarjan算法能解决咱们的LCA问题。解法三、转换为RMQ问题 解决此最近公共祖先问题的还有一个算法，即转换为RMQ问题，用Sparse Table（简称ST）算法解决。 Topcoder上有一篇详细阐述RMQ问题的“Range Minimum Query and Lowest Common Ancestor”，网上也有翻译版。在此，我来简单引用 & 总结下。至于为何要总结的原因很简单：因为在这里不总结的话，你不会看晦涩难懂的原文，而在这里总结了，你兴许会看。3.1、什么是RMQ问题 RMQ，全称为Ran

11、ge Minimum Query，顾名思义，则是区间最值查询，它被用来在数组中查找两个指定索引中最小值的位置。即RMQ相当于给定数组A0, N-1，找出给定的两个索引如 i、j 间的最小值的位置。 假设一个算法预处理时间为 f（n），查询时间为g（n），那么这个算法复杂度的标记为。我们将用RMQA（i, j）来表示数组A 中索引i 和 j 之间最小值的位置。 u和v的离树T根结点最远的公共祖先用LCA T（u, v）表示。 如下图所示，RMQA（2,7 ）则表示求数组A中从A2A7这段区间中的最小值： 很显然，从上图中，我们可以看出最小值是A3 = 1，所以也就不难得出最小值的索引值RMQA（

12、2,7） = 3。3.2、如何解决RMQ问题3.2.1、Trivial algorithms for RMQ 下面，我们对对每一对索引（i, j），将数组中索引i 和 j 之间最小值的位置RMQA（i, j）存储在M0, N-10, N-1表中。有不同种计算方法，你会看到，随着计算方法的不同，它的时空复杂度也不同： 普通的计算将得到一个 复杂度的算法。尽管如此，通过使用一个简单的动态规划方法，我们可以将复杂度降低到如何做到的呢？方法如下代码所示：1. /copyright3. voidprocess1（intMMAXNMAXN,AMAXN,N）4. i,j;for（i=0;iN;i+）Miii

13、;0;（j+1;jj+）/若前者小于后者，则把后者的索引值付给Mij（AMij-1Aj）MijMij1;/否则前者的索引值付给Mij17. 一个比较有趣的点子是把向量分割成sqrt（N）大小的段。我们将在M0,sqrt（N）-1为每一个段保存最小值的位置。如此，M可以很容易的在O（N）时间内预处理。 一个更好的方法预处理RMQ 是对2k 的长度的子数组进行动态规划。我们将使用数组M0, N-10, logN进行保存，其中M i j 是以i 开始，长度为 2j 的子数组的最小值的索引。这就引出了咱们接下来要介绍的Sparse Table （ST） algorithm。3.2.2、Sparse T

14、able （ST） algorithm在上图中，我们可以看出： 在A1这个长度为20的区间内，最小值即为A1 = 4，故最小值的索引M10为1； 在A1、A2 这个长度为21的区间内，最小值为A2 = 3，故最小值的索引为M11 = 2； 在A1、A2、A3、A4这个长度为22的区间内，最小值为A3 = 1，故最小值的索引M12 = 3。为了计算Mij我们必须找到前半段区间和后半段区间的最小值。很明显小的片段有着2j - 1长度，因此递归如下根据上述公式，可以写出这个预处理的递归代码，如下：1. voidprocess2（intMMAXNLOGMAXN,2. 3. /initializeMth

15、eintervalswithlength1Mi0/computevaluesfromsmallertobigger（1j）AMi1）j1）Mi16. 经过这个O（N logN）时间复杂度的预处理之后，让我们看看怎样使用它们去计算RMQA（i, j）。思路是选择两个能够完全覆盖区间i.j的块并且找到它们之间的最小值。设k = log（j - i + 1）。 为了计算RMQA（i, j），我们可以使用下面的公式： 故，综合来看，咱们预处理的时间复杂度从O（N3）降低到了O（N logN），查询的时间复杂度为O（1），所以最终的整体复杂度为：O（N logN）, O（1）3.2.3、线段树Segme

16、nt trees 解决RMQ问题也可以用所谓的线段树。线段树是一个类似堆的数据结构，可以在基于区间数组上用对数时间进行更新和查询操作。我们用下面递归方式来定义线段树的i, j区间： 第一个结点将保存区间i, j区间的信息 如果ij 左右的孩子结点将保存区间i, （i+j）/2和（i+j）/2+1, j 的信息 注意具有N个区间元素的线段树的高度为logN + 1。下面是区间0,9的线段树： 线段树和堆具有相同的结构，因此我们定义x是一个非叶结点，那么左孩子结点为2*x,而右孩子结点为2*x+1。想要使用线段树解决RMQ问题，我们则要要使用数组 M1, 2 * 2logN + 1，这里Mi保存结

17、点i区间最小值的位置。初始时M的所有元素为-1。树应当用下面的函数进行初始化（b和e是当前区间的范围）：initialize（intnode,b,e,MMAXIND,（be）Mnodeb;inandsubtreesinitialize（2*/2,M,A,N）;node1,2/searchminimumvaluefirst/secondhalfofinterval（AM2nodeAM2M2node;18. 上面的函数映射出了这棵树建造的方式。当计算一些区间的最小值位置时，我们应当首先查看子结点的值。调用函数的时候使用 node = 1, b = 0和e = N-1。 现在我们可以开始进行查询了。如果我们想要查找区间i, j中的最小值的位置时，我们可以使用下一个简单的函数：1. intquery（intp1,p2;/ifcurrentdoesnintersect/thequery-1eb）-1;isincluded&Mnode;position/leftpartp1query（2j）;