浅析向量的数量积在几何中的应用.docx

1、浅析向量的数量积在几何中的应用 浅析向量的数量积在几何中的应用 王华标 （岳西职教中心）随着高中新课程改革，高中数学教材引入了许多新的内容,比如空间向量,其目的也很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性,关于空间向量的数量积有这样三条性质：（1），（2），（3）。利用这些性质可以解决空间的角度和距离问题,下面就这些方面谈谈向量的数量积的应用.首先它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”。(一)用向量求空间的线线角我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围为），即,我们能否加以重新认识这个公

2、式呢？如图，此时OB1可以看作是与方向上的单位向量的数量积，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理解为：（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）。(二)用向量求空间的线面角（其中为平面的一个法向量），此结论重新可以理解为：，此时OP又可以看作是在上的投影，即与方向上的单位向量的数量积，故（这里刚好满足三角函数中正弦的定义：对边比斜边）。(三)用向量求空间的二面角的平面角=（其中是两二面角所在平面的各一个法向量）此结论重新可以理解为：（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）。三大角的统一理解：、其从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的“空间角”的求法，完全与直角三

3、角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，他们太熟悉了！即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”，那学习就会水到渠成！ 其次它又是空间三大距离（即点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点”。空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距，而点线距和点面距又是重中之重！另外两异面直线间的距离，高考考纲中明确要求：对于异面直

4、线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。教材按排中引进了向量法来解决距离问题，也给问题的解决带来新的活力！不用作出（或找出）所求的距离了。(一)用向量求空间点面距离（其中为平面的一个法向量），此结论重新可以理解为：，即在上的投影，即与方向上的单位向量的数量积。(二)用向量求空间的点线距离1）如图，若存在有一条与l相交的直线时，就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量，则点P到l的距离。2）若不存在有一条与l相交的直线时，我们可以先取l上的一个向量，再利用来解，即：,而数量可以理解为在l上的向量的投影，也即为：。(三)用向量求

5、异面直线间距离 从这几年的高考考纲说明观察，我们不难发现，对异面直线间距离的考查本意不能太难，但若出现难一点的考题，命题者又能自圆其说的新情况。实际上，这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法：只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。那也就是说，在不要作出公垂线（也许学生作不出！）的情况下，也可以求出它们的距离的！那就是用向量法！如图所示：若直线l1与直线l2是两异面直线，求两异面直线的距离。 略解：在两直线上分别任取两点A、C、B、D，构造三个向量，记与两直线的公垂线共线的向量为,则由,得,则它们的距离就可以理解为：在上的投影的绝对值，即：。 三大距离的统一理解:（点面距）、（异面距

6、）、（点线距之一）、且（点线距之二）、其本质特征是：一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影，也即数量积此性质的直接应用。下面通过例题来说明向量的具体的应用例1如图，已知长方体直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点.（I）求异面直线与所成的角；（II）求平面与平面所成的二面角；（III）求点到平面的距离.解：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系；由已知可得，又平面，从而与平面所成的角为，又，从而易得（I） 因为所以，易知异面直线所成的角为（II） 易知平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，由即所以即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）

7、为（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，所以距离=所以点到平面的距离为例2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EAEB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求：（）异面直线AB与EB1的距离；（）二面角AEB1A1的平面角的正切值. 解：（I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.由于BC=1，BB1=2，AB=，BCC1=，在三棱柱ABCA1B1C1中有B（0，0，0），A（0，0，），B1（0，2，0），A1（0，2，），设；，则得，（令y=1），故=1（II）由已知有故二面角AEB1A1的两个半平面的法向量为。通过上述例题的分析，我们不难看出：立体几何中的几何法的“难在找（或作）所求的角度或距离”,通过这个数量积的性质的转化（方法的转化与知识之间的转化），其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中，从而体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。参考文献：1、2009年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科.数学）2、2009年普通高等学校招生安徽省统一考试大纲（理科.数学）