线性代数笔记Word文档下载推荐.docx
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13、若A为3阶方阵,且,则|2A|=4.
14、设矩阵得秩为2,则t=-3.
15、设向量＝（6,8,0）,=（4,–3,5）,则（,）=0.
16、设n元齐次线性方程组Ax=o,r（A）=r<
n,则基础解系含有解向量得个数为n-r个、
17、设＝（1,1,0）,＝（0,1,1）,=（0,0,1）就是R3得基,则=（1,2,3）在此基下得坐标为（1,1,2）、
18、设A为三阶方阵,其特征值为1,-1,2,则A2得特征值为1,1,4、
19、二次型得矩阵A=
2-20
-231
01-1、
20、若矩阵A与B=相似,则A得特征值为1,2,3、
三、计算题（本大题共6小题,每小题9分,共54分）
21、求行列式得值、
1+x1111+x111
11-x11=-x-x00=xy
111+y1111+y1
1111-y00-y-y
x000
1100
00y0
0011
==X2Y2
22.解矩阵方程:
、
解:
令A==B=因为（因为（AE）=
11-1100
-211010
111001
→11-1100
03-1210→
002-101
所以A-1=
由AX=B,得X=A-1B=
23.
求向量组=（1,1,2,3）,=（－1,－1,1,1）,=（1,3,3,5）,=（4,－2,5,6）得秩与一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大无关组线性表示、
（a1t,a2t,a3t,a4t）=1-114
1-13-2
2156
→
1-114
002-6
011-3
0000
001-3
1007
0100
所以,r（a1,a2a3,a4）=3,极大线性无关组为a1,a2,a3,a4=7a1-3a3=4
24、a取何值时,方程组有解？
并求其通解（要求用它得一个特解与导出组得基础解系表示）、
A=
若方程组有解,则r（A）=r（A）,故a=5,若a=5时,继续施已初等行变化换得:
A=
原方程组得同解方程组为:
得原方程组得一个特解
令
得到导出组得基础解系:
V=
25、已知,求A得特征值及特征向量,并判断A能否对角化,若能,求可逆矩阵P,使P–1AP=Λ（对角形矩阵）.
λE-A
所以,A得特征值为:
λ1λ2=2,λ3=1
000
-101
-101
10-1
000
得基础解系:
01
10
0-1
-
1
对于λ1λ2=2,求其次线性方程组（2E-A）x=0得基础解系
（2E-A）=
从而矩阵A得对应于特征值λ1=λ2=2得全部特征向量为:
C1,C2不全为零,对于λ3=1,求齐次线性方程组（E-A）X=0得基础解系E-A=
因为三阶矩阵A有三个线性无关得特征向量
所以,A相似于对角矩阵,且P=
26、用配方法将下列二次型化为标准形:
f（x1x2x3）=x12+2x22-x32+4x1x3-4x2x3=[x12+4x1（x2-x3）+4（x2-x3）]-4（x2-x3）+2x2-x32-4x2x3=（x1+2x2-2x3）-2x22+4x2x3-5x32=（x1+x2-x3）2-（x22-2x2x3+x32）-3x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-3x32
得二次型得标准型为y12-2y22-3y32
四、证明题（本大题共6分）
27、设向量,证明向量组就是R3空间中得一个基、
首先a1,a2,a3得转置=a1T,a2T,a3T
110
-110
111
=
020
001
2
≠
所以a1,a2,a3线性无关,所以a1,a2,a3就是R3得空间得一个基
线性代数（经管类）综合试题二
1、若三阶行列式=0,则k=（C）、
A.1B.0C.-1D.-2
2、设A、B为n阶方阵,则成立得充要条件就是（D）、
A.A可逆B.B可逆C.|A|=|B|D.AB=BA
3、设A就是n阶可逆矩阵,A*就是A得伴随矩阵,则（A）、
A.B.
C.D.
4、矩阵得秩为2,则λ=（B）、
A.2B.1C.0D.
5、设3×
4矩阵A得秩r（A）=1,就是齐次线性方程组Ax=o得三个线性无关得解向量,则方程组得基础解系为（D）、
A.B.
C.D.
6、向量线性相关,则（C）、
A.k=-4B.k=4C.k=-3D.k=3
7、设u1,u2就是非齐次线性方程组Ax=b得两个解,若就是其导出组Ax=o得解,则有（B）、
A.c1+c2=1B.c1=c2C.c1+c2=0D.c1=2c2
8、设A为n（n≥2）阶方阵,且A2=E,则必有（B）、
A.A得行列式等于1B.A得秩等于n
C.A得逆矩阵等于ED.A得特征值均为1
9、设三阶矩阵A得特征值为2,1,1,则A-1得特征值为（D）、
A.1,2B.2,1,1C.,1D.,1,1
10、二次型就是（A）、
A.正定得B.半正定得C.负定得D.不定得
11、=__5.
12、设A为三阶方阵,且|A|=4,则|2A|=32.
-1-10
0410
-2-1
52
13、设A=,B=,则ATB=__________.
14、设A=,则A-1=__________.
15、向量表示为向量组
得线性组合式为-ε1+2ε2+5ε3.
16、如果方程组有非零解,则k=-1.
17、设向量与正交,则a=___2_______.
18、已知实对称矩阵A=,写出矩阵A对应得二次型x12+x22-x32+x1x2-3x1x3.
19、已知矩阵A与对角矩阵Λ=相似,则A2=E.
20、设实二次型得矩阵A就是满秩矩阵,且二次型得正惯性指数为3,则其规范形为y12+y22+y32-y42.
X+3yyyy
X+3yxyy
X+3yyxy
X+3yyyx
21、计算行列式得值、
解:
原式=
=（x+3y）
22、设矩阵A=,B=,求矩阵A-1B、
AE=
→
得A-1=
23、设矩阵,求k得值,使A得秩r（A）分别等于1,2,3、
对矩阵A实行初等变换:
当K=1时,A→
当k=-2时。
A→
当k≠1且k≠2时,A→
24、求向量组得秩与一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示、
1112
1234
13710
141320
0122
0268
031218
0122
0024
00612
将所给列向量构成矩阵A,然后实行初等行变化
（a1,a2,a3,a4）=
所以,向量组得秩r（a1,a2,a3,a4）=3,向量组得一个极大线性无关组为:
a1,a2,a3,且有a4=2a1-2a2+2a3
25、求线性方程组得基础解系,并用基础解系表示其通解、
对方程组得系数矩阵做初等行变化:
令
方程组得通解为c1v1+c2v2=c1
26、已知矩阵,求正交矩阵P与对角矩阵Λ,使P-1AP=Λ、
矩阵A得特征多项式为:
λE-A=
λ-1-1-1
-1λ-1-1
-1-1λ-1
-1-1-1
得基础解系为
a1
-1
a2
β2
-1/2
再标准化得:
-1/√2
1/√2
r2
-1/√6
2/√6
对于λ3解方程组3E-Ax=0
=λ2（λ-3）得矩阵A得所有特征值为:
λ1=λ2=0,λ3=3
对于λ1λ2=0,求方程组（0E-A）x=0得基础解系
∵
将此线性无关得特征向量正交变换,得
β1=
r1=
将其单位化,得r3=
P=r1,r2,r3
则P就是正交矩阵,且P-1AP=Λ
27、设向量组线性无关,证明:
向量组
也线性无关、
令k1a1+k2（a1+a2）+k3（a1+a2+a3）+…+k3（a1a2+…+a3）=0
因为a1,a2…as线性无关,所以
K1+k2+…+ks-1+ks=0
K2+k3+…+ks
Ks-1+ks=0
Ks=0
解得:
K1=0
K2=0
Ks-1=0
Ks=0
故a1,a1+a2,a1+a2+a3…a1+a2+…+as线性无关
线性代数（经管类）综合试题三
1、当（D）成立时,阶行列式得值为零、
A、行列式主对角线上得元素全为零
B、行列式中有个元素等于零
C、行列式至少有一个阶子式为零
D、行列式所有阶子式全为零
2、已知均为n阶矩阵,E为单位矩阵,且满足ABC=E,则下列结论必然成立得就是（B）、
A、ACB=EB、BCA=EC、CBA=ED、BAC=E
3、设A,B均为n阶可逆矩阵,则下列等式成立得就是（D）、
A、（AB）-1=A-1B-1B、（A+B）-1=A-1+B-1
C、（AB）T=ATBTD、
4、下列矩阵不就是初等矩阵得就是（B）、
A、B、C、D、
5、设就是4维向量组,则（D）、
A、线性无关
B、至少有两个向量成比例
C、只有一个向量能由其余向量线性表示
D、至少有两个向量可由其余向量线性表示
6、设A为m×
n矩阵,且m<
n,则齐次线性方程组Ax=o必（C）、
A、无解B、只有唯一零解C、有非零解D、不能确定
7、已知4元线性方程组Ax=b得系数矩阵A得秩为3,又
就是Ax=b得两个解,则Ax=b得通解就是（D）、
A、B、
C、D、
8、如果矩阵A与B满足（D）,则矩阵A与B相似、
A、有相同得行列式
B、有相同得特征多项式
C、有相同得秩
D、有相同得特征值,且这些特征值各不相同
9、设A就是n阶实对称矩阵,则A就是正定矩阵得充要条件就是（D）、
0B、A得每一个元素都大于零
C、D、A得正惯性指数为n
10、设A,B为同阶方阵,且r（A）=r（B）,则（C）、
A、A与B相似B、A与B合同
C、A与B等价D、|A|=|B|
11、行列式24、
12、设A为三阶矩阵,|A|=-2,将矩阵A按列分块为,其中就是A得第j列,,则|B|=6、
1-1
-12
13、已知矩阵方程AX=B,其中A=,B=,则X=、
14、已知向量组得秩为2,则k=-2、
15、向量得长度=√15、
16、向量在基下得坐标为（3,-4,3）、
17、设就是4元齐次线性方程组Ax=o得基础解系,则矩阵A得秩r（A）=1、
18、设就是三阶矩阵A得特征值,则a=1、
19、若
就是正定二次型,则满足λ>
5、
20、设三阶矩阵A得特征值为1,2,3,矩阵B=A2+2A,则|B|=360、
21、设三阶矩阵A=,E为三阶单位矩阵、
求:
（1）矩阵A-2E及|A-2E|;
（2）、
A-2E=
（2）∵
100100
0101-10
001-121
∴
（A-2E）-1
100
1-10
-121
22、已知向量组
（1）向量组得秩;
（2）向量组得一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表示、
23、讨论a为何值时,线性方程组有解？
当方程组有解时,求出方程组得通解、
对方程组得增广矩阵实施初等行变化A=
从而a=1,当a=1时原方程组得通解方程为
X3,x4为自由向量,令x3,x4=0,得原方程组得一个特解（0,1,0,0）T,（-4,1,0,1）T,所以,方程组得通解为:
（0,1,0,0）T+c1（0,1,1,0）T+c2（-4,1,0,1）T,其中,c1,c2为任意常数
24、已知向量组,讨论该向量组得线性相关性、
1-2-1
1a1
24a
0a+22
08a+2
（a1-a2）（a+6）
因为
当a=2或a=-6,向量组线性相关,
a≠2,且a≠-6时,向量组线性无关
25、已知矩阵A=,
（1）求矩阵A得特征值与特征向量;
（2）判断A可否与对角矩阵相似,若可以,求一可逆矩阵P及相应得对角形矩阵Λ、
（λE-A）=
所以A得特征值:
λ1,λ2=1,λ3=2,对于λ1,λ2=1,求其次线性方程组（E-A）x=0得基础解系E-A=
得基础解系
从而矩阵A得对应特征值λ1=λ2得全部特征向量为:
c=
3-10
4-10
-100
010
从而矩阵A得对应于特征值λ3=2得全部特征向量为:
（c≠0）
对于λ3=2,求齐次线性方程组（2E-A）x=0得基础解系
2E-A=
C=
因为三阶矩阵A只有两个线性无关得特征向量,所以,A不能相似于对角矩阵
26、设二次型
（1）将二次型化为标准形;
（2）求二次型得秩与正惯性指数、
f（x1,x2,x3）=x1+2x1x2-2x1x3+2x22-4x2x3
=[x12+2x2（x2-x3）+（x2-x3）2]-（x2-x3）2+2x22-4x2x3-3x32
=（x1+x2+x3）2+x22-2x2x3-4x32
=（x1+x2+x3）2+（x22-2x2x3+x32）-5x32
=（x1+x2+x3）2+（x2-x3）2-5x32
Y1=x1+x2-x3
Y2=x2-x3
Y3=x3
即
X1=y1-y2
X2=y2+y3
X3=y3
得二次型得标准型为:
y12+y22-5y32
（2）有上述标准性知:
二次型得秩为3,正惯性指数为2
27、已知A就是n阶方阵,且,证明矩阵A可逆,并求
证:
由（A+E）2=0,得:
A2+2A=-E,从而A（A
+2E）=-E,A（-A-2E）=E,所以A可逆,且A-1=-A-2E
线性代数（经管类）综合试题四
1、三阶行列式,则a=（）、
A、2B、3C、D、-3
2、设A,B均为n阶非零方阵,下列选项正确得就是（）、
A、（A+B）（A-B）=A2-B2B、（AB）-1=B-1A-1
C、若AB=O,则A=O或B=OD、|AB|=|A||B|
3、设A,B,AB-BA=（）、
A、B、C、D、
4、设矩阵得秩为2,则（）、
A、B、t=-4C、t就是任意实数D、以上都不对
5、设向量,则（）、
A、（1,0,5,4）B、（1,0,-5,4）C、（-1,0,5,4）D、（1,0,5,-6）
6、向量组线性相关,则（）、
A、k=-4B、k=4C、k=3D、k=2
7、设u1,u2就是非齐次线性方程组Ax=b得两个解,若c1u1+c2u2也就是方程组Ax=b得解,则（）、
A、c1+c2=1B、c1=c2C、c1+c2=0D、c1=2c2
8、设m×
n矩阵A得秩r（A）=n-3（n>
3）,就是齐次线性方程组Ax=o得三个线性无关得解向量,则方程组Ax=o得基础解系为（）、
A、B、
C、D、
9、设三阶矩阵A得特征值为1,1,2,则2A+E得特征值为（）、
A、3,5B、1,2C、1,1,2D、3,3,5
10、n阶对称矩阵A为正定矩阵得充分必要条件就是（）、
A、B、存在n阶矩阵P,使得A=PTP
C、负惯性指数为D、各阶顺序主子式均为正数
11、、
12、设A为三阶方阵,且|A|=2,A*就是其伴随矩阵,则|2A*|=、
13、设矩阵A,则=、
14、设,则内积=、
15、若向量不能由线性表示,且r（）=2,则
r（,）=、
16、设线性方程组有解,则t=、
17、方程组得基础解系含有解向量得个数就是、
18、设二阶矩阵A与B相似,A得特征值为-1,2,则|B|=、
19、设二次型得矩阵,则二次型、
20、用正交变换将二次型化为标准形为
则矩阵A得最小特征值为、
21、计算n阶行列式、
22、解矩阵方程:
23、验证就是R3得一个基,并求向量在此基下得坐标、
24、设向量组线性无关,令
试确定向量组得线性相关性、
25、求线性方程组得基础解系,并表示其通解、
26、求矩阵得特征值与全部特征向量、
27、设就是三维向量组,证明:
线性无关得充分必要条件就是任一三维向量都可由它线性表示、
线性代数（经管类）综合试题五
1、行列式,则k=（）、
A、1B、4C、-1或4D、-1
2、设A,B,C均为n阶非零方阵,下列选项正确得就是（）、
A、若AB=AC,则B=CB、（A-C）2=A2-2AC+C2
C、ABC=BCAD、|ABC|=|A||B||C|
3、设A,B均为n阶方阵,则等式（A+B）（A-B）=A2-B2成立得充分
必要条件就是（）、
A、A=EB、B=OC、A=BD、AB=BA
4、若,则初等矩阵P=（）、
C、D、
5、设向量,则
（）、
A、（-1,3,8,9）B、（1,3,8,9）C、（-1,0,8,6）D、
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