《数字信号处理》第三版课后习题答案Word文档格式.docx

1、 1） 3x（n n 2） y（n）故该系统是时不变系统。y（n） Tax1（n） bx2（n）a%（n） bx2（n） 2（a%（n 1） bx2（n 1） 3（a%（n 2） bx2（n 2）Tax1（ n） ax1（ n） 2ax1 （n 1） 3ax1 （n 2）Tax1（n） bx2（n） aT x1（n） bT x2 （n）故该系统是线性系统。面予以证bTx2（n）（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统， 明。令输入为 x（n n1） ，输出为 y（n） x（n n1 n0） ，因为I y（n n1） x（n n1 n0 ） y（n）故延时器是一个时不变系统。又因为T a

2、x1（ n） bx2 （n） ax1（n n0） bx2（n n0） aTx1（n）故延时器是线性系统。2（5） y（n） x2 （n）令：输入为 x（n n0） ，输出为 y（n） x2（n n0 ） ，因为 2y（n n0） x （n n0） y （n）故系统是时不变系统。2 T ax1（n） bx2（ n） （ax1 （n） bx2（ n）aT x1（n） bT x2（n） 22ax1（n） bx2 （n）因此系统是非线性系统。n （7） y（n） x（ m）m0n 令：（n） x（m n0） ，因为n n0y（n n0 ） x（ m） y故该系统是时变系统。Taxj（ n） bx2（

3、n） （ax1（m） bx2（m） aTxM n） bT x2（ n）故系统是线性系统。6.给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并 说明理由。1 N 1（1）y（n） - x（n k）；N k on n。（3） y（n） x（k）；k n n（5）y（n） ex（n）。（1）只要N 1,该系统就是因果系统，因为输出只与 n时刻的和n时刻以前的输入有关。如果 x（n） M，则y（n） M，因此系统是稳定系统。（3）如果x（n） M，|y（n） x（k） 2n。1 M，因此系统是稳定的。k n n。系统是非因果的，因为输出还和 x（n）的将来值有关.（5）系统是因果系统，因为系统

4、的输出不取决于 x（ n）的未来值。如果x（n） M，则y（n） ex（n）同eM，因此系统是稳定的。7.设线性时不变系统的单位脉冲响应h（n）和输入序列x（n）如题7图所 示，要求画出输出输出y（n）的波形。解法（1）采用图解法y（n） x（n） h（n）x（m）h（n m）图解法的过程如题7解图所示。解法（2）采用解析法。按照 题7图写出x（n）和h（n）的表达式：x（n） （n 2） （n 1） 2 （n 3）1 h（n） 2 （n） （n 1） （n 2）因为 x（n）* （n） x（n）x（n）* A （n k） Ax（n k）1 y（n） x（n）*2 （n） （n 1）二（n 2

5、）所以 212x（ n） x（n 1） x（n 2）将x（n）的表达式代入上式，得到y（n） 2 （n 2） （n 1） 0.5 （n） 2 （n 1） （n 2）4.5 （n 3） 2 （n 4） （n 5）8.设线性时不变系统的单位取样响应 h（n）和输入x（n）分别有以下三种情况，分别求出输出y（n）。h（n）Rdn） ,x（ n）R5（n）；（2）2Ri（ n）,x（ n）（n 2）；0.5nu（n）, XnR5（n）。x（n）* h（n） R4（m）R5（n m）m先确定求和域，由Ri（m）和Rs（n m）确定对于m的非零区间如下:0 m 3, n 4 m n根据非零区间，将n分成四

6、种情况求解: n 0,y（n） 00n 3, y（n） 1 n 143n 7, y（n） 1 8 nm n 47n,y（ n） 0最后结果为0,n 0, n 7n 1,0 n 38 n,4 n 7y（n）的波形如题8解图（一）所示。y（ n） 2R4（ n）* （n）（n 2） 2R4（n） 2R4（n 2）2 （n） （n 1） （n 4） （n 5）y（n）的波形如题8解图（二）所示.y（n） x（n）* h（n）R5（m）0.5nmu（n m）0.5R5（m）0.5 mu（nm）y（n）对于m的非零区间为m 4,m0,y（n） 0n 4, y（n） 0.5n 0.51 0.5 n 11

7、0.5 10.5n（1 0.5 n 1）0.5n2 0.5nn,y（ n） 0.5n40.5n 31最后写成统一表达式:（20.5n）R5（ n） 310.5nu（ n 5）11.设系统由下面差分方程描述:1 1y（n） gy（n 1） x（n）乂 1）；设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应x（n） （n）h（n）才（n 1） （n）（n 1）n 0,h（0） 2h（ 1） （0） - （ 1） 1n 1,h（1） ?h（0） （1） 1 （0） 1n 2,h（2） h（1）2 21 1 2n 3, h（3） 2h（2） Q归纳起来，结果为h（n） （1）n1u（n 1） （n）12

8、.有一连续信号 Xa（t） cos（2 ft ）,式中，f 20Hz,（1）求出Xa（t）的周期。（2） 用采样间隔T 0.02s对Xa（t）进行采样，试写出采样信号 %（t）的表 达式。（3）画出对应（t）的时域离散信号（序列）X（n）的波形，并求出x（n）的周期。 第二章 教材第二章习题解答1.设X（ejw）和Y（ejw）分别是x（n）和y（n）的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：x（n n0） ；x（ n）；x（n）y（n）；（4）x（2n） 。FTx（n n0）令nn n0,n n n0 ，则FTx（nn0）FTx*（n）*x*（ nn）eFTx（ n）x（令nn，则jwnn0）e

9、 jw（n n0 ）x（n ）e 0e jwn0 X（ejw）FTx（n）4）证明：令 k=n-m ，则x（n）ejwn*X* （e jw）Ix（n）eX（e jw）FTx（n）*x（n）* y（n）FTx（n）* y（n）y（n）X（ejw）Y（ejw）x（m）y（n m）x（m）y（n m）e jwnjwk jwnx（m）y（k）e ek my（k）e x（m）e2.已知 X（ejw）1, w0, WoWow求X（ejw）的傅里叶反变换x（n）解:3.线性时不变系统的频率响应x（n）丄 wo ejwndw snwn2 wo n（传输函数）H （ejw） H （ejw） ej （w）,如果单

10、位脉冲响应h（n）为实序列，试证明输入x（n） Acos（wn ）的稳态响应 为y（n） A H （ejw） coswn （w。）。假设输入信号x（n） ejw0n，系统单位脉冲相应为h（n）,系统输出为jwy（n） h（n）* x（n） h（m）ejwo（n m） ejw0n h（m）e jw0m H （ejw0）em m上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列， 且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。x（n） Acos（W0n ）丄 Aejwnej e jw）ne j y（n） 】Aej ejwnH（ejw0） e j e jwnH（e jw上式中

11、H （ejw）XAej ejw0nH （ejw0） ej （W） j jwe eH （e jw0） ej （ w是w的偶函数，相位函数是 w的奇函数,H （ejw） H（ejw）, （w） （ wy（n）舟 A H （ejw0） ej ejw0nej （w0） e j e jwne j 他）A H （ejw0） cos（w0n （w0）4.设 x（n）1,0,1将x（n）以4为周期进行周期延拓，形成周期序列%n），画出x（n）和n）的波形，求出n）的离散傅里叶级数X（k）和傅里叶变换。画出x（n）和%n）的波形如题4解图所示。焰k） DFS% n）j4 j4k e 4 （e 43 jkn%n）

12、e 4n 0j4 k4 ） 2cos（ k）?e1 j-kne 2j4kX（k）以4为周期，或者1 .X（k） e j2j1 k j1 k jke 2 （e2 e 2 ）j1 k j1 k j- ke 4 （e4 e 4 ）.1 .sin kX（k）以4为周期X（ejw） FT% n）檢）（w k）5.设如图所示的序列成下列运算:（1） X（ej0）；（2） X （ejw）dw ；X%k） （w2 k尹）匕kcos（ k）e 4 （w k）k 4 2 7x（n）的FT用X （ejw）表示，不直接求出X（ejw），完（5） X（ejw） dw7（1） X（ej0） x（ n） 6n 3X（ejw

13、）dw x（0）?2 4X （ejw） dw 2 x（n） 286试求如下序列的傅里叶变换：（2） X2（n）（3） X3（n）1 （n 1） （n）anu（ n）,0 a 11 （n 1）；X2（ejw）x2（ n）e jwn1 .jwcoswX3（ejw）n jwna u（n）en jwn a e1_jw ae7.设:（1） x（n）是实偶函数，x（n）的傅里叶x（n）是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下,变换性质。令 X（ejw）x（n）e（1） x（n）是实、偶函数,X（ejw）jwn x（n）e两边取共轭，得到* jwX*（ejw）x（n）ejwnx（n）e j（ w）n X （e

14、 jw）因此 X （ejw） X *（e jw ）上式说明x（n）是实序列,X （ejw ）具有共轭对称性质。x（n）e jwn x（n）cos wn j sin wn由于x（n）是偶函数，x（n）sinwn是奇函数，那么x（ n）sin wn 0因此 X （ejw） x（n） coswn该式说明x（ejw）是实函数，且是w的偶函数。总结以上x（n）是实、偶函数时，对应的傅里叶变换 x（ejw）是实、偶函数。（2）x（n）是实、奇函数。上面已推出，由于x（n）是实序列，X（ejw）具有共轭对称性质，即jw * jwx（ejw） x* （e jw）x（ejw） x（n）e jwn x （ n）c

15、os wn j sin wn nn由于x（n）是奇函数，上式中x（n）cos wn是奇函数，那么 x（n） cos wn 0因此 x （ejw） j x（n）sin wn这说明X（e”）是纯虚数，且是w的奇函数。10.若序列h（n）是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:HR（ejW） 1 cosw求序列h（n）及其傅里叶变换H（ejw）。HR（eJw） 1JW e1 . jw eFThe（ n）Jwnhe（ n）e2,n 1he（ n）1,n 0如10,n 0he（n）, n 01,n 12he（n）, n 00,其它nH（ejw）h（n ）e1 e jw 2ejw/2 wcos12.设系统

16、的单位取样响应h（n）anu（ n）,0 a1，输入序列为（n） 2 （n 2），完成下面各题:求出系统输出序列y（n）；分别求出x（n）、h（n）和y（n）的傅里叶变换。y（n） h（n）* x（n） anu（n）* （n） 2 （n 2）anu（n） 2an 2u（n 2）Y（ejw）n jwn 1a e jwn 0 1 ae1 2e j2wjw jw I 2eH（e ）gX（e ） w1 ae13.已知 Xa（t） 2cos（2ft），式中f。100Hz，以采样频率 fs 400Hz对Xa（t）进行采样，得到采样信号（t）和时域离散信号x（n），试完成下面各题:写出Xa （t）的傅里叶变

17、换表示式Xa（j ）；写出%（t）和x（n）的表达式;Xa（j ） Xa（t）e j tdt2cos（ 0t）e j tdt分别求出（t）的傅里叶变换和x（n）序列的傅里叶变换。（ej 0t e j 0t）e j tdt上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数 函数，它的傅里叶变换可以表示成:Xa（j）2 （ 0）（ 0）?a（t）Xa（t） （t nT）2cos（ 0nT） （t nT）2cos（ nT）,0 2 f0 200 rad ,T1 2.5ms只有引入奇异2 nu（ n 1）；nu（ n）；（6）nu（ n） u（n 10）?a（j ）-Xa（j1 k；（jk s）0 k s

18、）（ 0 k s）式中s 2fs 800rad / sx（ n）e2cos（0nT）e jwn2cos（w0n）e jwnejwe jwne jwn 2（wkw0 2k ） （w w0 2k ）式中w00T 0.5 rad上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在,函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。14.求以下序列的Z变换及收敛域:ZT2 nu（n）n n2 u（n）z 1 2 1z1，zZT 2 nu（ n 1）2z1 2znu（1）zn2nznZT2 nu（n） u（n910） 2 nz1 2 10z1 2 1z 110,016.已知:求出对应X（z）的各种可能的序列的表达式有两

19、个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情况：三种收敛域对应三种不同的原序列（1）当收敛域z 0.5时,肓?cX（Z）Zdz令 F（z） X（z）zn15z 7（z 0.5）（z 2）5 7z n 11 1 z（1 0.5z 1）（1 2z 1）n 0,因为c内无极点，x（ n）=0 ；n 1 ,C内有极点0,但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数,圆外极点有Z10.5, z 2，那么ResF（z）,0.5 ResF（z）,2（5z 7）zn （z 0.5）| z 05 （5z 7）zn （z 2）z2（z 0.5）（z 2） （z 0.5）（z 2）3g-）n 2g2nu（

20、 n 1）（2）当收敛域0.5 z 2 时，F （5z 7）znn 0，C内有极点0.5;n 0, C内有极点0.5, 0,但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外极点只有一个，即2,x（n） ResF（z）,2 2g2nu（ n 1）最后得到 x（n） 3c（-1）nu（n） 20u（ n 1）（3）当收敛域2 z时，（5z 7）znn 0，C内有极点0.5, 2；x（n） ResF（z）,0.5 ResF（z）,2 3g（）n 2c2n*0,由收敛域判断，这是一个因果序列，因此 x（n）=0或者这样分析，C内有极点0.5, 2, 0,但0是一个n阶极点，改成求c外极点留数，c外无极点，

21、所以x（n）=0最后得到x（ n） 3g（-）n 2g2nu（n）17.已知 x（n） anu（n）,0 a 1，分别求:（1）x（n）的Z变换；（2）nx（n）的 Z 变换；（3）a nu（ n）的 z 变换（1） X（z） ZTanu（ n）anu（ n）zaza-J ZTnx（n） zdzX（z）1 2 （1 az ）（3） ZTa nu（ n）n n n n 1a z a z , zn 0 n 0 1 az18.已知 x（z）打冷，分别求:收敛域0.5 z 2对应的原序列x（ n）；收敛域z 2对应的原序列x（n）。F（z） X（z） zn1当收敛域0.5 z2时，n 0, c内有极点

22、0.5,1 n 1x（n） ? X（z）z dz2 j -c3?zn3z 1 n 1ResF（z）,0.5 0.5n 2 n, n 0,c内有极点0.5,0但0 是个n阶极点，改求c外极点留数,c外极点只有2,x（n） ResF（z）,2 2n,x（n） 2 nu（n）2nu（ n 1） 2（2 （当收敛域z 2时,n 0,c内有极点0.5,2,x（ n） ResF（z）,0.5 ResF（z）,20.5n （z 2）2（z 0.5）（z 2）0.5n 2nn 0,C内有极点0.5,2,0但极点0是个n阶极点，改成求c外极点留数,可是C外没有极点，因此x（n） 0,最后得到x（n） （0.5n 2n）u（n）25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为x（n） anu（ n）,h （n）bnu（ n）,0a 1,0 b试:用卷积法求网络输出y（n）用ZT法求网络输出y