GCT数学n维向量组讲解文档格式.docx

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α−2β+γ=（3,6,0）T−2（−1,4,2）+（1,0,−1）=（3−2×

（−1）+1,6−2×

4+0,0−2×

2+（−1））=（6,−2,−5）T.

例16.2.2设α1=（2,5,1,3）T,α2=（10,1,5,10）T,α3=（4,1,−1,1）T,且3（α1−α）+2（α2+α）=5（α3+α），求α。

解：

将3（α1−α）+2（α2+α）=5（α3+α）展开移项得：

6α=3α1+2α2−5α3，

⎛⎛2⎞⎛10⎞⎛4⎞⎞⎛6⎞⎛1⎞⎜⎜⎟⎜1⎟⎜1⎟⎟⎜12⎟⎜2⎟11⎜⎜5⎟1α=（3α1+2α2−5α3）=+2⎜⎟−5⎜⎟⎟=⎜⎟=⎜⎟。

3⎜5⎟⎜−1⎟⎟6⎜18⎟⎜3⎟66⎜⎜1⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎟⎜⎟⎜⎟3101⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝24⎠⎝4⎠⎝⎠

202中科院研究生院2010年7月

例16.2.3设α1=（2,1,−2）T,α2=（−4,2,3）T,β=（−8,8,5）T，求常数k，使得

β=2α1+kα2。

由β=2α1+kα2得：

2（2,1,−2）T+k（−4,2,3）T=（−8,8,5）T,

⎧4−4k=−8⎪

两端分量对应相等，得⎨2+2k=8，解得k=3。

⎪−4+3k=5⎩

例16.2.4设α1=（1,a,3）T,α2=（2,−1,0）T,

α3=（1,1,b）T，β=（−3,8,7）T，且

β=2α1−3α2+cα2，求a,b,c的值。

⎧−3=−4+c⎪

由β=2α1−3α2+cα2得：

⎨8=3+2a+c，解得：

c=1,a=2,b=1。

⎪7=6+bc⎩

二、向量的乘法、单位向量

an），则

T

⎛a12⎛a1⎞

⎜⎜a⎟

aa2

ααT=⎜⎟（a1,a2,"

an）=⎜21

⎜"

⎜#⎟

⎜⎜⎟

a⎝n⎠⎝ana1

a1a2

a2"

ana2

"

a1an⎞

⎟

a2an⎟

。

2⎟"

an⎠

⎛a1⎞

⎜a⎟

22

αTα=（a1,a2,"

an）⎜2⎟=a12+a2+"

+an。

⎜#⎟⎜⎟⎝an⎠

α的长度（或模），记为|α|。

=若|α|=1，则称α为单位向量。

（1,0,0,"

0）T，（0,1,0,"

0）T,"

（0,0,0,"

1）T是一组单位向量。

16.3向量组的线性相关性

一、线性组合与线性表出

式k1α1+k2α2+"

+ksαs称为向量α1,α2,"

αs的一个线性组合（k1,k2,"

ks为常数）。

对n维向量β和α1,α2,"

αs，若存在常数k1,k2,"

ks，使得

β=k1α1+k2α2+"

+ksαs，

则称β可由向量α1,α2,"

αs线性表出。

中科院研究生院2010年7月

203

定理16.3.1设β,α1,α2,"

αs都是n维向量，则下列命题等价：

（1）β可由向量α1,α2,"

αs线性表出；

β有解；

（实际上，这个方程组的每个解就是线性表出式的一组系数）

（2）方程组x1α1+x2α2+"

+xsαs=

（3）矩阵（α1α2"

αs）和矩阵（α1α2"

αsβ）有相同的秩。

TTT例16.3.1向量β=（2,−3,4）能否被向量组α1=（1,1,1），α2=（2,1,0）,

线性表出？

若能，求表出式。

设x1α1+x2α2+x3α3=α3=（3,0,0）Tβ，即

⎛1⎞⎛2⎞⎛3⎞⎛2⎞⎧x1+2x2+3x3=2⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎪x1⎜1⎟+x2⎜1⎟+x3⎜0⎟=⎜−3⎟，从而⎨x1+x2=−3，

⎜1⎟⎜0⎟⎜0⎟⎜4⎟⎪x=4⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎩1

解得：

x1=4,x2=−7,x3=4，故β=4α1−7α2+4α3。

二、向量组的线性相关与线性无关

设有n维向量组α1,α2,"

αs，如果存在不全为零的数k1,k2,"

ks，使得k1α1+k2α2+"

+ksαs=0，则称向量组α1,α2,"

αs线性相关，否则称为线性无关。

注：

（1）只含有一个向量的向量组线性相关当且仅当这个向量是零向量；

（2）由两个向量构成的向量组线性相关当且仅当这两个向量的分量对应成比例。

定理16.3.2设α1,α2,"

αs（s≥2）是n维向量，下列命题等价：

（1）α1,α2,"

αs线性相关；

（2）α1,α2,"

αs中至少有一个向量可被其余s−1个向量线性表出；

（3）齐次线性方程组x1α1+x2α2+"

+xsαs=0有非零解；

（4）矩阵A=（α1,α2,"

αs）的秩r（A）<

s，（其中s≤n）。

定理16.3.3设α1,α2,"

αs线性无关；

αs中没有一个向量可被其余s−1个向量线性表出；

+xsαs=0只有零解；

αs）的秩r（A）=s.

向量组线性相关和线性无关的其他有关结论

（1）含有零向量的向量组必线性相关；

（2）含有两个相同向量的向量组必线性相关；

204中科院研究生院2010年7月

（3）含有两个成比例向量的向量组必线性相关；

（4）n+1个n维向量必线性相关；

（5）给线性相关的向量组添加向量后，所得向量组仍线性相关；

线性无关向量组去掉向量后，所剩向量组仍线性无关；

（6）n个n维向量α1,α2,"

αn线性相关当且仅当A=0，其中A=（α1,α2,"

αn）。

（它们线性无关当且仅当A≠0）

（7）若向量组α1,α2,"

αs线性无关，而α1,α2,"

αs,β线性相关，则β必能由

α1,α2,"

αs线性表出，且表出系数唯一。

求证向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1也线性无关。

例16.3.2设向量组α1,α2,α3线性无关，

证明：

令x1（α1+α2）+x2（α2+α3）+x3（α3+α1）=0，

得：

（x1+x3）α1+（x1+x2）α2+（x2+x3）α3=0。

⎧x1+x3=0⎪

因α1,α2,α3线性无关，故⎨x1+x2=0，

⎪x+x=0

3⎩2

该方程组只有零解，故α1+α2,

α2+α3,α3+α1线性无关。

例16.3.3设向量组α1,α2,α3线性无关，且向量组

β1=α1+α2，β2=2α2+α3，β3=α1+kα2+α3

线性相关，求k的值。

解：

因β1,

β2,β3线性相关，故存在不全为零的数x1,x2,x3使得x1β1+x2β2+x3β3=0，

（x1+x3）α1+（x1+2x2+kx3）α2+（x2+x3）α3=0

将β1=α1+α2，β2=2α2+α3，β3=α1+kα2+α3代入上式，得

又因向量组α1,α2,α3线性无关，于是

⎨x1+2x2+kx3=0⎪x+x=0⎩23

由其中第一式和第三式解得x1=x2=−x3，代入第二式得（k−3）x3=0。

此时必定x3≠0，若不然，有x1=x2=x3=0，而这与x1,x2,x3不全为零矛盾。

因此，k=3.而向量α+2β,例16.3.4（2004）若向量α,β,γ线性无关，则k＝（）。

A．3B．2C．−2D．－3

解析：

因向量α+2β,2β+kγ,3γ+α线性相关，所以，存在不全为零的实数c1,c2,c3使

2β+kγ,3γ+α线性相关，

c1（α+2β）+c2（2β+kγ）+c3（3γ+α）=0，

205

⎧c1+c3=0⎪

即（c1+c3）α+2（c1+c2）β+（kc2+3c3）γ=0。

又因α,β,γ线性无关，故⎨c1+c2=0，

⎪kc+3c=0⎩23

从而c2=c3,k=−3，选D。

例16.3.5判断向量组α1=（1,1,0），α2=（0,−1,2），α3=（2,5,−6）是否线性无关。

解法1：

令x1α1+x2α2+x3α3=0，即

⎛1⎞⎛0⎞⎛2⎞⎛0⎞⎧x1+2x2=0⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎪

x1⎜1⎟+x2⎜−1⎟+x3⎜5⎟=⎜0⎟，从而⎨x1−x2+5x3=0。

⎜0⎟⎜2⎟⎜−6⎟⎜0⎟⎪2x−6x=0

⎩23⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

将x3作为自由变量，得：

⎨

⎧x1=−2x3

取x3=1，得一组非零解x1=−2,x2=3,x3=1，

⎩x2=3x3

故−2α1+3α2+α3=0，可见α1,α2,α3线性相关。

⎛102⎞⎛102⎞⎜⎟⎜⎟解法2：

考虑矩阵A=（α1,α2,α3）=1−15→0−13，⎜⎟⎜⎟⎜02−6⎟⎜000⎟⎝⎠⎝⎠

可见r（A）=2<

3，故α1,

α2,α3线性相关。

例16.3.6设向量组α1=（1,−1,2,0）,α2=（2,−1,1,b）,α3=（1,a,−1,1），则它们线性相关的条件是（）。

A．a=0,b=1B.a≠0,b=1C.a=1,b=−1D.a,b可取任何实数解：

要使α1,α2,α3线性相关，则秩r（α1,α2,α3）<

3。

而

⎛1⎜−1

（α1,α2,α3）=⎜

⎜2⎜⎝0

2−11b

1⎞⎛1

⎜0a⎟⎟→⎜−1⎟⎜0⎟⎜1⎠⎝0

21b−10

1⎞1⎟⎟，0⎟⎟a⎠

可见当a=0,b=1时，才有秩r（α1,α2,α3）<

故应选A。

例16.3.7问t为何值时,向量组α1=（−1,0,1），α2=（−4,t,3），α3=（1,−3,t+1）线性无关？

−1−4

令A=（α1,α2,α3），则A=0

1−1−41

1

t3−3=0t+10t−3=−（t+3）（t−1）。

−1t+2

t≠1。

要使α1,α2,α3线性无关，必须A≠0，即（t+3）（t−1）≠0，从而t≠−3,

206中科院研究生院2010年7月

⎛1a0⎞⎛1⎞⎜⎟⎜⎟2

例16.3.8设A=011，α=−1，且α,Aα,Aα线性无关，则a应满足（）。

⎜⎟⎜⎟

⎜0⎟⎜101⎟

⎝⎠⎝⎠

A．a≠1,a≠−1B.a≠1,a≠0C.a≠−1D.a=0或a=−1

⎛1⎞⎛1−a⎞⎛1−2a⎞

⎜⎟⎜⎟⎜0⎟。

令B=（α,Aα,A2α），因α,Aα,A2α线2

α=−1，Aα=−1，Aα=

⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜0⎟⎜1⎟⎜2−a⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠

性无关，故|B|≠0，但由行列式计算得|B|=a−1，可见a≠±

1。

故选A。

例16.3.9（2006）已知向量组α,性无关的（）。

A．充分必要条件B．充分条件，但非必要条件C．必要条件，但非充分条件D．既非充分条件也非必要条件解1：

设x1（α+kβ）+x2（

2

β,γ线性无关，则k≠1是向量组α+kβ,β+kγ,α−γ线

β+kγ）+x3（α−γ）=0，

（1）

则（x1+x3）α+（x1k+x2）β+（x2k−x3）γ=0，

（2）

⎧x1+x3=0

⎪

因α,β,γ线性无关，故⎨x1k+x2=0。

（3）

⎩x2k−x3=0

当k=1时，取x3为任一非零常数：

x3=c，则由（3）得：

x1=−c,x2=c。

此时x1,x2,x3

都是非零常数，且使得

（2）式成立，从而使得

（1）式成立，即α+kβ,性相关。

可见，要使α+kβ,性无关的必要条件。

另一方面，在（3）中，第1式与第3式相加得x2k+x1=0，两端同乘以k，得

β+kγ,α−γ线

β+kγ,α−γ线性无关，必须k≠1。

这表明k≠1是它们线

x2k2+x1k=0，将（3）中第2式代入此式，得x2k2−x2=0，即x2（k2−1）=0，可见，

当k≠±

1，即“k≠1且k≠−1”时，解得x2=0，并且由此得x3=0，x1=0，即

α+kβ,β+kγ,α−γ线性无关。

可见“k≠1且k≠−1”是α+kβ,β+kγ,α−γ线性

无关的一个充分条件，但“k≠1”不是充分条件。

总之，k≠1是α+kβ,解2：

向量组

β+kγ,α−γ线性无关的必要条件，但不是充分条件。

选C。

α+kβ,β+kγ,α−γ线性无关的充要条件是它们的系数行列式

1k01

（3）中看出：

α+kβ,β+kγ,α−γ线性无关当且仅当（3）k≠0（这也可从上述

10−1

式只有零解，又当且仅当（3）的系数行列式等于0），即k≠±

由此可见，k≠1是向量组α+kβ,

β+kγ,α−γ线性无关的必要条件，但不是充分条件（因k≠1但k=−1时，

上述行列式也等于）。

207

16.4向量组的秩

一、向量组的等价

设有两个向量组：

（I）α1,α2,"

αs；

（II）β1,β2,"

βt。

如果向量组（I）中每个向量都可由向量组（II）线性表出，则称向量组（I）可由向量组（II）线性表出。

如果向量组（I）和向量组（II）可互相线性表出，则称这两个向量组等价。

二、向量组的秩和最大线性无关组

在向量组α1,α2,"

αm中，若存在r个向量αi1,αi2,"

αir线性无关，而任意r+1个向量均线性相关，则称αi1,αi2,"

αir为向量组α1,α2,"

αm的一个最大线性无关组，并称向量组α1,α2,"

αm的秩为r，记作r（α1,α2,"

αm）=r。

与秩及最大线性无关组相关的结论：

（1）一个向量组的秩是唯一的，但它的最大无关组一般不唯一；

（2）只含零向量的向量组没有最大线性无关组，规定它的秩为0；

（3）设向量组（I）的秩为r1，向量组（II）的秩为r2，且向量组（I）可由向量组（II）线性表出，则r1≤r2；

（4）等价的向量组必有相等的秩；

（5）一个向量组的任意两个最大线性无关组等价；

（6）一个向量组与它自己的任一个最大线性无关组等价。

三、向量组的秩和最大线性无关组的求法。

给定向量组α1,α2,"

αm，求其秩和最大线性无关组。

1、构造矩阵A=（α1α2"

αm）；

2、对A作初等变换，将其化为阶梯形矩阵。

则阶梯形矩阵中主元（每行的第一个非零元）的个数即为向量组的秩，主元所在列对应的A的列向量即构成向量组的一个最大线性无关组。

#3、若进一步对所得阶梯形矩阵作初等变换，将其化为简化阶梯形矩阵（见下例），则

可得到非主元所在列的向量由最大线性无关组的表出式。

矩阵化为阶梯形后，各行第一个非零元称为主元。

四、向量组的秩和矩阵的秩的关系

定理16.4.1矩阵A的行向量组的秩=矩阵A的列向量组的秩=矩阵A的秩。

即

⎛β1⎞

⎜β⎟2⎟,则r（A）=r（α1,α2,"

αn）=r（β1,β2,"

βm）。

设A=（α1,α2,"

αn）=⎜⎜#⎟⎜⎟⎝βm⎠

推论：

r（Am×

n）≤min（m,n）。

208

例16.4.1设有向量组α1=（2,1,4,3），α2=（−1,1,−6,6），α3=（−1,−2,2,−9），

TTT

α4=（1,1,−2,7）T，α5=（2,4,4,9）T，求该向量组的秩及一个最大线性无关组，并把其余向

量用最大线性无关组表出。

⎛2−1−11⎜11−21

A=（α1,α2,α3,α4,α5）=⎜

⎜4−62−2⎜

⎝36−972⎞⎛⎜04⎟⎟→⎜4⎟⎜0⎟⎜9⎠⎝01−214⎞−110⎟⎟，00−3⎟

0000⎠

由此可知，r（A）=3，故r（α1,α2,α3,α4,α5）=3，其一个最大线性无关组为α1,α2,α4。

对上述阶梯形矩阵继续作初等行变换，将主元位置化为1，主元所在列的非主元位置全化为零，得：

⎛1⎜0A→⎜

⎜0⎜⎝0

由此可知：

α3=−α1−α2,

0−11−10000

04⎞

⎟03⎟

，

1−3⎟

⎟00⎠

α5=4α1+3α2−3α4。

⎛0⎞⎛−1⎞⎛1⎞⎛0⎞⎜2⎟⎜−1⎟⎜−1⎟⎜0⎟

例16.4.2（2005）设向量α1=⎜⎟，α2=⎜⎟，α3=⎜⎟，α4=⎜⎟，则向量组

⎜1⎟⎜1⎟⎜−1⎟⎜0⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟110−⎝−1⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠（α1,α2,α3,α4）的一个极大线性无关组是（）。

A．α3,α4

B．α1,α2,α3,α4

C．α1,α2,α3

D．α1,α2,α4

解1：

以α1,α2,α3,α4为列向量构成矩阵P，将用初等行变换化为阶梯形矩阵后，其主元所在的列对应的向量组就是极大无关组。

因

⎛0

⎜2P=⎜

⎜1⎜⎝1−110⎞⎛1

⎜2−1−10⎟⎟→⎜

−101⎟⎜0

⎟⎜

−10−1⎠⎝1−101⎞⎛1−101⎞

⎜01−1−2⎟−1−10⎟⎟→⎜⎟

−110⎟⎜0−110⎟

⎟⎜⎟

−10−1⎠⎝000−2⎠

⎛1−101⎞⎛1−101⎞⎜01−1−2⎟⎜01−1−2⎟

⎟→⎜⎟。

可见α1,α2,α4是极大线性无关组。

选D。

→⎜

⎜000−2⎟⎜000−2⎟⎜⎟⎜⎟00020000−⎝⎠⎝⎠

解2（排除法）：

直接观察知α3,α4线性无关但未必是极大无关组，而α1=−α2−α3，因此

α1,α2,α3线性相关，从而α1,α2,α3,α4也线性相关，排除选项B、C。

对选项D，需要验证α1,α2,α4线性无关。

中科院研究生院2010年7月209

⎛0211⎞⎛−1−1−1−1⎞⎜⎟⎜⎟，可以α1,α2,α4为行向量构成矩阵Q：

Q=−1−1−1−1→0211⎜⎟⎜⎟⎜001⎟⎜⎟−1⎠⎝001−1⎠⎝

见Q的秩为3，因此α1,α2,α4线性无关。

（也可按待定系数法验证α1,α2,α4线性无关。

）因此选D。

例16.4.3（2008）若向量组α1=（1,0,1,1），α2=（0,−1,t,2），α3=（0,2,−2,−4），TTTα4=（2,1,3t−2,0）T的秩为2，则t=（）。

A．1B．0C．-1D．-2

向量组的秩等于以它们为列向量组成的矩阵的秩。

2⎞⎛1002⎞⎛1002⎞⎛100⎜0−12⎟⎜0−12⎟⎜0−1⎟1121⎜⎟→⎜⎟→⎜⎟，⎜1t−23t−2⎟⎜0t−23t−4⎟⎜002t−24t−4⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−2⎠⎝000⎠⎝02−400⎠⎝12−4

要使它的秩为2，应⎨⎧2t−2=0，即t=1。

选A。

⎩4t−4=0

2⎞⎛100⎜0−12⎟1⎟解2：

而要使矩阵⎜⎜1t−23t−2⎟⎜⎟−1240⎝⎠

的秩为2，必须其所有3阶和4阶子式都等于0。

特别地，子式

1−12=0，0−12=0，即t−21t−2

从而2−2t=0，t=1。

解3：

因原向量组的秩为２，故α1、α2、α3必线性相关。

因此存在不全为０的常数k1,k2,k3使得k1α1+k2α2+k3α3=0。

观察α1、α2、α3的分量知，α1不能被α2和α3线性表出，因此k1=0，从而k2α2+k3α3=0，这表明α2与α3线性相关，因此它们的分量对应成比例，且由分量观察知，比值应为00t1=−，从而知t=1。

−22

评注：

（1）两个向量线性相关当且仅当它们的分量对应成比例。

（2）三个向量两两线性无关，未必这三个向量线性无关。

例如：

α1=（2,2），α2=（1,2），α3=（2,1），它们两两线性无关，但这三个向量却线性相关。

（3）即使三个向量α1、α2、α3线性相关，且α1与α2线性无关、α1与α3线性无关，

也不能推出α2与α3线性相关。

例子同

（2）

210中科院研究生院2010年7月

例16.4.4已知向量组α1,α2,α3线性无关，求向量组α1+α2,α2+α3,α3+α1的秩。

设有x1,x2,x3使得x1（α1+α2）+x2（α2+α3）+x3（α3+α1）=0，即

因α1,α2,α3线性无关，故⎨x1+x2=0，解得x1=x2=x3=0，这表明向量组

⎪x+x=0⎩23

α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关，故该向量组的秩为3。

例16.4.5已知向量组α1,α2,α3，而β1=α1,

β2=α1+2α2,β3=α1+3α3。

求证：

r（α1,α2,α3）=r（β1,β2,β3）。

由已知β1,β2,β3可由向量组α1,α2,α3线性表出，从表达式反解出α1,α2,α3，得：

α1=β1,α2=（β2−α1）=（β2−β1）,α3=（β3−α1）=（β3−β1）。

可见α1,α2,α3也能由β1,β2,β3线性表出，故两向量组等价，从而

12121313

且r（α1,α2,"

αs）=例16.4.6已知向量组α1,α2,"

αs可由向量组β1,β2,"

βt线性表出，r1，r（β1,β2,"

βt）=r2，则r（α1,α2,"

αs,β1,β2,"

βt）=（）。

A．r1+r2B.r1C.r2D.min{r1,r2}

向量组α1,α2,"

βt线性表出，故α1,α2,"

βt也能由向量组β1,β2,"

βt线性表出。

另一方面，显然β1,β2,"

βt可由向量组α1,α2,"

故向量组α1,α2,"

βt与β1,β2,"

βt等价。

因此r（α1,α2,"

βt）=r（β1,β2,"

βt）=r2。

例16.4.7设A是n×

m矩阵，B是m×

n矩阵，且n<

m，若AB=E，求证B的列向量组线性无关。

证法1：

欲证r（B