1、3. 求函数值域(最值)的一般方法:(1)利用基本初等函数的值域;(2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数);(3)不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如 型的函数)(4)函数的单调性:特别关注 的图象及性质(5)部分分式法、判别式法(分式函数)(6)换元法(无理函数)(7)导数法(高次函数)(8)反函数法(9)数形结合法4. 求函数的单调性(1)定义法:(2)导数法:(3)利用复合函数的单调性:(4)关于函数单调性还有以下一些常见结论:两个增(减)函数的和为_;一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是_;奇函数在对称的两个区间上有_的单调性;偶函数在对称的两个区间上有_的单调性;互为反
2、函数的两个函数在各自定义域上有_的单调性;(5)求函数单调区间的常用方法:定义法、图象法、复合函数法、导数法等(6)应用:比较大小,证明不等式,解不等式。5. 函数的奇偶性奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较f(x) 与f(x)的关系。f(x) f(x)0 f(x) f(x) f(x)为偶函数;f(x)+f(x)0 f(x) f(x) f(x)为奇函数。判别方法:定义法,图象法,复合函数法应用:把函数值进行转化求解。6. 周期性:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)f(x),则T为函数f(x)的周期。其他:f(x+a)f(xa),则2a为函数f(x)的周期.求函数值和某个
3、区间上的函数解析式。二、典型例题分析例1. 若集合Aa1,a2,a3,Bb1,b2 求从集合A到集合B的映射的个数。分析:解决这类问题,关键是要掌握映射的概念:设A、B是两个集合,对于集合A中的任何一个元素,按照某种对应法则f,若集合B中都有唯一确定的元素和它对应,这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射。这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。对于本例,集合Aa1,a2,a3中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形,由乘法原理可知,A到B的映射的个数共有N2228个。例2. 线段|BC|4,BC的中点为M,点A与B、C两点的距离之和为6,设|AM|y,|AB|x,求yf(x)的函数表达式
4、及这函数的定义域。解:1若A、B、C三点不共线,如图所示,由余弦定理可知,x222+y24ycosAMB (6x)222+y24ycos(180AMB) + x2+(6x)22y2+8 y2x26x+14又 x26x+14(x3)2+5恒正,又三点A、B、C能构成三角形1x52若三点A、B、C共线,由题意可知,x+46x,x1 或4+6xx x5综上所述:说明:第一,首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上,因为由题意,A、B、C不一定能构成三角形,它们也可在同一条直线上,所以要分两种情形来讨论。第二,实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。例3. 设f(x)为定义在R上的偶函数,当x1
5、时,yf(x)的图象是经过点(2,0),斜率为1的射线,又在yf(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过点(1,1)的一段抛物线,试写出函数f(x)的表达式,并在图中作出其图象。(1)当x1时,设f(x)x+b射线过点(2,0) 02+b即b2,f(x)x+2(2)当11时,设f(x)ax2+2抛物线过点(1,1),1a(1)2+2,即a1f(x)x2+2(3)当x1时,f(x)x+2综上可知:f(x) 作图由读者来完成。例4. 求下列函数的定义域(1) (2)(1)x4或x1且x3,即函数的定义域为(,3)(3,1)4,+(2) ,则0x23x108,即3x2或5x6即定义域为3,2(
6、5,6)求函数的定义域,我们常常可以从以下三个方面来考虑:若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式,则真数大于零、底数大于零且不等于1。求函数的定义域,实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。变、已知函数f(x)的定义域为1,4,求 的定义域。 ,则又 , 或则 或 即为所求函数的定义域。此题实质上是求复合函数的定义域,我们把 看成是由yf(u)、 两个函数复合而成的,因为1u4,则 ,从而求出x的范围,另外,对不等式进行倒数运算时,应注意不等式两边必须同号,取倒数后不等号的方向改变,这里也是学习时常常容易发生错误的地方,应加以重视。例5. 若对于任何实数x,
7、不等式: 恒成立,求实数a的取值范围。令f(x)|x1|+2|x2|,去绝对值把f(x)表示成分段函数后为53x x1f(x) 3xx23x5 x2作出yf(x)的图象如图,由此可知f(x)的最小值为1,f(x)a对一切实数x恒成立,则a1。该题看上去是一个不等式的问题,若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁,而如果注意到不等式左边是一个关于x的函数,只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题,这种解题思想应引起我们的注意。另外,对于函数f(x)|x1|+2|x2|只要把它写成分段函数的形式,作出函数的图象,则该函数的所有性质,包括函数的单调区间,值域等一切问题都可以迎刃而解
8、了。例6. 求函数 的值域。令 ,则134xt2该二次函数的对称轴为t1,又t0由二次函数的性质可知y4,当且仅当t1即x3时等式成立,原函数的值域为(,4)。对于所有形如 的函数,求值域时我们可以用换元法令转化为关于t的二次函数在区间0,+)上的最值来处理。这里要注意t0的范围不能少。如:已知f(x)的值域为 ,试求函数 的值域。该题我们只需要把f(x)看成是一个变量,则求值域时仍可用上述换元法,但是如果被开方数不是关于x的一次式,而含x的平方项,则就不能用上述换元法了。如求函数 的值域,若令 ,则x无法用t来表示。这里我们如果注意到x的取值范围:22,则11的话,我们就可以用三角换元:令
9、0,问题也就转化为三角函数求最值了。同样我们作三角换元时,要注意的限制条件,因为当取遍0到之间的每一个值时, 恰好可以取遍1到1之间的每一个值,若不限制的范围,则根号无法直接去掉,就会给我们解题增添麻烦。例7. 求下列函数的最值。(1)先求出函数的定义域:27,又在区间2,7上函数 单调递增, 单调递增,所以 在定义域内也单调递增。当x2时, ;当x7时,(2) 0 y2x2(1x2)由基本不等式可知:y2x2(1x2) ,又y , 。对于一些比较复杂的函数,求值域或最值时,如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式,问题往往会很快得到解决。在运用基本不等式求最值时,要注意“一正二定三
10、相等”的条件,特别是要注意等号能否成立。例8. 设a0,x1,1时函数yx2ax+b有最小值1,最大值1,求使函数取得最小值和最大值时相应的x的值。a0, 0,又定义域为1,1x1时 ,即1a+b1 ab0下面分a的情形来讨论:1当0 1即0a2时,当 时, 即 ,则a2+4a40,又a(0,2) ,则2当 1,即a2时,当x1时1+a+b1,a+b2 又ab a1 与a2矛盾,舍去x1时, , 时 。例9. 已知函数yf(x) (a,b,cR,a0,b0)是奇函数,当x0时,f(x)有最小值2,其中bN且f(1)(1)试求函数f(x)的解析式;(2)问函数f(x)的图象上是否存在关于点(1,
11、0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由(1)f(x)是奇函数,f(x)f(x),即c0,a0,b0,x0,f(x) 2 ,当且仅当x 时等号成立,于是2 2,ab2,由f(1) 得 即 ,2b25b+20,解得 b2,又bN,b1,a1,f(x)x+(2)设存在一点(x0,y0)在yf(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2x0,y0)也在yf(x)的图象上,则消去y0得x022x010,x01yf(x)的图象上存在两点(1+ ,2 ),(1 ,2 )关于(1,0)对称例10. 已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在0,+)上是增函数,是否存在实数m,使f(cos
12、23)+f(4m2mcos)f(0)对所有0, 都成立?若存在,求出符合条件的所有实数m的范围,若不存在,说明理由f(x)是R上的奇函数,且在0,+)上是增函数,f(x)是R上的增函数 于是不等式可等价地转化为f(cos23)f(2mcos4m),即cos232mcos4m,即cos2mcos+2m2设tcos,则问题等价地转化为函数g(t)?t2mt+2m2(t )2 +2m2在0,1上的值恒为正,又转化为函数g(t)在0,1上的最小值为正当 0,即m0时,g(0)2m21与m0不符;当01时,即02时,g(m) +2m2042 4+2 ,?42 2当 1,即m2时,g(1)m11 m2综上
13、,符合题目要求的m的值存在,其取值范围是m42另法(仅限当m能够解出的情况)cos2mcos+2m20对于0, 恒成立,等价于m(2cos2)/(2cos) 对于0, 恒成立当0, 时,(2cos2)/(2cos) 42 ,m42例11. 设a为实数,记函数f(x)a 的最大值为g(a)。(1)设t ,求t的取值范围并把f(x)表示为t的函数m(t);(2)求g(a);(3)求满足g(a)g( )的所有实数a.(1)t要使t有意义,必须有1+x0且1x0,即11.t22+2 2,4,t t的取值范围是 ,2由得 x21m(t)a( t2)t at2+ta, t ,2(2)由题意知g(a)即为函
14、数m(t) at2+ta, t ,2的最大值.注意到直线t 是抛物线m(t) at2+ta的对称轴,分下列情况讨论.当a0时,函数ym(t), t ,2的图像是开口向上的抛物线的一段,由t 0知m(t)在 ,2上单调递增,g(a)m(2)a+2.当a0时,m(t)t, t ,2, g(a)2.当a0时,函数ym(t), t ,2的图像是开口向下的抛物线的一段,若有t 0, ,即a ,则g(a)m( ) .若有t ( ,2),即a ,则g(a)m( )a .若有t 0, ,即a ,则g(a)m(2)a+2.综上有g(a)(3)当a 时,g(a)a+2 ,当 时,a , ,所以 ,g(a) 2 .
15、因此当a 时,g(a) .当a0时, 0,由g(a)g( )知a+2 +2解得a1.当a0时, 1,因此a1或 1,从而g(a) 或g( ) .要使g(a)g( ),必须有a 或 ,即 此时g(a) g( ).综上知,满足g(a)g( )的所有实数a为: 或a1.【模拟试题】(一)选择题1. 设f(x)是(,+)上的奇函数,f(x+2)f(x),当01时,f(x)x,则f(7 5)等于( )A. 0.5 B. 0.5 C. 1.5 D. 1.52. 已知定义域为(1,1)的奇函数yf(x)又是减函数,且f(a3)+f(9a2)0,?则a的取值范围是( )A. (2 ,3) B. (3, ) C
16、. (2 ,4) D. (2,3)3. 若函数f(x) (x )在定义域内恒有ff(x)x,则m等于( )A. 3 B. C. D. 34. 设函数yf(x)的图象关于直线x1对称,在x1时,f(x)(x+1)21,则x1时f(x)等于( )A. f(x)(x+3)21 B . f(x)(x3)21C. f(x)(x3)2+1 D. f(x)(x1)215. 函数 的值域是 ( )A. (,1) B. 1,+ C. (0,1) D. 0,16. 的值域是 ( )A. y2 B. y2 C. yR D. y0(二)填空题7. 若f(x)为奇函数,且在(0,+)内是增函数,又f(3)0,则xf(x
17、)0的解集为_。8. 如果函数f(x)在R上为奇函数,在(1,0)上是增函数,且f(x+2)f(x),试比较f( ),f( ),f(1)的大小关系_。(三)解答题9. (1)已知f(x)是一次函数,且ff(x)4x1,求f(x)的解析式;(2)已知 ,求f(x)的解析式;10. 若函数 的定义域为R,试求实数k的取值范围。11. 求下列函数的值域12. 定义在(,4)上的减函数f(x)满足f(msinx)f( +cos2x)对任意xR都成立,求实数m的取值范围 。13. 已知函数yf(x) (a,b,cR,a0,b0)是奇函数,当x0时,f(x)有最小值2,其中bN且f(1)(2)问函数f(x
18、)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由 。14. 已知函数yf(x)是定义在R上的周期函数,周期T5,函数yf(x)(11)是奇函数,又知yf(x)在0,1上是一次函数,在1,4上是二次函数,且在x2时,函数取得最小值,最小值为5 。(1)证明 f(1)+f(4)0;(2)试求yf(x),x1,4的解析式;(3)试求yf(x)在4,9上的解析式。【试题答案】1. B 2. A 3. D 4. B 5. C 6. A7. (3,0)(0,3)8. f( )f( )f(1)9. (1) 或f(x)2x+1(2)10. 0k11. 解:(1)(,lg5)
19、 (2) , 对xR恒成立m ,3 13. 解:由f(1) 得 即 ,2b25b+20,解得 b2,又bN,b1,a1,f(x)x+ 。(2)设存在一点(x0,y0)在yf(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2x0,y0)也在yf(x)图象上,则消去y0得x022x010,x01 。yf(x)图象上存在两点(1+ ,2 ),(1 ,2 )关于(1,0)对。14. (1)证明:yf(x)是以5为周期的周期函数,f(4)f(45)f(1),又yf(x)(11)是奇函数,f(1)f(1)f(4),f(1)+f(4)0(2)解:当x1,4时,由题意,可设f(x)a(x2)25(a0),由f(1
20、)+f(4)0得a(12)25+a(42)250,解得a2,f(x)2(x2)25(14)(3)解:yf(x)(11)是奇函数,f(0)f(0),f(0)0,又yf(x) (01)是一次函数,可设f(x)kx(01),f(1)2(12)253, f(1)k1k,k3当01时,f(x)?3x,当1x0时,f(x)3x,当46时,1x51,f(x)f(x5)3(x5)3x+15,?当6x9时,宋以后,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末,学堂兴起,各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意,即主
21、管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间,特别是汉代以后,对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合,比如书院、皇室,也称教师为“院长、西席、讲席”等。1x54,f(x)f(x5)2(x5)2252(x7)25家庭是幼儿语言活动的重要环境,为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作,孩子一入园就召开家长会,给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长,要求孩子回家向家长朗诵儿歌,表演故事。我和家长共同配合,一道训练,幼儿的阅读能力提高很快。语文课本中的文章
22、都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。f(x)
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