GCT数学n维向量组讲解文档格式.docx

1、2+= （3, 6, 0）T2（1,4,2）+（1,0,1） =（32（1）+1,624+0,022+（1）=（6, 2, 5）T.例16.2.2 设1 = （2, 5, 1, 3）T, 2 = （10, 1, 5, 10）T, 3 = （4, 1, 1, 1）T, 且3（1 ） +2（2 + ） =5（3 + ），求。解：将3（1）+2（2 +）=5（3 +）展开移项得：6 = 31+22 53，210461111221151 = （31+22 53）=+25=。 35161836613101244202 中科院研究生院2010年7月例16.2.3 设1 = （2, 1, 2）T, 2 =

2、（4, 2, 3）T, =（8,8,5）T，求常数k，使得=21+k2。由=21+k2得：2（2, 1, 2）T + k （4, 2, 3）T = （8, 8, 5）T,44k=8两端分量对应相等，得2+2k=8，解得k=3。4+3k=5例16.2.4 设1 = （1, a, 3）T, 2 = （2, 1, 0）T,3=（1,1,b）T，=（3,8,7）T，且=2132+c2，求a, b, c的值。3=4+c由=2132+c2得：8=3+2a+c，解得：c=1,a=2,b=1。7=6+bc二、向量的乘法、单位向量,an），则Ta12a1aaa2T=（a1,a2,an）=21#anana1a1a

3、2a2ana2a1ana2an。2ana1a22T=（a1,a2,an）2=a12+a2+an。#an的长度（或模），记为|。 =若|=1，则称为单位向量。（1,0,0,0）T，（0,1,0,0）T,（0,0,0,1）T是一组单位向量。16.3 向量组的线性相关性一、线性组合与线性表出式k11+k22+kss称为向量1,2,s的一个线性组合（k1,k2,ks为常数）。对n维向量和1,2,s，若存在常数k1,k2,ks，使得=k11+k22+kss，则称可由向量1,2,s线性表出。中科院研究生院2010年7月203定理16.3.1设,1,2,s都是n维向量，则下列命题等价：（1） 可由向量1,2

4、,s线性表出；有解；（实际上，这个方程组的每个解就是线性表出式的一组系数） （2） 方程组x11+x22+xss=（3） 矩阵（12s）和矩阵（12s）有相同的秩。TTT例16.3.1 向量=（2,3,4）能否被向量组1=（1,1,1），2=（2,1,0）,线性表出？若能，求表出式。设x11+x22+x33=3=（3,0,0）T，即1232x1+2x2+3x3=2x11+x21+x30=3，从而x1+x2=3，1004x=41解得：x1=4,x2=7,x3=4，故=4172+43。二、向量组的线性相关与线性无关设有n维向量组1,2,s，如果存在不全为零的数k1,k2,ks，使得k11+k22+

5、kss=0，则称向量组1,2,s线性相关，否则称为线性无关。 注：（1） 只含有一个向量的向量组线性相关当且仅当这个向量是零向量；（2） 由两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量对应成比例。 定理16.3.2设1,2,s （s 2）是n维向量，下列命题等价：（1） 1,2,s线性相关；（2） 1,2,s中至少有一个向量可被其余s1个向量线性表出；（3） 齐次线性方程组x11+x22+xss=0有非零解；（4） 矩阵A=（1,2,s）的秩r（A）s，（其中sn）。定理16.3.3 设1,2,s 线性无关；,s中没有一个向量可被其余s1个向量线性表出；+xss=0只有零解；,s）的秩

6、r（A）=s.向量组线性相关和线性无关的其他有关结论（1） 含有零向量的向量组必线性相关；（2） 含有两个相同向量的向量组必线性相关；204 中科院研究生院2010年7月（3） 含有两个成比例向量的向量组必线性相关； （4） n+1个n维向量必线性相关；（5） 给线性相关的向量组添加向量后，所得向量组仍线性相关；线性无关向量组去掉向量后，所剩向量组仍线性无关；（6） n个n维向量1,2,n线性相关当且仅当A=0，其中A=（1,2,n）。 （它们线性无关当且仅当A0）（7） 若向量组1,2,s线性无关，而1,2,s,线性相关，则必能由1,2,s线性表出，且表出系数唯一。求证向量组1+2,2+3,

7、3+1也线性无关。 例16.3.2 设向量组1,2,3线性无关，证明：令x1（1+2）+x2（2+3）+x3（3+1）=0，得：（x1+x3）1+（x1+x2）2+（x2+x3）3=0。x1+x3=0因1,2,3线性无关，故x1+x2=0，x+x=032该方程组只有零解，故1+2,2+3,3+1线性无关。例16.3.3 设向量组1,2,3线性无关，且向量组1=1+2，2=22+3，3=1+k2+3线性相关，求k的值。 解：因1,2,3线性相关，故存在不全为零的数x1,x2,x3使得x11+x22+x33=0，（x1+x3）1+（x1+2x2+kx3）2+（x2+x3）3=0将1=1+2，2=2

8、2+3，3=1+k2+3代入上式，得又因向量组1,2,3线性无关，于是x1+2x2+kx3=0 x+x=023由其中第一式和第三式解得x1=x2=x3，代入第二式得（k3）x3=0。此时必定x30，若不然，有x1=x2=x3=0，而这与x1,x2,x3不全为零矛盾。因此，k = 3. 而向量+2,例16.3.4 （2004） 若向量,线性无关，则k（ ）。A3 B2 C2 D3解析：因向量+2,2+k,3+线性相关，所以，存在不全为零的实数c1,c2,c3使2+k,3+ 线性相关，c1（+2）+c2（2+k）+c3（3+）=0，205c1+c3=0即（c1+c3）+2（c1+c2）+（kc2+

9、3c3）=0。又因,线性无关，故c1+c2=0，kc+3c=023从而 c2=c3,k=3，选D。例16.3.5 判断向量组1=（1,1,0），2=（0,1,2），3=（2,5,6）是否线性无关。 解法1：令x11+x22+x33=0，即1020x1+2x2=0x11+x21+x35=0，从而x1x2+5x3=0。 02602x6x=023将x3作为自由变量，得：x1=2x3取x3=1，得一组非零解x1=2,x2=3,x3=1，x2=3x3故21+32+3=0，可见1,2,3线性相关。102102 解法2：考虑矩阵A=（1,2,3）=115013， 026000可见r（A）=23，故1,2,3

10、线性相关。例16.3.6 设向量组1=（1,1,2,0）,2=（2,1,1,b）,3=（1,a,1,1），则它们线性相关的条件是（ ）。Aa=0,b=1 B. a0,b=1 C. a=1,b=1 D. a,b可取任何实数 解：要使1,2,3线性相关，则秩r（1,2,3） 3。而11（1,2,3）=20211b110a101021b1011， 0a可见当a=0,b=1时，才有秩r（1,2,3） 故应选A。例16.3.7 问t为何值时, 向量组1=（1,0,1），2=（4,t,3），3=（1,3,t+1）线性无关？14令A=（1,2,3），则A=011411t33=0t+10t3=（t+3）（t1

11、）。1t+2t1。要使1,2,3线性无关，必须A0，即（t+3）（t1）0，从而t3,206 中科院研究生院2010年7月1a012例16.3.8 设A=011，=1，且,A,A线性无关，则a应满足（ ）。0101Aa1,a1 B. a1,a0 C. a1 D. a=0或a=111a12a0。令B=（,A,A2），因,A,A2线2=1，A=1，A=012a性无关，故|B|0，但由行列式计算得|B|=a1，可见a1。故选A。 例16.3.9 （2006） 已知向量组,性无关的（ ）。A充分必要条件 B充分条件，但非必要条件 C必要条件，但非充分条件 D既非充分条件也非必要条件 解1：设x1（+k

12、）+x2（2,线性无关，则k1是向量组+k,+k,线+k）+x3（）=0，（1）则（x1+x3）+（x1k+x2）+（x2kx3）=0，（2）x1+x3=0因,线性无关，故x1k+x2=0。 （3）x2kx3=0当k=1时，取x3为任一非零常数：x3=c，则由（3）得：x1=c,x2=c。此时x1,x2,x3都是非零常数，且使得（2）式成立，从而使得（1）式成立，即+k,性相关。可见，要使+k,性无关的必要条件。另一方面，在（3）中，第1式与第3式相加得x2k+x1=0，两端同乘以k，得+k,线+k,线性无关，必须k1。这表明k1是它们线x2k2+x1k=0，将（3）中第2式代入此式，得x2k

13、2x2=0，即x2（k21）=0，可见，当k1，即“k1且k1”时，解得x2=0，并且由此得x3=0，x1=0，即+k,+k,线性无关。可见“k1且k1” 是+k,+k,线性无关的一个充分条件，但“k1”不是充分条件。总之，k1是+k,解2：向量组+k,线性无关的必要条件，但不是充分条件。选C。+k,+k,线性无关的充要条件是它们的系数行列式1k01（3）中看出：+k,+k,线性无关当且仅当（3）k0（这也可从上述101式只有零解，又当且仅当（3）的系数行列式等于0），即k由此可见，k1是向量组+k,+k,线性无关的必要条件，但不是充分条件（因k1但k=1时，上述行列式也等于）。20716.4

14、 向量组的秩一、向量组的等价设有两个向量组：（I）1,2,s；（II）1,2,t。如果向量组（I）中每个向量都可由向量组（II）线性表出，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表出。如果向量组（I）和向量组（II）可互相线性表出，则称这两个向量组等价。二、向量组的秩和最大线性无关组在向量组1,2,m中，若存在r个向量i1,i2,ir线性无关，而任意r+1个向量均线性相关，则称i1,i2,ir为向量组1,2,m的一个最大线性无关组，并称向量组1,2,m的秩为r，记作r（1,2,m）=r。 与秩及最大线性无关组相关的结论：（1） 一个向量组的秩是唯一的，但它的最大无关组一般不唯一； （2） 只含零

15、向量的向量组没有最大线性无关组，规定它的秩为0；（3） 设向量组（I）的秩为r1，向量组（II）的秩为r2，且向量组（I）可由向量组（II）线性表出，则r1r2；（4） 等价的向量组必有相等的秩；（5） 一个向量组的任意两个最大线性无关组等价； （6） 一个向量组与它自己的任一个最大线性无关组等价。三、向量组的秩和最大线性无关组的求法。给定向量组1,2,m，求其秩和最大线性无关组。 1、构造矩阵A=（12m）；2、对A作初等变换，将其化为阶梯形矩阵。则阶梯形矩阵中主元（每行的第一个非零元）的个数即为向量组的秩，主元所在列对应的A的列向量即构成向量组的一个最大线性无关组。# 3、若进一步对所得阶

16、梯形矩阵作初等变换，将其化为简化阶梯形矩阵（见下例），则可得到非主元所在列的向量由最大线性无关组的表出式。矩阵化为阶梯形后，各行第一个非零元称为主元。四、向量组的秩和矩阵的秩的关系定理16.4.1 矩阵A的行向量组的秩 = 矩阵A的列向量组的秩 =矩阵A的秩。即12, 则r（A）=r（1,2,n）=r（1,2,m）。 设A=（1,2,n）=#m推论：r（Amn）min（m,n）。208例16.4.1 设有向量组1=（2,1,4,3），2=（1,1,6,6），3=（1,2,2,9），TTT4=（1,1,2,7）T，5=（2,4,4,9）T，求该向量组的秩及一个最大线性无关组，并把其余向量用最大线

17、性无关组表出。21111121A=（1,2,3,4,5）=4622369720440901214110， 0030000由此可知，r（A）=3，故r（1,2,3,4,5）=3，其一个最大线性无关组为1,2,4。对上述阶梯形矩阵继续作初等行变换，将主元位置化为1，主元所在列的非主元位置全化为零，得：10A00由此可知：3=12,011100000403，13005=41+3234。01102110例16.4.2 （2005）设向量1=，2=，3=，4=，则向量组11101101（1,2,3,4）的一个极大线性无关组是（ ）。A3,4B1,2,3,4C1,2,3D1,2,4解1：以1,2,3,4为

18、列向量构成矩阵P，将用初等行变换化为阶梯形矩阵后，其主元所在的列对应的向量组就是极大无关组。因02P=11110121101010101110111010112110110011010100021101110101120112。可见1,2,4是极大线性无关组。选D。 0002000200020000解2（排除法）：直接观察知3,4线性无关但未必是极大无关组，而1=23，因此1,2,3线性相关，从而1,2,3,4也线性相关，排除选项B、C。对选项D，需要验证1,2,4线性无关。中科院研究生院2010年7月 20902111111，可以1,2,4为行向量构成矩阵Q：Q=11110211001100

19、11见Q的秩为3，因此1,2,4线性无关。（也可按待定系数法验证1,2,4线性无关。）因此选D。例16.4.3 （2008） 若向量组1=（1,0,1,1），2=（0,1,t,2），3=（0,2,2,4），TTT4=（2,1,3t2,0）T 的秩为2，则t=（ ）。A1 B0 C-1 D-2向量组的秩等于以它们为列向量组成的矩阵的秩。210021002100012012011121， 1t23t20t23t4002t24t4200002400124要使它的秩为2，应2t2=0，即t=1。选A。4t4=021000121解2：而要使矩阵1t23t21240的秩为2，必须其所有3阶和4阶子式都等于

20、0。特别地，子式112=0， 012=0，即t21t2从而22t=0，t=1。解3：因原向量组的秩为，故1、2、3必线性相关。因此存在不全为的常数k1,k2,k3使得k11+k22+k33=0。观察1、2、3的分量知，1不能被2和3线性表出，因此k1=0，从而k22+k33=0，这表明2与3线性相关，因此它们的分量对应成比例，且由分量观察知，比值应为00t1=，从而知t=1。 22评注：（1）两个向量线性相关当且仅当它们的分量对应成比例。（2）三个向量两两线性无关，未必这三个向量线性无关。例如：1=（2,2），2=（1,2），3=（2,1），它们两两线性无关，但这三个向量却线性相关。（3）即使

21、三个向量1、2、3线性相关，且1与2线性无关、1与3线性无关， 也不能推出2与3线性相关。例子同（2）210 中科院研究生院2010年7月例16.4.4 已知向量组1,2,3线性无关，求向量组1+2,2+3,3+1的秩。设有x1,x2,x3使得x1（1+2）+x2（2+3）+x3（3+1）=0，即因1,2,3线性无关，故x1+x2=0，解得x1=x2=x3=0，这表明向量组x+x=0231+2,2+3,3+1线性无关，故该向量组的秩为3 。例16.4.5 已知向量组1,2,3，而1=1,2=1+22,3=1+33。求证：r（1,2,3）=r（1,2,3）。由已知1,2,3可由向量组1,2,3线

22、性表出，从表达式反解出1,2,3，得：1=1,2=（21）=（21）,3=（31）=（31）。可见1,2,3也能由1,2,3线性表出，故两向量组等价，从而12121313且r（1,2,s） = 例16.4.6已知向量组1,2,s可由向量组1,2,t线性表出，r1，r（1,2,t） = r2，则r（1,2,s,1,2,t）=（ ）。Ar1 +r2 B. r1 C. r2 D. min r1 , r2向量组1,2,t线性表出，故1,2,t也能由向量组1,2,t线性表出。另一方面，显然1,2,t可由向量组1,2,故向量组1,2,t与1,2,t等价。因此r（1,2,t）=r（1,2,t） = r2。例16.4.7 设A是nm矩阵，B是mn矩阵，且nm，若AB=E，求证B的列向量组线性无关。证法1：欲证r（B