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1、13、若A为3阶方阵,且 ,则|2A|= 4 .14、设矩阵得秩为2,则t = -3 .15、设向量（6,8,0）,=（4,3,5）,则（,）= 0 .16、设n元齐次线性方程组Ax = o,r（A）= r n,则基础解系含有解向量得个数为 n-r 个、17、设（1,1,0）,（0,1,1）,=（0,0,1）就是R3得基,则=（1,2,3）在此基下得坐标为 （1,1,2） 、18、设A为三阶方阵,其特征值为1,-1,2,则A2得特征值为 1,1,4 、19、二次型得矩阵A=2 -2 0-2 3 1 0 1 -1 、20、若矩阵A与B=相似,则A得特征值为 1,2,3 、三、计算题（本大题共6小

2、题,每小题9分,共54分）21、求行列式得值、 1+x 1 1 1 1+x 1 1 1 1 1-x 1 1 = -x -x 0 0 =xy 1 1 1+y 1 1 1 1+y 1 1 1 1 1-y 0 0 -y -yx 0 0 01 1 0 00 0 y 00 0 1 1= =X2Y222.解矩阵方程:、解:令A= B= 因为（因为（AE）= 1 1 -1 1 0 0 -2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 -1 1 0 0 0 3 -1 2 1 0 0 0 2 -1 0 1 所以A-1=由AX=B,得X=A-1B=23.求向量组=（ 1, 1, 2, 3 ）,=（1,1,

3、 1, 1 ）,=（1, 3, 3, 5 ）,=（4,2, 5, 6 ）得秩与一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示、（a1t,a2t,a3t,a4t）= 1 -1 1 4 1 -1 3 -2 2 1 5 61 -1 1 40 0 2 -60 1 1 -30 0 0 00 0 1 -31 0 0 70 1 0 0 所以,r（a1,a2 a3,a4）=3,极大线性无关组为a1,a2,a3,a4=7a1-3a3=424、a取何值时,方程组有解？并求其通解（要求用它得一个特解与导出组得基础解系表示）、 A= 若方程组有解,则r（A）=r（A）,故a=5,若a=5时,继续施已初等行变化

4、换得:A=原方程组得同解方程组为:得原方程组得一个特解令得到导出组得基础解系:V=25、已知,求A得特征值及特征向量,并判断A能否对角化,若能,求可逆矩阵P,使P 1AP =（对角形矩阵）. E-A所以,A得特征值为:12=2 ,3=10 0 0 -1 0 1-1 0 1 1 0 -10 0 0,得基础解系:0 11 00 -1-1对于 12=2,求其次线性方程组（2E-A）x=0得基础解系（2E-A）= 从而矩阵A得对应于特征值1=2=2得全部特征向量为:C1,C2不全为零,对于3=1,求齐次线性方程组（E-A）X=0得基础解系E-A= 因为三阶矩阵A有三个线性无关得特征向量 所以,A相似于

5、对角矩阵,且P=26、用配方法将下列二次型化为标准形:f（x1x2x3）=x12+2x22-x32+4x1x3-4x2x3=x12+4x1（x2-x3）+4（x2-x3）-4（x2-x3）+2x2-x32-4x2x3=（x1+2x2-2x3）-2x22+4x2x3-5x32=（x1+x2-x3）2-（x22-2x2x3+x32）-3x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-3x32 得二次型得标准型为y12-2y22-3y32四、证明题（本大题共6分）27、设向量,证明向量组就是R3空间中得一个基、 首先a1,a2,a3得转置=a1T,a2T,a3T1 1 0-1 1 01 1

6、1=0 2 00 0 12 所以a1,a2,a3线性无关,所以a1,a2,a3就是R3得空间得一个基线性代数（经管类）综合试题二1、若三阶行列式=0, 则k = （ C ）、A.1 B.0 C.-1 D.-22、设A、B为n阶方阵,则成立得充要条件就是 （ D ）、A.A可逆 B.B可逆 C.|A|=|B| D.AB=BA3、设A就是n阶可逆矩阵, A*就是A得伴随矩阵, 则 （ A ）、A. B.C. D.4、矩阵得秩为2,则 = （ B ）、A.2 B.1 C.0 D.5、设34矩阵A得秩r（A）=1,就是齐次线性方程组Ax=o得三个线性无关得解向量,则方程组得基础解系为 （D ）、A.

7、B. C. D.6、向量线性相关,则（ C ）、A.k =-4 B.k = 4 C.k =-3 D.k = 3 7、设u1, u2就是非齐次线性方程组Ax=b得两个解, 若就是其导出组Ax=o得解, 则有 （ B ）、A.c1+c2 =1 B.c1= c2 C.c1+ c2 = 0 D.c1= 2c2 8、设A为n（n2）阶方阵,且A2=E,则必有 （ B ）、A.A得行列式等于1 B.A得秩等于nC.A得逆矩阵等于E D.A得特征值均为19、设三阶矩阵A得特征值为2, 1, 1, 则A-1得特征值为 （ D ）、A.1, 2 B.2, 1, 1 C., 1 D., 1, 110、二次型就是

8、（ A ）、A.正定得 B.半正定得 C.负定得 D.不定得11、=_5.12、设A为三阶方阵,且|A|=4,则|2A|=32.-1 -1 00 4 10-2 -15 213、设A=, B =, 则ATB =_.14、设A =,则A-1=_.15、向量表示为向量组得线性组合式为-1+22+53.16、如果方程组有非零解, 则k =-1.17、设向量与正交,则a =_2_.18、已知实对称矩阵A=,写出矩阵A对应得二次型x12+x22-x32+x1x2-3x1x3.19、已知矩阵A与对角矩阵=相似,则A2=E.20、设实二次型得矩阵A就是满秩矩阵,且二次型得正惯性指数为3,则其规范形为y12+y

9、22+y32-y42.X+3y y y yX+3y x y yX+3y y x yX+3y y y x21、计算行列式得值、 解:原式= =（x+3y）22、设矩阵A=,B=,求矩阵A-1B 、AE= 得A-1=23、设矩阵,求k得值,使A得秩r（A）分别等于1,2,3、对矩阵A实行初等变换: 当K=1时,A 当k=-2时。A当k1且k2时,A24、求向量组得秩与一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示、1 1 1 21 2 3 41 3 7 101 4 13 200 1 2 2 0 2 6 80 3 12 180 1 2 20 0 2 40 0 6 12将所给列向量构成矩阵

10、A,然后实行初等行变化（a1,a2,a3,a4）=所以,向量组得秩r（a1,a2,a3,a4）=3,向量组得一个极大线性无关组为:a1,a2,a3,且有a4=2a1-2a2+2a325、求线性方程组得基础解系,并用基础解系表示其通解、对方程组得系数矩阵做初等行变化: 令 方程组得通解为c1v1+c2v2=c126、已知矩阵,求正交矩阵P与对角矩阵,使P-1AP=、矩阵A得特征多项式为:E-A =-1 -1 -1-1 -1 -1-1 -1 -1-1 -1 -1得基础解系为a1-1a22-1/2再标准化得:-1/21/2r2-1/62/6对于3解方程组3E-Ax=0 =2（-3）得矩阵A得所有特征

11、值为:1=2=0,3=3对于12=0,求方程组（0E-A）x=0得基础解系 将此线性无关得特征向量正交变换,得 1= r1=将其单位化,得r3=P=r1,r2,r3则P就是正交矩阵,且P-1AP=27、设向量组线性无关,证明:向量组也线性无关、令 k1a1+k2（a1+a2）+k3（a1+a2+a3）+k3（a1a2+a3）=0因为a1,a2as线性无关,所以K1+k2+ks-1+ks=0K2+k3+ks Ks-1+ks=0 Ks=0解得:K1=0K2=0Ks-1=0Ks=0故a1,a1+a2,a1+a2+a3a1+a2+as 线性无关线性代数（经管类）综合试题三1、当（ D ）成立时,阶行列

12、式得值为零、A、行列式主对角线上得元素全为零B、行列式中有个元素等于零C、行列式至少有一个阶子式为零D、行列式所有阶子式全为零2、已知均为n阶矩阵,E为单位矩阵,且满足ABC=E,则下列结论必然成立得就是 （ B ）、A、 ACB=E B、 BCA=E C、 CBA=E D、 BAC=E 3、设A,B均为n阶可逆矩阵,则下列等式成立得就是 （ D ）、A、 （AB）-1=A-1B-1 B、 （A+B）-1=A-1+B-1 C、 （AB）T=ATBT D、 4、下列矩阵不就是初等矩阵得就是 （ B ）、 A、 B、 C、 D、5、设就是4维向量组,则 （ D ）、A、线性无关B、至少有两个向量成

13、比例C、只有一个向量能由其余向量线性表示D、至少有两个向量可由其余向量线性表示6、设A为mn矩阵,且m5 、 20、设三阶矩阵A得特征值为1,2,3,矩阵B=A2+2A,则|B|= 360 、21、设三阶矩阵A=,E为三阶单位矩阵、求:（1）矩阵A-2E及|A-2E|;（2）、A-2E= （2）1 0 0 1 0 00 1 0 1 -1 00 0 1 -1 2 1（A-2E）-11 0 01 - 1 0-1 2 122、已知向量组（1）向量组得秩;（2）向量组得一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示、23、讨论a为何值时,线性方程组有解？当方程组有解时,求出方程组得通解、

14、对方程组得增广矩阵实施初等行变化A=从而a=1,当a=1时原方程组得通解方程为 X3,x4为自由向量,令x3,x4=0,得原方程组得一个特解（0,1,0,0）T,（-4,1,0,1）T,所以,方程组得通解为:（0,1,0,0）T+c1（0,1,1,0）T+c2（-4,1,0,1）T,其中,c1,c2为任意常数24、已知向量组,讨论该向量组得线性相关性、1 -2 -11 a 12 4 a0 a+2 20 8 a+2（a1-a2）（a+6）因为当a=2或a=-6,向量组线性相关,a2,且a-6时,向量组线性无关25、已知矩阵A=,（1）求矩阵A得特征值与特征向量;（2）判断A可否与对角矩阵相似,若

15、可以,求一可逆矩阵P及相应得对角形矩阵、 （E-A）= 所以A得特征值:1,2=1,3= 2,对于1,2=1,求其次线性方程组（E-A）x=0得基础解系E-A= 得基础解系 从而矩阵A得对应特征值1=2得全部特征向量为:c=3 -1 04 -1 0-1 0 00 1 0从而矩阵A得对应于特征值3=2得全部特征向量为:（c0）对于3=2,求齐次线性方程组（2E-A）x=0得基础解系2E-A=C=因为三阶矩阵A只有两个线性无关得特征向量,所以,A不能相似于对角矩阵26、设二次型（1）将二次型化为标准形;（2）求二次型得秩与正惯性指数、 f（x1,x2,x3）=x1+2x1x2-2x1x3+2x22

16、-4x2x3 =x12+2x2（x2-x3）+（x2-x3）2-（x2-x3）2+2x22-4x2x3-3x32 =（x1+x2+x3）2+x22-2x2x3-4x32 =（x1+x2+x3）2+（x22-2x2x3+x32）-5x32 =（x1+x2+x3）2+（x2-x3）2-5x32Y1=x1+x2-x3Y2=x2-x3Y3=x3即X1=y1-y2X2=y2+y3X3=y3得二次型得标准型为:y12+y22-5y32（2）有上述标准性知:二次型得秩为3,正惯性指数为227、已知A就是n阶方阵,且,证明矩阵A可逆,并求 证:由（A+E）2=0,得:A2+2A=-E,从而A（A+2E）=-E

17、,A（-A-2E）=E,所以A可逆,且A-1=-A-2E线性代数（经管类）综合试题四1、三阶行列式,则a = （ ）、A、 2 B、 3 C、 D、 -3 2、设A,B均为n阶非零方阵,下列选项正确得就是 （ ）、A、 （A+B）（A-B） = A2-B2 B、 （AB）-1 = B-1A-1 C、 若AB= O, 则A=O或B=O D、 |AB| = |A| |B| 3、设A,B,AB-BA= （ ）、A、 B、 C、 D、 4、设矩阵得秩为2,则 （ ）、A、 B、t = -4 C、 t就是任意实数 D、以上都不对5、设向量,则 （ ）、A、（1, 0, 5, 4 ） B、（1, 0, -

18、5, 4） C、（-1, 0, 5, 4） D、（1, 0, 5, -6）6、向量组线性相关,则（ ）、A、 k =-4 B、 k = 4 C、 k = 3 D、 k = 27、设u1, u2就是非齐次线性方程组Ax = b得两个解,若c1u1+c2u2也就是方程组Ax = b得解,则 （ ）、A、 c1+c2 =1 B、 c1= c2 C、 c1+ c2 = 0 D、 c1= 2c2 8、设mn矩阵A得秩r（A） = n-3（n3）,就是齐次线性方程组Ax=o得三个线性无关得解向量,则方程组Ax=o得基础解系为（ ）、A、 B、 C、 D、 9、设三阶矩阵A得特征值为1,1,2,则2A+E得

19、特征值为（ ）、 A、 3,5 B、 1,2 C、1,1,2 D、 3,3,5 10、n阶对称矩阵A为正定矩阵得充分必要条件就是 （ ）、 A、 B、存在n阶矩阵P,使得A=PTP C、负惯性指数为 D、各阶顺序主子式均为正数11、 、 12、设A为三阶方阵,且|A|=2,A*就是其伴随矩阵,则|2A*| = 、13、设矩阵A,则= 、14、设,则内积= 、15、若向量不能由线性表示,且r（）=2,则r（,）= 、16、设线性方程组有解,则t = 、17、方程组得基础解系含有解向量得个数就是 、18、设二阶矩阵A与B相似,A得特征值为-1,2,则|B|= 、19、设二次型得矩阵,则二次型 、

20、20、用正交变换将二次型化为标准形为,则矩阵A得最小特征值为 、21、计算n阶行列式、22、解矩阵方程:23、验证就是R3得一个基,并求向量在此基下得坐标、24、设向量组线性无关,令试确定向量组得线性相关性、25、求线性方程组得基础解系,并表示其通解、26、求矩阵得特征值与全部特征向量、27、设就是三维向量组,证明:线性无关得充分必要条件就是任一三维向量都可由它线性表示、线性代数（经管类）综合试题五1、行列式,则k = （ ）、A、 1 B、 4 C、 -1或4 D、 -1 2、设A,B,C均为n阶非零方阵,下列选项正确得就是 （ ）、A、若AB=AC,则B=C B、 （A-C）2 = A2-2AC+C2 C、 ABC= BCA D、 |ABC| = |A| |B| |C| 3、设A,B均为n阶方阵,则等式（A+B）（A-B） = A2-B2成立得充分必要条件就是 （ ）、A、 A=E B、 B=O C、 A=B D、 AB=BA4、若,则初等矩阵P= （ ）、 C、 D、 5、设向量,则 （ ）、A、 （-1, 3, 8, 9 ） B、 （1, 3,8, 9） C、 （-1, 0, 8, 6） D、