八年级新思维13因式分解Word下载.docx

1、2y _z = x 2y z z 2y z .例4 分解因式：x36x2 11x 6. （ “CASIO杯”河南省竞赛题）分析：直接用分解因式的基本方法无法解本例， 解决本例的突破口是把多项式中的某一项拆成两项或多项，使得便于分组进行分解因式 【解法一】 原式=x3 -X2 亠i5x2 -5x 亠6x 丁6=x2（x+1 ）+5x（x+1 ）+6（x +1 ）=（x T）（x 亠5x 亠6）=x 1 x 2 x 3【解法二】 原式=x3 2x2 + 4x2 8x 亠3x亠6=x2 x 2 4x x 2 3 x2=x 2 x2 4x 3【解法三】 原式=x3 i：6x2 11x 5=x 1 x-

2、x 1 x 1 6x 5=x 1 x 5x 6十字相乘法：由 q a?x C2 = $a2X 亠qq a2G x cc 得 a2X 亠 1P1C2 a2G x gq=（a/ 十 a2x +c2 ）.ay “ c从上式中发现：若一个二次三项式的二次项的系数分解为 a2，常数项分解为GC2， a Ca2 C把它们按右图排列，且斜线交叉相乘后的和为一次项系数，则原式可分解为两个一次因式的乘 积.像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们分解二次三项式的方法，叫十字相乘法 .例5把下列各式分解因式：（1）6y2 -11y -10;8x _2xy _3y .【答案】3 2（1）： 2 -5 3 （5）

3、 2 2 =-11 ,.原式=（3y 2）（2y_5）.原式=（2x y）（4x_3y）数学冲浪知识技能广场1.多项式ax-4a与多项式x2-4x+4的公因式是 . （常德市中考题）【答案】 x _22.分解因式：（1）3 . 2 2.a ab 2a b =;（成都市中考题）（x-1）2 -2（x-1）+1 = ;（2012年无锡市中考题）（3）a2 _2ab +b2 _1 =（2012年南通市中考题）（4）x2 y2 4x 亠 4（哈尔滨市中考题）【答案】 （1）a（a -b）2 （2）（x -2）2 （3）（a-b 1）（a-b-1）（4）（x y -2）（x -y-2）（3） 分解因式：

4、x +3x2 4x 12 = .（x 3）（x 2）（x-2）（4） 分解因式：（x +3x） -2（x +3x）-8= .（x 4）（x-1）（x 1）（x 2）（5）多项式ac-be a2-b2分解因式的结果是（ ）.A. （ab）（a+b+c） B. （ab）（a+b c）C. （a+b）（a+b-c） d. （a+b）（a-b + c）（北京市海淀区中考题）【答案】 A（6） 将多项式x4 2x2 -3分解因式的结果是（ ）.2丄 2 2丄 2A. （x 3）（x -1） B. （x 1）（x -3）D. （x 1）（x 3）（x3）【答案】 C（7）把多项式x2 _y2 _2x _4

5、y 一3因式分解之后，正确的结果是（1）（x y 3）（x_y_1） B. （x y _1）（x _ y 3）C. （x y 3）（xy 1） D. （x y 1）（xy_3）【答案】D（8）a的个数已知x2 ax -12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数 是（ ）A.3个 B.4个 C.6个 D.8个【答案】 C 设 x2 ax _12 =（x m）（x n）, （m , n 为整数），则 mn = -12 ,a =m - n共有6种结果（9 ）分解因式（1） 4a2 -b2 6a -3b ；2 2 2（2）9a 4b 亠4bc -c ；（3） （a c）（a -c） b（

6、b -2a）；（4） （x2 x 1）（x2 x 2） -12 ；（5） （2x2 -3x 1）2 -22x2 33x -1 ；（6）（x -1）（x 3）（x 5） 12 .【答案】 （1） （2a-b）（2a b 3） （ 2） （3a 2b-c）（3a-2b c）（3）（a -b c）（a -b -c） （4）（x2 x 5）（x 2）（x -1）（5）x（2x -3）（x -3）（2x 3）令 2x2 -3x =a ；（6）（x2 4x 3）（x2 4x 1） 原式=l（x 1）（x 3） l（x -1）（x 5） X12 =（x2 4x 3）（x2 4x -5） 12.（10 ）分解

7、因式（） 12x2 -x -6 ；（2）4x 24xy 11y ；（3）x2y4 7x2y2-8x2.【答案】 （1）原式-（3x 2）（4x -3）.（2）原式=（2x-y）（2x -11y）.（3）原式=x2（y2 8）（y 1）（y -1）.思维方法天地（11）分解因式：（x+1）（x*2）（x+3）（x+4）+x（x+5）= .（五羊杯”竞赛题）【答案】 （x 5x 3）（x 5x 8）.（12） 分解因式：（x _2）3 _（y _2）3 _（x _y）3 = .【答案】 设 x-2 二a, y -2 二b, x-y =a-b,原式=a3 _b3 _（a _b）3 =3ab（a _b

8、）二3（x2）（y2）（xy）.（13） 分解因式：9x26xy2+4y 3= .（河南省竞赛题）【答案】 原式=（9x2 -6x 1） -（y2 -4y 4） =（3x-1）2 -（y 2）2 =（3x y -3）（3x -y 1）.（14）已知（19x -31）（13x -17） -（13x-17）（11x -23）可因式分解为（ax b）（8x c），其中 a、b、c均为整数，则a b二 .（台湾省中考题）【答案】 -12（15）a4 4分解因式的结果是（ ）.2 2 2 2（1）（a 2a-2）（a -2a 2） B. （a 2a-2）（a -2a-2）C. （a2 2a 2）（a2

9、-2a -2） D. （a2 2a 2）（a2 -2a 2）（北京市竞赛题）（2）实数m =20053 -2005，下列各数中不能整除 m的是（ ）.A.2006 B.2005 C.2004 D.2003 （希望杯”邀请赛试题）已知a、b、c是厶ABC的三边长，且满足a2 2b2 c2b（a c0，则此三角形是（重庆市竞赛题）（） （X - y -2xy）（x y _2） （xy _1）;（3） 4x3 -31x 15 ; （重庆市竞赛题）（4） x3 5x23x9. （河南省竞赛题）【答案】 （1）原式 =（4x2 _4x 1）-（y2 _4y 4） =（2x 一1）2 _（y 一2）2 =

10、 （2x y_3）（2x -y 1）.（2） 原式=（x -1）2（y -1）2 令 x y 二a , xy 二 b.（3） 原式=4x3 -x -30x 15 =x（2x 1）（2x -1） -15（2x-1） =（2x-1）（2x2 x-15）=（2x -1）（2x -5）（x 3）.（4）原式 =（x3 x2） （6x2 -6x） （9x 9） =x2（x -1） 6x（x -1） 9（x-1） =（x-1）（x 6x 9） =（x -1）（x 3）应用探究乐园（20） 已知在 ABC中，三边长a、b、c满足等式a2 -16b2 - c2 6ab，10bc = 0.求证：a c =2b.

11、（天津市竞赛题）【答案】 a2 -16b2 -c2 6ab 10bc =（a2 6ab 9b2）-（25b2 -10bc c2）二（a 3b） -（5b -c） =（a 8b -c）（a -2b c）a、b、c为三角形三边长， a b -c 0, a 8b -c =（a b -c） 7bL 0.故由条件只有a -2b 0 ,即a，c=2b.（21） 下金蛋的鸡 法国数学家费马（1601-1665 ）一生中提出了不少猜想，最著名的是 费马大定理”：关于x , y , z的方程xn yn =zn （ n为大于2的整数）没有正整数解.直到350 年之后，这个猜想才由英国数学家怀尔斯于 1994年证明

12、.德国数学家希尔伯特 （1862-1943）将费马大定理称为 一只会下金蛋的鸡”，因为在攻克它的漫漫征程中， 不但引出了许多数学概念和方法，而且促进了一些新的分支的创立和发展 .这些远比证明定理本身更重要！不过费马的猜想并不总是正确的 .他考察了 22 1 = 5 , 221=17, 2 1 =257 ,22 1 =65537，发现结果都是素数（也称质数），于是猜想：对任意正整数 n , 2 1 （即 2（2）v ）都是素数.瑞士数学家欧拉（1707-1783）指出，221并不是素数.我国数学家华罗庚 （1910-1985） 在他的著作数论导引中给出一种简明的证法：设a =27 , b =5

13、,可算得一个，用含a、b的式子表示），即22i能被 整除（填入具体数值），所以不是素数（时代学习报数学文化节试题）【答案】1 ab ； 641 提示：原式=（1 ab）a4 （1 a2b2）（1 a2b2） =（1 ab）a4（1 a2b2）（1 ab）（1ab） =（1 ab） a4 （1 a2b2）（1 ab）.2.因式分解的应用问题解决（1）方程 xy2x2y+7=0 的整数解（x wy）为 .（江苏省竞赛题）原方程化为（x 2）（y 2） 3 = 0，故（x 2）（y 2） = _3 = -1 3 （-3）.X-2=-1 X-23 y -2 =3, y -2 =1.（希望杯”邀请赛试题

14、）（74 64）（154 64）（234 64）（314 64）（394 64）4 4 4 4 4（3 64）（11 64）（19 64）（27 64）（35 64）（华杯赛”试题）【答案】 （1）设1001二a,则原式=_ 2a-1 667（2a 1） -4a（2a 1） 2a（4a 4（2a 1）（2a 2）（2a 1）2 -（3a 2）（2a 1） -（2a 1）（2a 3） （2a 3）（3a 2） _2a 2 一668 原式（3 x7 +8）（7 汉11 +8）（11 汉15 +8）（15 汉19 +8）| （35汉39 +8）（39 汇43 +8）（2）八式一 （-1 3 8）（3

15、 7 8）（7 11 8）（11 15 8） （31 35 8）（35 39 8）39 43 8337.-1 3 8（4）设 109 383 -2，证明：a是37的倍数.（希望杯”邀请试题）【答案】 I a =（109 -1） （383 -1） =999999999 37 （382 38 1）,而 999999999 =9 111111111=9 3 37037037 =37 27 1001001, 37 a.（5）已知n是正整数，且n4 _16n2 100是质数，求n的值.分析与解 依据质数定义，质数只能分解成 1和本身的乘积故解本例的最自然的思路是：对原式进行恰当的分解变形n4 -16n2

16、 100 二n4 20n2 100 -36n2 =（n2 T0）2-36n2 =（n2 6n 10）（n2-6n 10）, 因n2 6n 10 =1,而n4 -16n2 100 为质数且 n 为正整数，故 n2 -6n 10 =1,即（n-3）0,得 n = 3.配方法把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式， 这种解题方法叫配方法.配方法的作用在于改变式子的原有结构，提示式子的非负性【答案】 n4 -16n2 100 二n4 20n2 100 -36n2 =（n2 10）2 -36n2 =（n2 6n 10）（n2 -6n 10）,因n2 6 n -10 =1,

17、 而n4 -16n2 100为质数且n为正整数， 故n2 亠6n 亠 10 =1,即（n 3） 0 ,得 n =3.（6） （ 1）实数 x、y满足 x2+12xy+52y2+1=0,则 x2 y2 = .（2012年北京市竞赛题）（2 ）在平面直角坐标系中，满足不等式x2 y2 2x 2y的整数点坐标（x , y）的个数为（）.A.10 B.9 C.7 D.5分析 由式子的结构特点（平方和或积的 2倍）试试配方法，常能降低问题的难度得xjy.2 4【答案】 （1）由条件得（x，6y）2，（4y-1）2 =0,二 x 6y =0, 4y T =0故原式=35.16（2）由条件得0w（x-1）2

18、 （y -1）2 2 n2且m、n均为正整数，如果将mn进行如 下方式的分解”那么下列三个叙述：（1 ）在25的分解”中最大的数是11；（2） 在43的分解”中最小的数是13；（3） 若m3的 分解”中最小的数是23,则m等于5.其中正确的是 .（太原市中考题）【答案】 （2）5.若实数x, y, z满足（x -z）4（x -y）（y -z） =0，则下列式子一定成立的是（ ）.A. x+y+z =0 B. x + y-2z=0C. y+z-2x =0 D. z + x_2y=02 2 2 2 2 26.已知 a b c , M =a b b c c a, N =ab bc ca ,则 M 与

19、 N 的大小关系是 （ ）.A. M v N B. M N C. M 二 N D.不能确定【答案】B7. 设n为某一自然数，代入代数式 n3 -n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中正确的结果是（ ）.A.5814 B.5841 C.8415 D.8451【答案】 丄_-n = n n -1 ） （ n 能被 6整除.8.a、b、c的正整数,a b , a ab ac be =7,贝Ua c等于（【答案】D （a 一 b）（a c）二 7.9.计算3 2O、 2004 -2 2004 -2002（1） 3 2 ；20042004 -2005a -2 2002a 1 2005.（2） 2

20、21 x4 +1 =x4 +x2 +1 x2 =. x2 _x +1 I. x2 +x +丄 4 4 I 2人 2丿10.（1）求证:817 -279 -913 能被 45 整除；（2）证明：当n为自然数时，2（2n 1）形式的数不能表示为两个整数的平方差 【答案】 （1略 （2）从反面说明，结合奇数偶数性质 .11.a、b、c是正整数，并且满足等式 abc+ab+ac+bc+a+b+c+1 =2004,那么a +b +c的最小值是 【答案】171 （a 1）（b 1）（c 1） =2 3 167.12.已知 a、b、x、y 满足 a b =x y =2, ax by =5,则（a2 b2）x

21、y ab （x2 y 2）（“TRUY信利杯”全国竞赛题）【答案】 -5 （a b）（x y）= ax b y a y b4 a）,则 11=b -a =（b a）（b _a）, b a =11, b _a =1,解得 a=5,b=6, n =a_2=23. 15.若m =2006 2006 20072 20072,则m （ ）.【答案】 A 设x =2006 ,原式（x2 x 1）2.17.方程x（四川省竞赛题）A 原式=（n -1）1（ 1）n（ 为 1 的倍数-2xy - 3y2 =34的整数解（x , y）的组数为（2012年全国初中数学竞赛题）a b ab，则经过99次操作后黑板上剩

22、下的数是 （C.100 D.99【答案】 C 由a b a b1 （99次操作后黑板上剩下的数为x ，2 3 M 100 1 解得x= 1 00 ./3、计算.（24 +2 +1）（44 +42 +1）（64 +62 +1）（84 +82 +8）（104 +102 +1）计算.（34 32 1）（54 52 1）（74 72 1）（94 92 1）（114 1 12 1） .（青少年数学国际城市邀请赛试题）【答案】 因 n4 n2 1 =（n2 1）2n2 =（n2n 1）（n2 n 1）,又（n 1）2（n 1） 1 = n2 n1（n =1, 2 J|, 11）,于是分子与分母可逐项分解并

23、相消，可得原式（222+1） （2 + 爭 1） （/ 什 1） （6毋 1 ） （ + 於 1 ） （g 8 1 ）（32 -3 1） （3 3 1）（弓5 1） （77 1） （7 1 ） （9-9 1）（82 8 1） （1 0 - 1 0 1 ）（102 10 1） _ 22 2 1 _ 3（92 9 1） （ 1 1 1 1 1 ） （112 11 1） 一112 11 1 一面.有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式:a b3 _ （a b）（a2 -ab b2） _a3 （a -b）3 la （a b） f a2a（ab） （ab）2 |（a b）（a2 -ab b2）

24、_ a ba =1、b =4时，x1 =2m 5n ,又因1999 -1 =2000 =24 53 ,故1999可以通过上述规则扩充得到3.因式分解的应用例1 （ 1）若分式 ?x -12的值为0,则x的值为 .x +4x +4（广州市中考题）（2）如果整数a（a=1）使得关于x的一元一次方程：ax-3=a2，2a x的解是整数，则该方 程所有整数解的和为 .（中学生智能通讯赛试题）【答案】 （1）2（2） x 2a_ =a 3 , 6 为整数，a1 二 1, -2 , -3, _6求得a 的值，进而得a -1 a T a 1原方程所有整数根的和为 32.例2已知实数A.是正数111a、b、c满足a亠b亠c = 0, abc =4.那么 的值a b cC.是负数B.是零由条件得 ab bc a（a b c） -（a b c）D.可正可负a2 b2 c2v 0,原式abbc acabc例3计算（1