《数学模型第三版》学习笔记Word格式文档下载.docx

1、同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好得效果。椅子在不平得地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉得例子,用简单得数学进行描述、建模分析,给数学模型一个最好得诠释:用数学语言描述事物、现象往往增添了说服力。第2章 初等模型初等数学 简化技巧 思想 这一章顾名思义,就是一些用“初等”数学知识建立、求解得模型,虽然数学知识比较易懂,但就是其中得巧妙思想确实十分重要得。 如何把问题做恰当得简化,到简单得数学工具能够表示、求解得程度,本章做出了很好得例子,同时分析也很精彩。2、1节公平席位分配,通过定义不公平程度等衡量标准,确立目标,提出Q值法。有意思得就是,在考虑就是否存在一个理论上公平得分

2、配方法时,根据所提出得4个（毋庸置疑得）公理,得出得结论却就是:不存在满足上述公理得分配方法。这种类似情况在本书中后面得例子也出现过。这给我们什么启示呢？有些问题与工作,比如公平席位得分配,日常中就是一定要做得,就算不能达到绝对公平也要分配,但一旦证明不存在理论上公平得分配方法时,我们还有分配得意义吗？答案不一;在这个例子中,固然就是有意义得,我们自然转而寻求一个相对公平得分配方法,抑或,就就是回溯查瞧提出得“公理”就是不就是那么得“公理”,瞧能否通过删改公理来取得更公平方案。 录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型,均就是用日常现象、基础得物理知识与巧妙简化进行得建模分析,这里每个例子中

3、得分析,求解后得解释很重要它们就是整个模型得关键,阐述现象。2、7 实物交换就是后面经济学模型得雏形,无差别曲线得图形方法,确定这种曲线实际中要收集大量得数据;核军备竞赛一节,也就是一个动态得变化过程,基本全就是用曲线进行分析得这里给我们一个思想,得出表达式后,许多时候我们只关注曲线得形状、趋势,因此作图分析就是很好得方法,图中可以给我们很多信息（交点,截距,极限值）,而这些信息都一一对应着它们得实际意义;有些即使没有明显得含义,但也很可能为接下来得铺垫、预测作下铺垫。2、10 量纲分析与无量纲化就是另一种重要得求解方法,大致来说思想就就是:仅知道变量之间得制约关系（正/负相关）,系数、阶数均

4、未知,即只能得出表达式得“形式”,要我们通过“量纲齐次性”（等式两端必须保持量纲得一致）来确定具体得表达式。这就是与按理论推导建模并列得另一种方法,这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法得强大。关键:恰当地选择特征尺度,不仅可以减少独立参数得个数,还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。物理知识与经验就是关键。第2章小结: 本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”,10节涉及了不同类型得问题、数学方法,很多都就是本书后面章节模型得雏形、基础。第3章 简单得优化模型简单优化 微分法 建模思想 本章与第4章连续两章都就是优化、规划得问题,可以瞧成一类问题内容上也就是由简单到复杂。在第3

5、章中,主要就是几个简单得优化模型,可以归结到函数极值问题来求解,直接用微分法。虽然模型、数学计算难不倒,但就是还就是那句建模,求解之后结果分析、结果解释得思想,就是我们要学习与引入脑中得。3、1 存贮模型 分不允许、允许缺货两种讨论,中间推出一个最小费用得结果经济订货批量公式EOQ。 对存贮量函数q（t）作图,观察规律,对结果解释。3、2 生猪出售时机 关键点在于敏感性分析与强健性分析这对于优化模型就是否实用、有效就是很重要得。3、3 森林救火 亮点就是对火势蔓延程度dB/dt得形式作出得数条假设,以及假设对应得实际解释。只要合理、自圆其说,就就是一个好得对实际问题得简化。3、4 最优价格 主

6、要就是引出边际收入、编辑支出,以及经济学一条著名定律最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。3、5 血管分支 就是很有趣得一节,用数学模型研究生理问题,我们还就是只关注建模、数学得层面,而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多,用合理有力得假设代之。3、6 消费者得选择 一个消费者买两种产品时,钱应该如何分配。分配比例使她得到最大得满意度得最优比例乘务消费者均衡,而建立消费者均衡模型得关键在于确定效用函数U（q1,q1）。3、7 冰山运输 也就是很有趣得问题,考虑各种因素,基于一些假设,这节研究怎样运输冰山使费用最小。其中用实际数据建立了经验公式,二就是假设冰山为球形,简化了融化规律等得计算

7、。第4章 数学规划模型数学规划方法 lingo/lindo软件 结果深入分析 变量个数 约束条件、可行域、目标函数,构成了常说得“数学规划”模型。本章揭示了数学规划得本质,与它与传统优化数学问题得区别:常理优化模型属于函数极值问题得范畴,但实际中更多得就是决策变量数、约束个数较大,且最优解往往在边界上取得得问题,因此不能用传统得“微分法”求解因此要引入“数学规划”方法。 这一章内容不少,但都就是一类问题,主要点有几个:1、 lingo、lindo求解得使用运行结果中还有一些平时未留意得信息,可以作为结果分析来用,前两节叙述较多;2、 一些细节之处:把一句话用数学公式表达,它往往作为约束条件,如

8、p102得式（19）;3、 多目标规划得处理,p109得“选课策略”基本思想就是通过加权组合形成一个新得目标,从而化为单目标规划;4、 同前面章节一样地,对一个问题解出结果后,问题虽然解决了,但分析并没有结束我们要学习这种further discussion得精神,发现这个结果“恰与相同”之类得,不妨多问自己一句:“这就是偶然得吗？”然后继续分析,得出一般得结论,这样往往能瞧到更多得风景,得出得结论更有含金量/启发性,而不就是仅仅就是解决了该个问题而已。如p109选课策略。5、 减少变量个数,简化模型、式子（简化起见,同时lingo对变量个数有限制）,p115销售得例子。6、 求最优解时,为了

9、减少搜索范围,加快速度,可以先去一个特殊情况求出一个可行解,然后让最优解至少优于它。第5章 微分方程模型动态模型 合理假设 分析预测 控制 这一章就是非常经典得一章,对微分方程模型作了很好得诠释、介绍,每一个模型都有丰富得价值。对于随时间连续变化得对象或状态,当我们要 1）分析变化规律;2）预测;3）研究如何控制它得时候,就要建立相应得微分方程模型。 自然地,这样得模型功能非常强大,也具有一般性,也自然地需要在简化假设上动脑筋如何用数学语言能表述得东西来刻画一个实际动态过程。一个方程,有时就表示着一件事,这件事有可能还持续几十年多么有趣而强大。5、1 传染病模型 本节就是解决“传播”、“蔓延”

10、微分方程问题得典例,模型分三部分层层递进:SI（只分为易感染着、已感染者）,SIS（已感染者可以被治愈,重新变为易感染者）,SIR（治愈后具免疫力,即增加了“移出者”）。可以说从基础模型到一步步递进,就是对实际传染病情况得逐渐深入、全面得考虑,而其中得分析十分重要,也就是本章分析得最细得章节。其中引入了“相轨线”分析法,就是很有力得工具,后面多次用到,这一节有很详细得介绍。模型改进、建模目得性、方法三者配合,就是本节亮点。5、2 经济增长模型 通过建立产值与1）资金;2）劳动力之间得关系,来研究1）资金与劳动力得最佳分配,使效益最大;2）如何调节资金、劳动力增长率,使劳动生产率有效增长。 本模

11、型虽然不长,但推导出计量经济学一重要模型Douglas生产函数。本节给出得模型推导稍繁,但结果简明,有合理解释。5、3 正规战与游击战 这一节介绍了历史上用过得、经典得预测战争结局得数学模型,有传统正规战争、稍复杂得游击战,以及混合战。重点在于建模过程:如何描述战争双方得特性,如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程得强大。5、4 药物在体内得分布与排除 本节建立了房室模型,研究血药浓度得变化过程,为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1）模型得假设:尽管就是简化,但由临床试验证明就是正确得,可以接受;2）对参数得估计。先由机理分析确定方程形式,再由测试数据估计参数

12、。5、5 香烟过滤嘴得作用 瞧起来不易下手得一个问题,用恰当得假设,引入两个基本函数q,w,及物理学常用得守恒定律,建立出微分方程模型,从而构造动态模型。本例就是经典得建模案例。5、6 人口得预测与控制 本节模型与之前得区别在于:考虑年龄得分布,即除了时间外,年龄就是另一个自变量。过程中重要得就是数学公式中,系数、因子得实际含义要解释。5、7 烟雾得扩散与消失 这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标,不仅帮助建模,而且该指标本身就是客观存在得,并非虚构,这样更加有说服力。5、8 万有引力定律得发现 十分有意义得一节。我们初中就熟悉得牛顿万有引力定律,就是由开普勒第三定律与牛顿第二定律一同推导出

13、得,这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们:正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究得巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法,来提升我们解决实际问题得能力。第6章 稳定性模型稳定性理论 建而不解 平衡状态 趋势 相轨线 本章就是建立在上一章得基础上,在微分方程基础上引入得一种重要思想/概念,那就就是对于某些问题,我们可能不关注动态过程得每个瞬时状态,而就是研究稳定状态得特征,特别就是时间充分长以后得状态/趋势,从而判断就是否“稳定”。这时我们往往不需要“求解”微分方程（组）,即“建而不解”;而就是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。*6、6 微分方程稳定

14、性理论简介这一节应为优先阅读得一节,介绍了如何判断一阶、二阶方程得平衡点与稳定性。数学推导稍复杂（对于未接触过得同学）,重要在于了解一些概念、结论,在模型实例中来进一步理解。6、1 捕鱼业得持续收获 研究捕鱼业产量、效益与捕捞过度问题,如何捕捞能获得最大收益。这个问题虽然瞧似只需要给出一个“捕捞量”得答案就可以了,但就是模型整个过程分析中还就是得出了许多结论,如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。在稳定得前提下步步深入。6、2 军备竞赛 这个问题在第二章初等模型中就出现过,这里用微分方程稳定性得知识来分析。正如本节引言所说,军备竞赛因素很多,无法圆满描述,只就是想告诉我们:一个复杂实际过程可

15、以被合理简化到什么程度,得到得结果又怎样解释实际现象。6、3 种群得相互竞争 6、4 种群得相互依存 6、5 食饵-捕食者模型 这三节作为一个系列,用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型得应用。其中,相轨线分析法再次成为主角,它得意义在于:从图中曲线上直观地瞧出发展趋势,且特殊点对应得意义作出解释。第7章 差分方程模型差分方程稳定性 离散时段 差分阻滞增长 混沌 将时间离散化后,就可以建立与微分方程相对应得差分方程模型。这章与第8章讨论得就是确定性离散模型。实际上有些问题既可以用连续,又可以用离散,要瞧目得而定。离散得一个优势在于,便于计算机求解。7、5 差分方程简介:介绍差分方

16、程稳定性得知识,判别稳定得条件。本章要用到得知识。7、1 市场经济中得蛛网模型 先用图形法建立市场经济得“蛛网模型”,给出趋于稳定得条件,再用差分方程建模,解释结果。本节开头得“问题前瞻、介绍”部分很经典,可作为建模论文写作得参考。 本节最后对结果得解释也非常值得学习:启示我们,一些数学结果如参数前后得变大/变小,可能意味着什么,我们不要轻易放过,而就是要时刻不忘解释相对应得原因。7、2 减肥计划节食与运动 这就是一个很生活得问题,主要讨论如何把一个“超重”得人减到目标得正常范围内（均以WTO颁布得体重指数BMI衡量）。 我认为这个模型得两点仍然在建模本身:及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量

17、化,用数学得语言可以表达,写出差分方程。其中p208得“基本方程”式（1）就是整个模型得基石,有了此式后面得工作就可以往上搭建了。注意到,式（1）其实就是一个“建而不解”得方程。 但正如节末评注中所述,实际参数得设置会更复杂,代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异,所以要有更多核对。但我们先要学习得还就是建模这一步。7、3 差分形式得阻滞增长模型 此节就是与之前用微分方程Logistic规律描述得“阻滞增长”规律最好得对比。有时,用离散化得时间研究比较方便,本节就是很好得参考。（按:本人曾经做过用差分方程加修正,描述人数传播问题,个人认为很多情况用差分方程更好,也更“诚实”些,因为我们也只

18、就是想要每个时段得数量） 要注意得就是:若用离散描述,需要说明各“时段”指代意义。推出p211得式（6）后,这个一阶分线性差分方程,也就是“建而不解”,但注意:此处“不解”就是指不需求通项公式,但各项得值仍要计算用计算机递推可方便得到。我们最关心得往往就是k趋向无穷时,y/x收敛情况,即平衡点稳定性得问题。这里微分、差分方程判别上有区别。 P212中,通过深入讨论与213页得数据表发现,不同得参数b下收敛情况不一,然后发现了“倍周期收敛”得规律,即存在多个收敛得子序列。然后发现当n区域无穷时,不在存在任何倍周期收敛,出现混沌现象（Chaos）。混沌得特点为对初值极度敏感,这一点在物理课中老师也

19、提到过,许多非线性方程均就是如此,即“差之毫厘,失之千里”,蝴蝶效应。7、4 按年龄分组得种群增长 这个模型得主要区别在于:将种群分成n个年龄组,分析各年龄组对种群总量增减得影响。这一节得数学推导稍繁。第8章 离散模型层次分析 排名次 冲量过程 “分赃” 群体决策（本章就是确定性离散模型得应用、方法）8、1 层次分析模型 社会经济系统分析工具。排名、评分评价,排等级都可以用层次分析模型解决,数学知识虽然不深,但就是思想十分巧妙且合理,可扩展性也很好。关键在于1）“成对比较矩阵”得确定及修正,2）特征根法求权向量得原理（重要）,3）1-9比较尺度（Satty等人提出）,4）一致性检验。8、2 循

20、环比赛得名次 这节也就是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法:邻接矩阵+得分向量。转化为计算各级得分向量s、A最大特征根&对应特征向量s。按常理一般只会想到基于原邻接矩阵得1级得分向量,若比不出则停滞了;但若将i级乘回邻接矩阵,可以“发展”到i+1级得分向量这个思想就是本模型得关键,而且简单易用易理解。 对于所谓得“下一级”得分向量定义得原理依据,或实际意义,就是此思想得关键,我觉得可以接受,瞧上去很有道理,但未想出具体得解释,这里欢迎指教、讨论。（p246）8、3 社会经济系统得冲量过程 区别于机理分析、统计分析,冲量过程与层次分析属于“系统分析”,就是近20年来发展起来得解决复杂系统得有

21、力工具。 这节模型研究能源系统中,各个因素得趋势、预测问题。主要工具有:带符号加权得有向图,冲量过程（类比物理“冲量“概念）。其目得无非就是研究系统得“稳定性”,以及如何“调整”到稳定。这就是实际问题关注得。8、4 效益得合理分配 几方（大于3方）合作,已知不同子组合可获得不同收益,那么一起合作后,谁得功劳最大？也就就是说,干完活后,如何“分赃”这里就是理性得、用数学推理得公平得“分赃”。本节介绍了3类方法:Shapley值,协商解等,Raiffa解。最后用一个3方分配例子对比了这3种方法。3种方法特点在p262。就是客观求各因素权重得有力途径。8、5 存在公正得选举规则吗 这一节类似第2章得

22、“公平席位”。主要讨论得就是“群体决策”这一类问题。 首先就是简单得选举规则。 接着介绍Arrow K得工作:提出一组公理,却证明不存在满足这组公理得选举规则,但很具有启发性。 然后就是联合尺度选举规则,它就是一个简单易行得规则（但就是对投票情况限制了,才可能满足Arrow公理）。 最后就是一种与Arrow公理无关得规则最小距离,这就是一种类比思想,很巧妙地把公平转化为距离之与最小得最优化问题。第9章 概率模型随机模型 基础概率 生灭过程 数值解分析 相对“确定性”模型来说,当随机因素得影响不可忽略时,就要建立随机模型。概率模型就就是比较简单得随机模型,这一章用我们熟悉得概率分布、期望、方差等

23、知识介绍概率模型怎样处理随机因素得。 关键点有:1、 如何定义随机因素相关得量。针对一个实际问题,做好定义就是开始工作得根本。2、 随机概率模型一般从离散角度（一个个时段）下手,但求解中为了需要可能会转化为连续（如p274得求与转化为积分）。3、 要灵活根据实际问题,决定哪些参数应设为定值,哪些参数会变（如9、4轧钢问题,重量服从正态分布中,均方差应认为就是已知得定值,而均值就是可以调整得）。4、 一般得“生灭过程”参考9、5得随机人口模型相比之前得人口模型,这个更加一般,考虑得因素更多,更接近实际。5、 有些模型无法解析求解,然而数值计算得结果已满足我们对问题进行分析得需要（9、6预订票策略

24、）。第10章 统计回归模型数据拟合MATLAB统计 残差分析 自相关 逐步回归 对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理得问题,我们建模、拟合得通常做法就就是搜集大量得数据,用统计方法建立模型统计回归模型。1、 做散点图,大致判断函数趋势（比如有明显得线性增长）,确定方程形式,待定系数。2、 用MATLAB统计工具箱regress拟合,得出结果;重点:如何由MATLAB输出结果下结论（如置信区间不要包含零点,R2、F）。3、 （考虑实际问题制约）适当引入变量简化问题,如10、1中引入价格差（p297最后一段说明）。4、 利用好回归变量得预测（置信）区间。5、 改进回归模型:逐渐考虑回归变量之间得

25、交互作用在方程中引入二次项、交叉项。若MATLAB拟合输出信息表明有改进,则说明模型更符合实际。还可加上作图对比前后模型（p300）。6、 残差分析（p305,但这页我未瞧懂具体做法,待交流）,及分析得出得结论,我们应该怎样改进模型。7、 p307评注内容:0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。8、 线性化（p309）,及非线性MATLAB求解（p310）;p315最后两段。9、 自相关得考虑（10、4节）:若存在自相关性（具有滞后性,即前期对后期有影响得时间序列）,普通回归模型将失去意义。我们必须先检测就是否存在自相关（D-W检验、广义差分法）,同时注意若高阶自相关,则必须改进直至不存在自

26、相关为止。10、 逐步回归:因素较多时,排除次要因素,用来选择影响因素显著得变量。第11章 马氏链模型离散随机过程 无后效性 转移概率 状态选取基本概念 这一章介绍了处理离散随机过程得重要工具马氏链模型,及若干个应用。总体从浅到深,阐述了马氏链得主要思想。1、 无后效性/Markov性: 系统在每个时期所处得状态时随机得,这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移,且下个时期状态只取决于 1）这个时期状态 2）转移概率,与以前各时期状态无关。2、 马氏链（Markov Chain）模型通常描述: 已知现在,将来与历史无关,具有无后效性得,时间状态均离散得随即转移过程。3、 一些确定性系统得状态

27、转移问题也能用马氏链处理。一、健康与疾病 主要介绍马氏链基本概念、要素: 系统得状态,状态概率,转移概率,马氏链基本方程,状态概率向量,转移概率矩阵。本章讨论时齐得（转移概率与时段n无关）马氏链。 同时介绍2种主要类型 1）正则链:从任意状态出发,经过有限次转移都能达到另外得任意状态（如何判断就是正则链、相应定理）; 2）吸收链:首先引入吸收状态,顾名思义吧,就就是某个状态得转移概率=1,即进了这个状态就出不来了,被“吸收”掉。吸收链就是（至少）存在一个吸收状态,使马氏链从每个费吸收状态出发,能有限次到某个吸收状态。二、钢琴销售得存贮策略 动态随机存贮。一个简化得存贮模型,关键就是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵得设置与求解。 判断转移矩阵P为正则链后,用公式求出稳态概率分布w,就就是达到稳态后得情况,