浅析向量的数量积在几何中的应用.docx

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浅析向量的数量积在几何中的应用

浅析向量的数量积在几何中的应用

王华标（岳西职教中心）

随着高中新课程改革，高中数学教材引入了许多新的内容,比如空间向量,其目的也很明确：

为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性,关于空间向量的数量积有这样三条性质：

（1），

（2），（3）。

利用这些性质可以解决空间的角度和距离问题,下面就这些方面谈谈向量的数量积的应用.

首先它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”。

（一）用向量求空间的线线角

我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围为），即,我们能否加以重新认识这个公式呢？

如图，

，此时OB1可以看作是与方向上的单位向量的数量积，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理解为：

（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：

邻边比斜边）。

（二）用向量求空间的线面角

（其中为平面的一个法向量），此结论重新可以理解为：

，此时OP又可以看作是在上的投影，即与方向上的单位向量的数量积，，故（这里刚好满足三角函数中正弦的定义：

对边比斜边）。

（三）用向量求空间的二面角的平面角

=（其中是两二面角所在平面的各一个法向量）此结论重新可以理解为：

（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：

邻边比斜边）。

★三大角的统一理解：

、、、

其从上述梳理完全可以看出其本质特征：

这里的“空间角”的求法，完全与直角三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定义”发生了对接——对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角形的构图，学生完全可以达到“系统化”和“自主化”，因为直角三角形中的三角函数定义，他们太熟悉了！

即将知识的“生长点”建立在学生认知水平的“最近发展区”，那学习就会水到渠成！

其次它又是空间三大距离（即点线距、点面距、异面直线间距离）用向量法求解的“联系点”。

空间中有七大距离（除球面上两点间的距离外）基本上可转化为点点距、点线距、点面距，而点线距和点面距又是重中之重！

另外两异面直线间的距离，高考考纲中明确要求：

对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。

因此对异面直线间的距离的考查有着特殊的身份。

教材按排中引进了向量法来解决距离问题，也给问题的解决带来新的活力！

不用作出（或找出）所求的距离了。

（一）用向量求空间点面距离

（其中为平面的一个法向量），此结论重新可以理解为：

，即在上的投影，即与方向上的单位向量的数量积。

（二）用向量求空间的点线距离

1）如图，若存在有一条与l相交的直线时，就可以先求出由这两条相交直线确定的平面的一个法向量，则点P到l的距离。

2）若不存在有一条与l相交的直线时，

我们可以先取l上的一个向量，再利用来解，即：

而数量ＯＢ可以理解为在l上的向量的投影，也即为：

。

（三）用向量求异面直线间距离

从这几年的高考《考纲说明》观察，我们不难发现，对异面直线间距离的考查本意不能太难，但若出现难一点的考题，命题者又能自圆其说的新情况。

实际上，这种自圆其说法归根到底在于高考考纲中的说法：

只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离。

那也就是说，在不要作出公垂线（也许学生作不出！

）的情况下，也可以求出它们的距离的！

那就是用向量法！

如图所示：

若直线l1与直线l2是两异面直线，求两异面直线的距离。

略解：

在两直线上分别任取两点A、C、B、D，构造三个向量，记与两直线的公垂线共线的向量为,则由,得,则它们的距离就可以理解为：

在上的投影的绝对值，即：

。

★三大距离的统一理解:

（点面距）、（异面距）、（点线距之一）、

且（点线距之二）、

其本质特征是：

一个向量在其所求的距离所在直线的一个向量上的投影，也即数量积此性质的直接应用。

下面通过例题来说明向量的具体的应用

例1如图，已知长方体

直线与平面所成的角为，垂直于

，为的中点.

（I）求异面直线与所成的角；

（II）求平面与平面所成的二面角；

（III）求点到平面的距离.

解：

在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系；

由已知可得，，又平面，从而与平面所成的角为，又，，，从而易得

（I）因为所以

，易知异面直线所成的角为

（II）易知平面的一个法向量，

设是平面的一个法向量，由即

所以

即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为

（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，所以距离=所以点到平面的距离为

例2如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，∠BCC1=，求：

（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；

（Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值.

解：

（I）以B为原点，、分别为y、z轴建立空间直角坐标系.由于BC=1，BB1=2，AB=，∠BCC1=，在三棱柱ABC—A1B1C1中有

B（0，0，0），A（0，0，），B1（0，2，0），A1（0，2，）

，设

；

，

则得，（令y=1），故=1

（II）由已知有故二面角A—EB1—A1的两个半平面的法向量为。

。

通过上述例题的分析，我们不难看出：

立体几何中的几何法的“难在找（或作）所求的角度或距离”,通过这个数量积的性质的转化（方法的转化与知识之间的转化），其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中，从而体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。

参考文献：

1、2009年普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科.数学）

2、2009年普通高等学校招生安徽省统一考试大纲（理科.数学）