《数学模型第三版》学习笔记Word格式文档下载.docx
《《数学模型第三版》学习笔记Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《数学模型第三版》学习笔记Word格式文档下载.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
同时数学模型手段之一计算机模拟也有很好得效果。
椅子在不平得地面上放稳、商人安全过河、预报人口增长这3个熟悉得例子,用简单得数学进行描述、建模分析,给数学模型一个最好得诠释:
用数学语言描述事物、现象——往往增添了说服力。
第2章初等模型
初等数学简化技巧思想
这一章顾名思义,就是一些用“初等”数学知识建立、求解得模型,虽然数学知识比较易懂,但就是其中得巧妙思想确实十分重要得。
如何把问题做恰当得简化,到简单得数学工具能够表示、求解得程度,本章做出了很好得例子,同时分析也很精彩。
2、1节公平席位分配,通过定义不公平程度等衡量标准,确立目标,提出Q值法。
有意思得就是,在考虑就是否存在一个理论上公平得分配方法时,根据所提出得4个（毋庸置疑得）公理,得出得结论却就是:
不存在满足上述公理得分配方法。
这种类似情况在本书中后面得例子也出现过。
这给我们什么启示呢？
有些问题与工作,比如公平席位得分配,日常中就是一定要做得,就算不能达到绝对公平也要分配,但一旦证明不存在理论上公平得分配方法时,我们还有分配得意义吗？
答案不一;
在这个例子中,固然就是有意义得,我们自然转而寻求一个相对公平得分配方法,抑或,就就是回溯查瞧提出得“公理”就是不就是那么得“公理”,瞧能否通过删改公理来取得更公平方案。
录像机计数器、双层玻璃功效、刹车距离等模型,均就是用日常现象、基础得物理知识与巧妙简化进行得建模分析,这里每个例子中得分析,求解后得解释很重要——它们就是整个模型得关键,阐述现象。
2、7实物交换——就是后面经济学模型得雏形,无差别曲线得图形方法,确定这种曲线实际中要收集大量得数据;
核军备竞赛一节,也就是一个动态得变化过程,基本全就是用曲线进行分析得——这里给我们一个思想,得出表达式后,许多时候我们只关注曲线得形状、趋势,因此作图分析就是很好得方法,图中可以给我们很多信息（交点,截距,极限值……）,而这些信息都一一对应着它们得实际意义;
有些即使没有明显得含义,但也很可能为接下来得铺垫、预测作下铺垫。
2、10量纲分析与无量纲化——就是另一种重要得求解方法,大致来说思想就就是:
仅知道变量之间得制约关系（正/负相关）,系数、阶数均未知,即只能得出表达式得“形式”,要我们通过“量纲齐次性”（等式两端必须保持量纲得一致）来确定具体得表达式。
这就是与按理论推导建模并列得另一种方法,这一节用单摆、抛射等物理问题很好地诠释了这种方法得强大。
关键:
恰当地选择特征尺度,不仅可以减少独立参数得个数,还帮助我们决定舍弃哪些次要因素。
物理知识与经验就是关键。
第2章小结:
本章可以总结为“初等数学知识+巧妙简化技巧+思想”,10节涉及了不同类型得问题、数学方法,很多都就是本书后面章节模型得雏形、基础。
第3章简单得优化模型
简单优化微分法建模思想
本章与第4章连续两章都就是优化、规划得问题,可以瞧成一类问题——内容上也就是由简单到复杂。
在第3章中,主要就是几个简单得优化模型,可以归结到函数极值问题来求解,直接用微分法。
虽然模型、数学计算难不倒,但就是还就是那句——建模,求解之后结果分析、结果解释得思想,就是我们要学习与引入脑中得。
3、1存贮模型
分不允许、允许缺货两种讨论,中间推出一个最小费用得结果——经济订货批量公式EOQ。
对存贮量函数q（t）作图,观察规律,对结果解释。
3、2生猪出售时机
关键点在于敏感性分析与强健性分析——这对于优化模型就是否实用、有效就是很重要得。
3、3森林救火
亮点就是对火势蔓延程度dB/dt得形式作出得数条假设,以及假设对应得实际解释。
只要合理、自圆其说,就就是一个好得对实际问题得简化。
3、4最优价格
主要就是引出边际收入、编辑支出,以及经济学一条著名定律——最大利润在边际收入等于编辑支持时达到。
3、5血管分支
就是很有趣得一节,用数学模型研究生理问题,我们还就是只关注建模、数学得层面,而对于血管系统几何形状等生理学知识不讨论过多,用合理有力得假设代之。
3、6消费者得选择
一个消费者买两种产品时,钱应该如何分配。
分配比例使她得到最大得满意度得最优比例乘务消费者均衡,而建立消费者均衡模型得关键在于确定效用函数U（q1,q1）。
3、7冰山运输
也就是很有趣得问题,考虑各种因素,基于一些假设,这节研究怎样运输冰山使费用最小。
其中用实际数据建立了经验公式,二就是假设冰山为球形,简化了融化规律等得计算。
第4章数学规划模型
数学规划方法lingo/lindo软件结果深入分析变量个数
约束条件、可行域、目标函数,构成了常说得“数学规划”模型。
本章揭示了数学规划得本质,与它与传统优化数学问题得区别:
常理优化模型属于函数极值问题得范畴,但实际中更多得就是决策变量数、约束个数较大,且最优解往往在边界上取得得问题,因此不能用传统得“微分法”求解——因此要引入“数学规划”方法。
这一章内容不少,但都就是一类问题,主要点有几个:
1、lingo、lindo求解得使用——运行结果中还有一些平时未留意得信息,可以作为结果分析来用,前两节叙述较多;
2、一些细节之处:
把一句话用数学公式表达,它往往作为约束条件,如p102得式（19）;
3、多目标规划得处理,p109得“选课策略”——基本思想就是通过加权组合形成一个新得目标,从而化为单目标规划;
4、同前面章节一样地,对一个问题解出结果后,问题虽然解决了,但分析并没有结束——我们要学习这种furtherdiscussion得精神,发现这个结果“恰与…相同…”之类得,不妨多问自己一句:
“这就是偶然得吗？
”然后继续分析,得出一般得结论,这样往往能瞧到更多得风景,得出得结论更有含金量/启发性,而不就是仅仅就是解决了该个问题而已。
如p109选课策略。
5、减少变量个数,简化模型、式子（简化起见,同时lingo对变量个数有限制）,p115销售得例子。
6、求最优解时,为了减少搜索范围,加快速度,可以先去一个特殊情况求出一个可行解,然后让最优解至少优于它。
第5章微分方程模型
动态模型合理假设分析预测控制
这一章就是非常经典得一章,对微分方程模型作了很好得诠释、介绍,每一个模型都有丰富得价值。
对于随时间连续变化得对象或状态,当我们要1）分析变化规律;
2）预测;
3）研究如何控制它得时候,就要建立相应得微分方程模型。
自然地,这样得模型功能非常强大,也具有一般性,也自然地需要在简化假设上动脑筋——如何用数学语言能表述得东西来刻画一个实际动态过程。
一个方程,有时就表示着一件事,这件事有可能还持续几十年——多么有趣而强大。
5、1传染病模型
本节就是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题得典例,模型分三部分层层递进:
SI（只分为易感染着、已感染者）,SIS（已感染者可以被治愈,重新变为易感染者）,SIR（治愈后具免疫力,即增加了“移出者”）。
可以说从基础模型到一步步递进,就是对实际传染病情况得逐渐深入、全面得考虑,而其中得分析十分重要,也就是本章分析得最细得章节。
其中引入了“相轨线”分析法,就是很有力得工具,后面多次用到,这一节有很详细得介绍。
模型改进、建模目得性、方法三者配合,就是本节亮点。
5、2经济增长模型
通过建立产值与1）资金;
2）劳动力之间得关系,来研究1）资金与劳动力得最佳分配,使效益最大;
2）如何调节资金、劳动力增长率,使劳动生产率有效增长。
本模型虽然不长,但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。
本节给出得模型推导稍繁,但结果简明,有合理解释。
5、3正规战与游击战
这一节介绍了历史上用过得、经典得预测战争结局得数学模型,有传统正规战争、稍复杂得游击战,以及混合战。
重点在于建模过程:
如何描述战争双方得特性,如何作假设。
然后用来分析硫磺岛战役。
这节很好地体现了微分方程得强大。
5、4药物在体内得分布与排除
本节建立了房室模型,研究血药浓度得变化过程,为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。
重点在于1）模型得假设:
尽管就是简化,但由临床试验证明就是正确得,可以接受;
2）对参数得估计。
先由机理分析确定方程形式,再由测试数据估计参数。
5、5香烟过滤嘴得作用
瞧起来不易下手得一个问题,用恰当得假设,引入两个基本函数q,w,及物理学常用得守恒定律,建立出微分方程模型,从而构造动态模型。
本例就是经典得建模案例。
5、6人口得预测与控制
本节模型与之前得区别在于:
考虑年龄得分布,即除了时间外,年龄就是另一个自变量。
过程中重要得就是数学公式中,系数、因子得实际含义要解释。
5、7烟雾得扩散与消失
这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标,不仅帮助建模,而且该指标本身就是客观存在得,并非虚构,这样更加有说服力。
5、8万有引力定律得发现
十分有意义得一节。
我们初中就熟悉得牛顿万有引力定律,就是由开普勒第三定律与牛顿第二定律一同推导出得,这一节再现了这个推导过程。
这个模型告诉我们:
正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究得巨大作用。
我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法,来提升我们解决实际问题得能力。
第6章稳定性模型
稳定性理论建而不解平衡状态趋势相轨线
本章就是建立在上一章得基础上,在微分方程基础上引入得一种重要思想/概念,那就就是——对于某些问题,我们可能不关注动态过程得每个瞬时状态,而就是研究稳定状态得特征,特别就是时间充分长以后得状态/趋势,从而判断就是否“稳定”。
这时我们往往不需要“求解”微分方程（组）,即“建而不解”;
而就是利用“微分方程稳定性理论”直接研究平衡状态稳定性即可。
*6、6微分方程稳定性理论简介
这一节应为优先阅读得一节,介绍了如何判断一阶、二阶方程得平衡点与稳定性。
数学推导稍复杂（对于未接触过得同学）,重要在于了解一些概念、结论,在模型实例中来进一步理解。
6、1捕鱼业得持续收获
研究捕鱼业产量、效益与捕捞过度问题,如何捕捞能获得最大收益。
这个问题虽然瞧似只需要给出一个“捕捞量”得答案就可以了,但就是模型整个过程分析中还就是得出了许多结论,如经济学捕捞过度、生态学捕捞过度等概念。
在稳定得前提下步步深入。
6、2军备竞赛
这个问题在第二章初等模型中就出现过,这里用微分方程稳定性得知识来分析。
正如本节引言所说,军备竞赛因素很多,无法圆满描述,只就是想告诉我们:
一个复杂实际过程可以被合理简化到什么程度,得到得结果又怎样解释实际现象。
6、3种群得相互竞争6、4种群得相互依存6、5食饵-捕食者模型
这三节作为一个系列,用种群竞争、依存、捕食这类生物学案例来诠释稳定性模型得应用。
其中,相轨线分析法再次成为主角,它得意义在于:
从图中曲线上直观地瞧出发展趋势,且特殊点对应得意义作出解释。
第7章差分方程模型
差分方程稳定性离散时段差分阻滞增长混沌
将时间离散化后,就可以建立与微分方程相对应得差分方程模型。
这章与第8章讨论得就是确定性离散模型。
实际上有些问题既可以用连续,又可以用离散,要瞧目得而定。
离散得一个优势在于,便于计算机求解。
7、5差分方程简介:
介绍差分方程稳定性得知识,判别稳定得条件。
本章要用到得知识。
7、1市场经济中得蛛网模型
先用图形法建立市场经济得“蛛网模型”,给出趋于稳定得条件,再用差分方程建模,解释结果。
本节开头得“问题前瞻、介绍”部分很经典,可作为建模论文写作得参考。
本节最后对结果得解释也非常值得学习:
启示我们,一些数学结果如参数前后得变大/变小,可能意味着什么,我们不要轻易放过,而就是要时刻不忘解释相对应得原因。
7、2减肥计划——节食与运动
这就是一个很生活得问题,主要讨论如何把一个“超重”得人减到目标得正常范围内（均以WTO颁布得体重指数BMI衡量）。
我认为这个模型得两点仍然在建模本身:
及如何将减肥计划中“减肥”这一件事量化,用数学得语言可以表达,写出差分方程。
其中p208得“基本方程”式
（1）就是整个模型得基石,有了此式后面得工作就可以往上搭建了。
注意到,式
（1）其实就是一个“建而不解”得方程。
但正如节末评注中所述,实际参数得设置会更复杂,代谢消耗系数beta也因人而异、因环境而异,所以要有更多核对。
但我们先要学习得还就是建模这一步。
7、3差分形式得阻滞增长模型
此节就是与之前用微分方程Logistic规律描述得“阻滞增长”规律最好得对比。
有时,用离散化得时间研究比较方便,本节就是很好得参考。
（按:
本人曾经做过用差分方程加修正,描述人数传播问题,个人认为很多情况用差分方程更好,也更“诚实”些,因为我们也只就是想要每个时段得数量）
要注意得就是:
若用离散描述,需要说明各“时段”指代意义。
推出p211得式（6）后,这个一阶分线性差分方程,也就是“建而不解”,但注意:
此处“不解”就是指不需求通项公式,但各项得值仍要计算——用计算机递推可方便得到。
我们最关心得往往就是k趋向无穷时,y/x收敛情况,即平衡点稳定性得问题。
这里微分、差分方程判别上有区别。
P212中,通过深入讨论与213页得数据表发现,不同得参数b下收敛情况不一,然后发现了“倍周期收敛”得规律,即存在多个收敛得子序列。
然后发现当n区域无穷时,不在存在任何倍周期收敛,出现混沌现象（Chaos）。
混沌得特点为对初值极度敏感,这一点在物理课中老师也提到过,许多非线性方程均就是如此,即“差之毫厘,失之千里”,蝴蝶效应。
7、4按年龄分组得种群增长
这个模型得主要区别在于:
将种群分成n个年龄组,分析各年龄组对种群总量增减得影响。
这一节得数学推导稍繁。
第8章离散模型
层次分析排名次冲量过程“分赃”群体决策
（本章就是确定性离散模型得应用、方法）
8、1层次分析模型
社会经济系统分析工具。
排名、评分评价,排等级都可以用层次分析模型解决,数学知识虽然不深,但就是思想十分巧妙且合理,可扩展性也很好。
关键在于1）“成对比较矩阵”得确定及修正,2）特征根法求权向量得原理（重要）,3）1-9比较尺度（Satty等人提出）,4）一致性检验。
8、2循环比赛得名次
这节也就是对一些排名评价“难题”给出一种经典解法:
邻接矩阵+得分向量。
转化为计算各级得分向量s、A最大特征根&
对应特征向量s。
按常理一般只会想到基于原邻接矩阵得1级得分向量,若比不出则停滞了;
但若将i级乘回邻接矩阵,可以“发展”到i+1级得分向量——这个思想就是本模型得关键,而且简单易用易理解。
对于所谓得“下一级”得分向量定义得原理依据,或实际意义,就是此思想得关键,我觉得可以接受,瞧上去很有道理,但未想出具体得解释,这里欢迎指教、讨论。
（p246）
8、3社会经济系统得冲量过程
区别于机理分析、统计分析,冲量过程与层次分析属于“系统分析”,就是近20年来发展起来得解决复杂系统得有力工具。
这节模型研究能源系统中,各个因素得趋势、预测问题。
主要工具有:
带符号加权得有向图,冲量过程（类比物理“冲量“概念）。
其目得无非就是研究系统得“稳定性”,以及如何“调整”到稳定。
这就是实际问题关注得。
8、4效益得合理分配
几方（大于3方）合作,已知不同子组合可获得不同收益,那么一起合作后,谁得功劳最大？
也就就是说,干完活后,如何“分赃”——这里就是理性得、用数学推理得公平得“分赃”。
本节介绍了3类方法:
Shapley值,协商解等,Raiffa解。
最后用一个3方分配例子对比了这3种方法。
3种方法特点在p262。
就是客观求各因素权重得有力途径。
8、5存在公正得选举规则吗
这一节类似第2章得“公平席位”。
主要讨论得就是“群体决策”这一类问题。
首先就是简单得选举规则。
接着介绍ArrowK得工作:
提出一组公理,却证明不存在满足这组公理得选举规则,但很具有启发性。
然后就是联合尺度选举规则,它就是一个简单易行得规则（但就是对投票情况限制了,才可能满足Arrow公理）。
最后就是一种与Arrow公理无关得规则——最小距离,这就是一种类比思想,很巧妙地把公平转化为距离之与最小得最优化问题。
第9章概率模型
随机模型基础概率生灭过程数值解分析
相对“确定性”模型来说,当随机因素得影响不可忽略时,就要建立随机模型。
概率模型就就是比较简单得随机模型,这一章用我们熟悉得概率分布、期望、方差等知识介绍概率模型怎样处理随机因素得。
关键点有:
1、如何定义随机因素相关得量。
针对一个实际问题,做好定义就是开始工作得根本。
2、随机概率模型一般从离散角度（一个个时段）下手,但求解中为了需要可能会转化为连续（如p274得求与转化为积分）。
3、要灵活根据实际问题,决定哪些参数应设为定值,哪些参数会变（如9、4轧钢问题,重量服从正态分布中,均方差应认为就是已知得定值,而均值就是可以调整得）。
4、一般得“生灭过程”参考9、5得随机人口模型——相比之前得人口模型,这个更加一般,考虑得因素更多,更接近实际。
5、有些模型无法解析求解,然而数值计算得结果已满足我们对问题进行分析得需要（9、6预订票策略）。
第10章统计回归模型
数据拟合
MATLAB统计残差分析自相关逐步回归
对于有些内部规律复杂、无法分析内在机理得问题,我们建模、拟合得通常做法就就是搜集大量得数据,用统计方法建立模型——统计回归模型。
1、做散点图,大致判断函数趋势（比如有明显得线性增长）,确定方程形式,待定系数。
2、用MATLAB统计工具箱regress拟合,得出结果;
重点:
如何由MATLAB输出结果下结论（如置信区间不要包含零点,R^2、F）。
3、（考虑实际问题制约）适当引入变量简化问题,如10、1中引入价格差（p297最后一段说明）。
4、利用好回归变量得预测（置信）区间。
5、改进回归模型:
逐渐考虑回归变量之间得交互作用——在方程中引入二次项、交叉项。
若MATLAB拟合输出信息表明有改进,则说明模型更符合实际。
还可加上作图对比前后模型（p300）。
6、残差分析（p305,但这页我未瞧懂具体做法,待交流）,及分析得出得结论,我们应该怎样改进模型。
7、p307评注内容:
0-1变量法、残差分析法、异常值应剔除。
8、线性化（p309）,及非线性MATLAB求解（p310）;
p315最后两段。
9、自相关得考虑（10、4节）:
若存在自相关性（具有滞后性,即前期对后期有影响得时间序列）,普通回归模型将失去意义。
我们必须先检测就是否存在自相关（D-W检验、广义差分法）,同时注意若高阶自相关,则必须改进直至不存在自相关为止。
10、逐步回归:
因素较多时,排除次要因素,用来选择影响因素显著得变量。
第11章马氏链模型
离散随机过程无后效性转移概率状态选取
基本概念
这一章介绍了处理离散随机过程得重要工具——马氏链模型,及若干个应用。
总体从浅到深,阐述了马氏链得主要思想。
1、无后效性/Markov性:
系统在每个时期所处得状态时随机得,这个时期到下个时期状态按照一定概率进行转移,且下个时期状态只取决于1）这个时期状态2）转移概率,与以前各时期状态无关。
2、马氏链（MarkovChain）模型通常描述:
已知现在,将来与历史无关,具有无后效性得,时间状态均离散得随即转移过程。
3、一些确定性系统得状态转移问题也能用马氏链处理。
一、健康与疾病
主要介绍马氏链基本概念、要素:
系统得状态,状态概率,转移概率,马氏链基本方程,状态概率向量,转移概率矩阵。
本章讨论时齐得（转移概率与时段n无关）马氏链。
同时介绍2种主要类型——
1）正则链:
从任意状态出发,经过有限次转移都能达到另外得任意状态（如何判断就是正则链、相应定理）;
2）吸收链:
首先引入吸收状态,顾名思义吧,就就是某个状态得转移概率=1,即进了这个状态就出不来了,被“吸收”掉。
吸收链就是（至少）存在一个吸收状态,使马氏链从每个费吸收状态出发,能有限次到某个吸收状态。
二、钢琴销售得存贮策略
动态随机存贮。
一个简化得存贮模型,关键就是从中理解状态变量、需求量、转移矩阵得设置与求解。
判断转移矩阵P为正则链后,用公式求出稳态概率分布w,就就是达到稳态后得情况,
升级会员 