八年级新思维13因式分解Word下载.docx

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2y_z=x2y—zz—2yz.

例4分解因式：

x3・6x2・11x•6.（“CASIO杯”河南省竞赛题）

分析：

直接用分解因式的基本方法无法解本例，解决本例的突破口是把多项式中的某一项拆

成两项或多项，使得便于分组进行分解因式•

【解法一】原式=x3-「X2］亠i「5x2-「5x］亠［6x丁6

=x2（x+1）+5x（x+1）+6（x+1）

=（xT）（x亠5x亠6）

=x1x2x3

【解法二】原式=x32x2+4x2•8x］亠［3x亠6

=x2x24xx23x2

=x2x24x3

【解法三】原式=x3^i：

6x211x5

=x1x-x1x16x5

=x1x5x6

十字相乘法：

由qa?

xC2=$a2X亠［qqa2Gxcc得a£

2X亠1P1C2a2Gxgq

=（a/十^］a2x+c2）.

ay“c

从上式中发现：

若一个二次三项式的二次项的系数分解为a^2，常数项分解为GC2，a■C

a2C

把它们按右图排列，且斜线交叉相乘后的和为一次项系数，则原式可分解为两个一次因式的乘积.

像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们分解二次三项式的方法，叫十字相乘法.

例5把下列各式分解因式：

（1）6y2-11y-10;

8x_2xy_3y.

【答案】

3—2

（1）：

2■-53（—5）22=-11,

.原式=（3y2）（2y_5）

.原式=（2xy）（4x_3y）

数学冲浪

知识技能广场

1.多项式ax-4a与多项式x2-4x+4的公因式是.（常德市中考题）

【答案】x_2

2.分解因式：

（1）

3.22.

aab2ab=

;

（成都市中考题）

（x-1）2-2（x-1）+1=

;

（2012年无锡市中考题）

（3）

a2_2ab+b2_1=

（2012年南通市中考题）

（4）

x2—y2—4x亠4

（哈尔滨市中考题）

【答案】

（1）a（a-b）2

（2）（x-2）2（3）（a-b1）（a-b-1）

（4）（xy-2）（x-y-2）

（3）分解因式：

x+3x2—4x—12=.

（x3）（x2）（x-2）

（4）分解因式：

（x+3x）-2（x+3x）-8=.

（x4）（x-1）（x1）（x2）

（5）多项式ac-be•a2-b2分解因式的结果是（）.

A.（a—b）（a+b+c）B.（a—b）（a+b—c）

C.（a+b）（a+b-c）d.（a+b）（a-b+c）

（北京市海淀区中考题）

【答案】A

（6）将多项式x42x2-3分解因式的结果是（）.

2丄22丄2

A.（x3）（x-1）B.（x1）（x-3）

D.（x1）（x3）（x—3）

【答案】C

（7）把多项式x2_y2_2x_4y一3因式分解之后，正确的结果是（

（1）（xy3）（x_y_1）B.（xy_1）（x_y3）

C.（xy—3）（x—y1）D.（xy1）（x—y_3）

【答案】D

（8）

a的个数

已知x2ax-12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数是（）•

A.3个B.4个C.6个D.8个

【答案】C设x2ax_12=（xm）（xn）,（m,n为整数），则mn=-12,

a=m-n共有6种结果•

（9）分解因式

（1）4a2-b26a-3b；

222

（2）9a4b亠4bc-c；

（3）（ac）（a-c）b（b-2a）；

（4）（x2x1）（x2x2）-12；

（5）（2x2-3x1）2-22x233x-1；

（6）（x-1）（x3）（x5）12.

【答案】

（1）（2a-b）（2ab3）

（2）（3a2b-c）（3a-2bc）

（3）（a-bc）（a-b-c）（4）（x2•x5）（x2）（x-1）

（5）x（2x-3）（x-3）（2x3）令2x2-3x=a；

（6）（x24x—3）（x24x1）原式=l（x1）（x3）l〔（x-1）（x5）X12=（x24x3）

（x24x-5）12.

（10）分解因式

（）12x2-x-6；

（2）4x—24xy11y；

（3）x2y47x2y2-8x2.

【答案】

（1）原式-（3x2）（4x-3）.

（2）原式=（2x-y）（2x-11y）.

（3）原式=x2（y28）（y1）（y-1）.

思维方法天地

（11）分解因式：

（x+1）（x*2）（x+3）（x+4）+x（x+5）=.

（五羊杯”竞赛题）

【答案】（x5x3）（x5x8）.

（12）分解因式：

（x_2）3_（y_2）3_（x_y）3=.

【答案】设x-2二a,y-2二b,x-y=a-b,原式=a3_b3_（a_b）3=3ab（a_b）二

3（x—2）（y—2）（x—y）.

（13）分解因式：

9x2—6x—y2+4y—3=.

（河南省竞赛题）

【答案】原式=（9x2-6x1）-（y2-4y•4）=（3x-1）2-（y—2）2=（3x•y-3）

（3x-y1）.

（14）已知（19x-31）（13x-17）-（13x-17）（11x-23）可因式分解为（axb）（8xc），其中a、b、

c均为整数，则ab二.

（台湾省中考题）

【答案】-12

（15）a44分解因式的结果是（）.

2222

（1）（a2a-2）（a-2a2）B.（a2a-2）（a-2a-2）

C.（a22a2）（a2-2a-2）D.（a22a2）（a2-2a2）

（北京市竞赛题）

（2）实数m=20053-2005，下列各数中不能整除m的是（）.

A.2006B.2005C.2004D.2003

（希望杯”邀请赛试题）

已知a、b、c是厶ABC的三边长，且满足a22b2c^2b（ac^0，则此三角形是

（重庆市竞赛题）

（）（X-y-2xy）（x•y_2）•（xy_1）;

（3）4x3-31x15;

（重庆市竞赛题）

（4）x35x2・3x—9.（河南省竞赛题）

【答案】

（1）原式=（4x2_4x1）-（y2_4y4）=（2x一1）2_（y一2）2=（2xy_3）

（2x-y1）.

（2）原式=（x-1）2（y-1）2令xy二a,xy二b.

（3）原式==4x3-x-30x15=x（2x1）（2x-1）-15（2x-1）=（2x-1）（2x2x-15）

=（2x-1）（2x-5）（x3）.

（4）原式=（x3—x2）（6x2-6x）（9x—9）=x2（x-1）6x（x-1）9（x-1）=（x-1）

（x6x9）=（x-1）（x3）

应用探究乐园

（20）已知在△ABC中，三边长a、b、c满足等式a2-16b2-c26ab，10bc=0.求证：

ac=2b.

（天津市竞赛题）

【答案】a2-16b2-c26ab10bc=（a26ab9b2）-（25b2-10bcc2）二

（a3b）-（5b-c）=（a8b-c）（a-2bc）

a、b、c为三角形三边长，•••ab-c>

0,a8b-c=（ab-c）7bL>

0.

故由条件只有a-2b^0,即a，c=2b.

（21）下金蛋的鸡法国数学家费马（1601-1665）一生中提出了不少猜想，最著名的是费

马大定理”：

关于x,y,z的方程xnyn=zn（n为大于2的整数）没有正整数解.直到350年之后，这个猜想才由英国数学家怀尔斯于1994年证明.德国数学家希尔伯特（1862-1943）

将费马大定理称为一只会下金蛋的鸡”，因为在攻克它的漫漫征程中，不但引出了许多数学

概念和方法，而且促进了一些新的分支的创立和发展.这些远比证明定理本身更重要！

不过费马的猜想并不总是正确的.他考察了22•1=5,22—1=17,2•1=257,

221=65537，发现结果都是素数（也称质数），于是猜想：

对任意正整数n,2^1（即2（2"

）v）都是素数.

瑞士数学家欧拉（1707-1783）指出，221」并不是素数.我国数学家华罗庚（1910-1985）在他的著作《数论导引》中给出一种简明的证法：

设a=27,b=5,可算得

一个，用含a、b的式子表示），即22\i能被整除（填入具体数值），所以不是素数

（《时代学习报》数学文化节试题）

【答案】1ab；

641提示：

原式=（1ab）a4（1a2b2）（1—a2b2）=（1ab）a4

（1a2b2）（1ab）（1—ab）=（1ab）a4（1a2b2）（1—ab）.

2.因式分解的应用

问题解决

（1）方程xy—2x—2y+7=0的整数解（xwy）为.

（江苏省竞赛题）

原方程化为（x—2）（y—2）■3=0，故（x—2）（y—2）=_3=-13（-3）.

X-2=-1X-2—3y-2=3,y-2=1.

（希望杯”邀请赛试题）

（7464）（15464）（23464）（31464）（39464）

44444

（364）（1164）（1964）（2764）（3564）

（华杯赛”试题）

【答案】

（1）设1001二a,则原式=

_2a-1667

（2a1）-4a（2a1）2a（4a4^（2a1）（2a2）

（2a1）2-（3a2）（2a1）-（2a1）（2a3）（2a3）（3a2）_2a2一668'

原式—（3x7+8）（7汉11+8）（11汉15+8）（15汉19+8）||（35汉39+8）（39汇43+8）

（2）八式一（-138）（378）（7118）（11158）（31358）（35398）

39438

337.

-138

（4）设^109383-2，证明：

a是37的倍数.

（希望杯”邀请试题）

【答案】Ia=（109-1）（383-1）=99999999937（382381）,

而999999999=9111111111=9337037037=37271001001,•••37a.

（5）已知n是正整数，且n4_16n2100是质数，求n的值.

分析与解依据质数定义，质数只能分解成1和本身的乘积•故解本例的最自然的思路是：

对原式进行恰当的分解变形•

n4-16n2100二n420n2100-36n2=（n2T0）2-36n2=（n26n10）（n2-6n10）,因

n26n・10=1,而n4-16n2・100为质数且n为正整数，故n2-6n•10=1,即（n-3）^0,

得n=3.

配方法

把一个式子或一个式子的部分改写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种解题

方法叫配方法.

配方法的作用在于改变式子的原有结构，提示式子的非负性

【答案】n4-16n2100二n420n2100-36n2=（n210）2-36n2=（n26n10）

（n2-6n10）,因n26n-10=1,而n4-16n2100为质数且n为正整数，故

n2亠6n亠10=1,即（n—3）0,得n=3.

（6）

（1）实数x、y满足x2+12xy+52y2+1=0,则x2—y2=.

（2012年北京市竞赛题）

（2）在平面直角坐标系中，满足不等式x2y2<

2x2y的整数点坐标（x,y）的个数为（）.

A.10B.9C.7D.5

分析由式子的结构特点（平方和或积的2倍）试试配方法，常能降低问题的难度

得xjy」.

24

【答案】

（1）由条件得（x，6y）2，（4y-1）2=0,

二x6y=0,4yT=0

故原式=35.

16

（2）由条件得0w（x-1）2（y-1）2<

2,因x,y均为整数，故得

'

2222

（x-1）二0（x-1）二0（x-1）二1（x-1）二1（y-1）2=0;

（yT）2=1;

（yT）2=0;

（y-1）2=1.

4-x=1

4-x=14-^=0

4-^=0

4-^=2

工x=2工x=2

解得

/'

■JI1J1.

Ly=1,

y=2,

.y=0,y=0,

.y=2,

y=1,

.y=0,.y=2

故选B.

1.已知2x_3=0,那么代数式x（x2—x）•x2（5—x）「9的值为

（北京市中考题）

【答案】a3b

【答案】9由条件得（a4・1）（a-b-1）=0,从而a-b-1=0.

4.

已知m>

2n》2且m、n均为正整数，如果将mn进行如下方式的分解”那么下列三个叙述：

（1）在25的分解”中最大的数是11；

（2）在43的分解”中最小的数是13；

（3）若m3的分解”中最小的数是23,则m等于5.

其中正确的是.

（太原市中考题）

【答案】

（2）

5.若实数x,y,z满足（x-z）…4（x-y）（y-z）=0，则下列式子一定成立的是（）.

A.x+y+z=0B.x+y-2z=0

C.y+z-2x=0D.z+x_2y=0

222222

6.已知a>

b>

c,M=abbcca,N=abbcca,则M与N的大小关系是（）.

A.MvNB.M>

NC.M二ND.不能确定

【答案】B

7.设n为某一自然数，代入代数式n3-n计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，其中

正确的结果是（）.

A.5814B.5841C.8415D.8451

【答案】丄_『-n=nn-1）（n•能被6整除.

8.a、b、c的正整数,

a>

b,a—ab—acbe=7,贝Ua—c等于（

【答案】D（a一b）（a—c）二7.

9.计算

32

O、2004-22004-2002

（1）32；

2004^2004-2005

a-22002

a1~2005.

（2）221x4+1=x4+x2+1—x2=.'

x2_x+1I.'

x2+x+丄\

44I2人2丿

10.

（1）求证:

817-279-913能被45整除；

（2）证明：

当n为自然数时，2（2n1）形式的数不能表示为两个整数的平方差【答案】（1略

（2）从反面说明，结合奇数偶数性质.

11.a、b、c是正整数，并且满足等式abc+ab+ac+bc+a+b+c+1=2004,那么

a+b+c的最小值是

【答案】171（a1）（b1）（c1）=23167.

12.已知a、b、x、y满足ab=xy=2,axby=5,则（a2b2）xyab（x2y2）

（“TRUY信利杯”全国竞赛题）

【答案】-5（ab）（xy）=axbyayb4<

•••aybx=—1,原式=（aybx）（axby）二-5.

13.整数x,y满足方程2xy+x+y=83,贝Ux+y=

【答案】83或-85由条件得4xy2x2y1=1661,即（2x1）（2y1）=167.

14.A、n都是自然数，且A=n2+15n+26是一个完全平方数，则门=.

【答案】23A=（n2）（n13）,设n2=a,n13=b（a、b为正整数且b>

a）,

则11=b-a=（ba）（b_a）,ba=11,b_a=1,解得a=5,b=6,n=a_2=23.15.若

m=200620062007220072,则m（）.

【答案】A设x=2006,原式^（x2x1）2.

17.方程x

（四川省竞赛题）

A原式=（n-1）1（^1）n（•为1的倍数

-2xy-3y2=34的整数解（x,y）的组数为（

（2012年全国初中数学竞赛题）

abab，则经过99次操作后黑板上剩下的数是（

C.100D.99

【答案】C由abab1（

99次操作后黑板上剩下的数为x，

2'

3'

M1001'

解得x=100.

/3、计算.（24+2+1）（44+42+1）（64+62+1）（84+82+8）（104+102+1）

计算.（34321）（54521）（74721）（94921）（1141121）.

（青少年数学国际城市邀请赛试题）

【答案】因n4n21=（n21）2「n2=（n2「n1）（n2n1）,又（n1）2「（n1）1=n2n・1（n=1,2J||,11）,于是分子与分母可逐项分解并相消，可得原式

（22—2+1）（2+爭1）（/—什1）（6—毋1）（§

+於1）（g—81）

（32-31）（331）（弓—51）（7—71）（「71）（9^-91）

（8281）（10-101）（102101）_22—21_3

（9291）（11—111）（112111）一112111一面.

有错，不仅如此，我们还可以写出任意多个这种算式:

ab3_（ab）（a2-abb2）_

a3（a-b）3la（a—b）fa2「a（a「b）（a「b）2|

（ab）（a2-abb2）_ab

a=1、b=4时，x・1=2m5n,又因1999-1=2000=2453,故1999可以通过上述规则扩充

得到•

3.因式分解的应用

例1

（1）若分式?

x-12的值为0,则x的值为.

x+4x+4

（广州市中考题）

（2）如果整数a（a=1）使得关于x的一元一次方程：

ax-3=a2，2ax的解是整数，则该方程所有整数解的和为.

（中学生智能通讯赛试题）

【答案】

（1）2

（2）x2a_=a3—,6为整数，a「1二1,-2,-3,_6求得a的值，进而得

a-1aTa—1

原方程所有整数根的和为32.

例2已知实数

A.是正数

111

a、b、c满足a亠b亠c=0,abc=4.那么的值

abc

C.是负数

B.是零

由条件得abbca^（abc）-（abc）

D.可正可负

a2b2c2

v0,原式

ab

bcac

abc

例3

计算

（1