《数字信号处理》第三版课后习题答案Word文档格式.docx
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1）3x（nn°
2）y（n）
故该系统是时不变系统。
y（n）T[ax1（n）bx2（n）]
a%（n）bx2（n）2（a%（n1）bx2（n1））3（a%（n2）bx2（n2））
T[ax1（n）]ax1（n）2ax1（n1）3ax1（n2）
T[ax1（n）bx2（n）]aT[x1（n）]bT[x2（n）]
故该系统是线性系统。
面予以证
bT[x2（n）]
（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，明。
令输入为x（nn1），输出为y'
（n）x（nn1n0），因为
Iy（nn1）x（nn1n0）y'
（n）
故延时器是一个时不变系统。
又因为
T[ax1（n）bx2（n）]ax1（nn0）bx2（nn0）aT[x1（n）]
故延时器是线性系统。
2
（5）y（n）x2（n）
令：
输入为x（nn0），输出为y'
（n）x2（nn0），因为2'
y（nn0）x（nn0）y（n）
故系统是时不变系统。
2T[ax1（n）bx2（n）]（ax1（n）bx2（n））
aT[x1（n）]bT[x2（n）]22
ax1（n）bx2（n）
因此系统是非线性系统。
n（7）y（n）x（m）
m0
n令：
（n）x（mn0），因为
nn0
y（nn0）x（m）y'
故该系统是时变系统。
T[axj（n）bx2（n）]（ax1（m）bx2（m））aT[xMn）]bT[x2（n）]
故系统是线性系统。
6.给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。
1N1
（1）y（n）-x（nk）；
Nko
nn。
（3）y（n）x（k）；
knn°
（5）y（n）ex（n）。
（1）只要N1,该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n
时刻以前的输入有关。
如果x（n）M，则y（n）M，因此系统是稳定
系统。
（3）如果x（n）M，|y（n）x（k）2n。
1M，因此系统是稳定的。
knn。
系统是非因果的，因为输出还和x（n）的将来值有关.
（5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x（n）的未来值。
如
果x（n）M，则y（n）ex（n）同eM，因此系统是稳定的。
7.设线性时不变系统的单位脉冲响应h（n）和输入序列x（n）如题7图所示，要求画出输出输出y（n）的波形。
解法
（1）采用图解法
y（n）x（n）h（n）
x（m）h（nm）
图解法的过程如题7解图所示。
解法
（2）采用解析法。
按照题7图写出x（n）和h（n）的表达式：
x（n）（n2）（n1）2（n3）
1h（n）2（n）（n1）（n2）
因为x（n）*（n）x（n）
x（n）*A（nk）Ax（nk）
1y（n）x（n）*[2（n）（n1）二（n2）]
所以2
1
2x（n）x（n1）x（n2）
将x（n）的表达式代入上式，得到
y（n）2（n2）（n1）0.5（n）2（n1）（n2）
4.5（n3）2（n4）（n5）
8.设线性时不变系统的单位取样响应h（n）和输入x（n）分别有以下三
种情况，分别求出输出y（n）。
h（n）
Rdn）,x（n）
R5（n）；
（2）
2Ri（n）,x（n）
（n2）；
0.5nu（n）,Xn
R5（n）。
x（n）*h（n）R4（m）R5（nm）
m
先确定求和域，由Ri（m）和Rs（nm）确定对于m的非零区间如下:
0m3,n4mn
根据非零区间，将
n分成四种情况求解:
①n0,y（n）0
②0
n3,y（n）1n1
③4
3
n7,y（n）18n
mn4
④7
n,y（n）0
最后结果为
0,
n0,n7
n1,
0n3
8n,
4n7
y（n）的波形如题8解图
（一）
所示。
y（n）2R4（n）*[（n）
（n2）]2R4（n）2R4（n2）
2[（n）（n1）（n4）（n5）]
y（n）的波形如题8解图
（二）所示.
y（n）x（n）*h（n）
R5（m）0.5n
mu（nm）
0.5
R5（m）0.5mu（n
m）
y（n）对于m的非零区间为
m4,m
0,y（n）0
n4,y（n）0.5
n0.5
10.5n1
10.51
0.5n
（10.5n1）0.5n
20.5n
n,y（n）0.5n
4
°
^0.5n31
最后写成统一表达式:
（2
0.5n）R5（n）31
0.5nu（n5）
11.设系统由下面差分方程描述:
11
y（n）gy（n1）x（n）㊁乂⑴1）；
设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应
x（n）（n）
h（n）才（n1）（n）㊁（n1）
n0,h（0）2h
（1）（0）-
（1）1
n1,h
（1）?
h（0）
（1）1（0）1
n2,h
（2）h
（1）—
22
112
n3,h（3）2h
（2）Q
归纳起来，结果为
h（n）
（1）n1u（n1）（n）
12.有一连续信号Xa（t）cos（2ft）,式中，f20Hz,—
（1）求出Xa（t）的周期。
（2）用采样间隔T0.02s对Xa（t）进行采样，试写出采样信号%（t）的表达式。
（3）画出对应％（t）的时域离散信号（序列）X（n）的波形，并求出x（n）的
周期。
第二章
教材第二章习题解答
1.设X（ejw）和Y（ejw）分别是x（n）和y（n）的傅里叶变换，试求下面序列的
傅里叶变换：
x（nn0）；
x（n）；
x（n）y（n）；
（4）
x（2n）。
FT[x（nn0
）]
令n
nn0,nn
'
n0，
则
FT[x（n
n0）
FT[x*（n）]
*
x*（n
n）e
FT[x（n）]
x（
令n'
n，则
jwn
n0）e
[
jw（nn0）
x（n）e0
ejwn0X（ejw）
FT[x（
n）]
4）
证明：
令k=n-m，则
x（n）ejwn]*
X*（ejw）
I
x（n'
）e
X（ejw）
FT[x（n）*
x（n）*y（n）
FT[x（n）*y（n）]
y（n）]
X（ejw）Y（ejw）
x（m）y（nm）
x（m）y（nm）]ejwn
jwkjwn
[x（m）y（k）]ee
km
y（k）ex（m）e
2.已知X（ejw）
1,w
0,Wo
Wo
w
求X（ejw）的傅里叶反变换
x（n）
解:
3.线性时不变系统的频率响应
x（n）丄woejwndwsnwn
2won
（传输函数）H（ejw）H（ejw）ej（w）,如果单
位脉冲响应h（n）为实序列，试证明输入x（n）Acos（w°
n）的稳态响应为
y（n）AH（ejw）cos[w°
n（w。
）]。
假设输入信号x（n）ejw0n，系统单位脉冲相应为h（n）,系统输出为
jw°
y（n）h（n）*x（n）h（m）ejwo（nm）ejw0nh（m）ejw0mH（ejw0）e
mm
上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。
x（n）Acos（W0n）丄A[ejw°
nejejw）nej]
y（n）】A[ejejw°
nH（ejw0）ejejw°
nH（ejw°
上式中
H（ejw）
XA[ejejw0n
H（ejw0）e
j（W°
）jjw°
ee
H（ejw0）e
j（w°
是w的偶函数，相位函数是w的奇函数,
H（ejw）H（ejw）,（w）（w
y（n）舟AH（ejw0）[ejejw0nej（w0）ejejw°
nej他）]
AH（ejw0）cos（w0n（w0））
4.设x（n）
1,\0,1将x（n）以4为周期进行周期延拓，形成周期序列
%n），画出x（n）和％n）的波形，求出％n）的离散傅里叶级数X（k）和傅
里叶变换。
画出x（n）和%n）的波形如题4解图所示。
焰k）DFS[%n）]
j4\j4ke4（e4
3j^kn
%n）e4
n0
j"
4k
4）2cos（k）?
e
1j-kn
e2
j4k
X（k）以4为周期，或者
1..
X（k）ej2
j1kj1kj」k
e2（e2e2）
j1kj1kj-k
e4（e4e4）
.1.
sink
X（k）以4为周期
X（ejw）FT[%n）]
檢）（wk）
5.设如图所示的序列
成下列运算:
（1）X（ej0）；
（2）X（ejw）dw；
X%k）（w
2k
尹）
匕k
cos（—k）e4（wk）
k4"
27
x（n）的FT用X（ejw）表示，不直接求出X（ejw），完
（5）X（ejw）dw
7
（1）X（ej0）x（n）6
n3
X（ejw）dwx（0）?
24
X（ejw）dw2x（n）28
6•试求如下序列的傅里叶变换：
（2）X2（n）
（3）X3（n）
1（n1）（n）
anu（n）,0a1
1（n1）；
X2（ejw）
x2（n）ejwn
1.
jw
cosw
X3（ejw）
njwn
au（n）e
njwnae
1_
jwae
7.设:
（1）x（n）是实偶函数，
x（n）的傅里叶
x（n）是实奇函数，分别分析推导以上两种假设下,
变换性质。
令X（ejw）
x（n）e
（1）x（n）是实、偶函数,
X（ejw）
jwnx（n）e
两边取共轭，得到
*jw
X*（ejw）
x（n）ejwn
x（n）ej（w）nX（ejw）
因此X（ejw）X*（ejw）
上式说明x（n）是实序列,
X（ejw）具有共轭对称性质。
x（n）ejwnx（n）[coswnjsinwn]
由于x（n）是偶函数，x（n）sinwn是奇函数，那么
x（n）sinwn0
因此X（ejw）x（n）coswn
该式说明x（ejw）是实函数，且是w的偶函数。
总结以上x（n）是实、偶函数时，对应的傅里叶变换x（ejw）是实、偶函
数。
（2）x（n）是实、奇函数。
上面已推出，由于x（n）是实序列，X（ejw）具有共轭对称性质，即
jw*jw
x（ejw）x*（ejw）
x（ejw）x（n）ejwnx（n）[coswnjsinwn]
nn
由于x（n）是奇函数，上式中x（n）coswn是奇函数，那么x（n）coswn0
因此x（ejw）jx（n）sinwn
这说明X（e”）是纯虚数，且是w的奇函数。
10.若序列h（n）是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式:
HR（ejW）1cosw
求序列h（n）及其傅里叶变换
H（ejw）。
HR（eJw）1
JW—e
1.jw—e
FT[he（n）]
Jwn
he（n）e
2,n1
he（n）
1,n0
如1
0,n0
he（n）,n0
1,n1
2he（n）,n0
0,其它n
H（ejw）
h（n）e
1ejw2e
jw/2w
cos—
12.设系统的单位取样响应h（n）
anu（n）,0a
1，输入序列为
（n）2（n2），完成下面各题:
求出系统输出序列y（n）；
分别求出x（n）、h（n）和y（n）的傅里叶变换。
y（n）h（n）*x（n）anu（n）*[（n）2（n2）]
anu（n）2an2u（n2）
Y（ejw）
njwn1
aejw
n01ae
12ej2w
jwjwI2e
H（e）gX（e）w
1ae
13.已知Xa（t）2cos（2
f°
t），式中f。
100Hz，以采样频率fs400Hz对
Xa（t）进行采样，得到采样信号％（t）和时域离散信号x（n），试完成下面
各题:
写出Xa（t）的傅里叶变换表示式Xa（j）；
写出%（t）和x（n）的表达式;
Xa（j）Xa（t）ejtdt
2cos（0t）ejtdt
分别求出％（t）的傅里叶变换和x（n）序列的傅里叶变换。
（ej0tej0t）ejtdt
上式中指数函数的傅里叶变换不存在，引入奇异函数函数，它的傅
里叶变换可以
表示成:
Xa（j
）2[（0）
（0）]）
?
a（t）
Xa（t）（tnT）
2cos（0nT）（tnT）
2cos（°
nT）,
02f0200rad,T
12.5ms
只有引入奇异
2nu（n1）；
nu（n）；
（6）
n[u（n）u（n10）]
^?
a（j）
-Xa（j
1k
；
[（
jks）
0ks）
（0ks）]
式中s2
fs800
rad/s
x（n）e
2cos（
0nT）ejwn
2cos（w0n）ejwn
[ejw°
ejw°
n]ejwn2
[（w
k
w02k）（ww02k）]
式中w0
0T0.5rad
上式推导过程中，指数序列的傅里叶变换仍然不存在,
函数函数，才能写出它的傅里叶变换表达式。
14.求以下序列的Z变换及收敛域:
ZT[2nu（n）]
nn
2u（n）z
121z
1，z
ZT[2nu（n1）]
2z
12z
nu（
1）zn
2nzn
ZT[2nu（n）u（n
9
10）]2nz
1210z
121z1
10
0
16.已知:
求出对应X（z）的各种可能的序列的表达式
有两个极点，因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有以下三种情
况：
三种收敛域对应三种不同的原序列
（1）当收敛域z0.5时,
肓?
cX（Z）Z'
dz
令F（z）X（z）zn1
5z7
（z0.5）（z2）
57zn1
11z
（10.5z1）（12z1）
n0,因为c内无极点，x（n）=0；
n1,C内有极点0,但z=0是一个n阶极点，改为求圆外极点留数,
圆外极点有Z1
0.5,z2，那么
Res[F（z）,0.5]Res[F（z）,2]
（5z7）zn（z0.5）|z05（5z7）zn（z2）z2
（z0.5）（z2）（z0.5）（z2）
[3g^-）n2g2n]u（n1）
（2）当收敛域
0.5z2时，
F⑵（5z7）zn
n0，C内有极点0.5;
n0,C内有极点0.5,0,但0是一个n阶极点，改成求c外极点留
数，c外极点只有一个，即2,
x（n）Res[F（z）,2]2g2nu（n1）
最后得到x（n）3c（-1）nu（n）20u（n1）
（3）当收敛域2z时，
（5z7）zn
n0，C内有极点0.5,2；
x（n）Res[F（z）,0.5]Res[F（z）,2]3g（^）n2c2n
*0,由收敛域判断，这是一个因果序列，因此x（n）=0
或者这样分析，C内有极点0.5,2,0,但0是一个n阶极点，改成
求c外极点留数，c外无极点，所以x（n）=0
最后得到
x（n）[3g（-）n2g2n]u（n）
17.已知x（n）anu（n）,0a1，分别求:
（1）x（n）的Z变换；
（2）nx（n）的Z变换；
（3）anu（n）的z变换
（1）X（z）ZT[anu（n）]
anu（n）z
az
a
-J
⑵ZT[nx（n）]zdzX（z）
1\2（1az）
（3）ZT[anu（n）]
nnnn1
azaz,z
n0n01az
18.已知x（z）
打冷，分别求:
收敛域0.5z2对应的原序列x（n）；
收敛域z2对应的原序列x（n）。
F（z）X（z）zn1
当收敛域0.5z
2时，n0,c内有极点0.5,
1n1
x（n）?
X（z）zdz
2j-c
3?
zn
3z1n1
Res[F（z）,0.5]0.5n2n,n0,
c内有极点0.5,0但0是
个n阶极点，改求c外极点留数,c外极点只有
2,
x（n）Res[F（z）,2]2n,
x（n）2nu（n）
2nu（n1）2
（2（当收敛域z2时,
n0,c内有极点0.5,2,
x（n）Res[F（z）,0.5]Res[F（z）,2]
0.5n——（z2）
2（z0.5）（z2）
0.5n2n
n0,C内有极点0.5,2,0但极点0是
个n阶极点，改成求c外极点留数,
可是C外没有极点，因此x（n）0,最后得到
x（n）（0.5n2n）u（n）
25.已知网络的输入和单位脉冲响应分别为
x（n）anu（n）,h（n）
bnu（n）,0
a1,0b
试:
用卷积法求网络输出y（n）
用ZT法求网络输出y
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