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3.求函数值域(最值)的一般方法:

(1)利用基本初等函数的值域;

(2)配方法(二次函数或可转化为二次函数的函数);

(3)不等式法(利用基本不等式,尤其注意形如型的函数)

(4)函数的单调性:

特别关注的图象及性质

(5)部分分式法、判别式法(分式函数)

(6)换元法(无理函数)

(7)导数法(高次函数)

(8)反函数法

(9)数形结合法

4.求函数的单调性

(1)定义法:

(2)导数法:

(3)利用复合函数的单调性:

(4)关于函数单调性还有以下一些常见结论:

①两个增(减)函数的和为_____;

一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是______;

②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性;

偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性;

③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性;

(5)求函数单调区间的常用方法:

定义法、图象法、复合函数法、导数法等

(6)应用:

比较大小,证明不等式,解不等式。

5.函数的奇偶性

奇偶性:

定义:

注意区间是否关于原点对称,比较f(x)与f(-x)的关系。

f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数;

f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数。

判别方法:

定义法,图象法,复合函数法

应用:

把函数值进行转化求解。

6.周期性:

若函数f(x)对定义域内的任意x满足:

f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。

其他:

f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期.

求函数值和某个区间上的函数解析式。

二、典型例题分析

例1.若集合A={a1,a2,a3},B={b1,b2}求从集合A到集合B的映射的个数。

分析:

解决这类问题,关键是要掌握映射的概念:

设A、B是两个集合,对于集合A中的任何一个元素,按照某种对应法则f,若集合B中都有唯一确定的元素和它对应,这时对应法则f叫做从集合A到集合B的映射。

这里要掌握关键的两个词“任何”、“唯一”。

对于本例,集合A={a1,a2,a3}中的每一个元素的象都有b1或b2这两种情形,由乘法原理可知,A到B的映射的个数共有N=222=8个。

例2.线段|BC|=4,BC的中点为M,点A与B、C两点的距离之和为6,设|AM|=y,|AB|=x,求y=f(x)的函数表达式及这函数的定义域。

解:

1若A、B、C三点不共线,如图所示,由余弦定理可知,

x2=22+y2-4ycosAMB①

(6-x)2=22+y2-4ycos(180-AMB)②

①+②x2+(6-x)2=2y2+8y2=x2-6x+14

又x2-6x+14=(x-3)2+5恒正,

又三点A、B、C能构成三角形

1<x<5

2若三点A、B、C共线,由题意可知,

x+4=6-x,x=1或4+6-x=xx=5

综上所述:

说明:

第一,首先要分析三点A、B、C是否在同一条直线上,因为由题意,A、B、C不一定能构成三角形,它们也可在同一条直线上,所以要分两种情形来讨论。

第二,实际问题在求解析式时要特别注意函数的定义域。

例3.设f(x)为定义在R上的偶函数,当x-1时,y=f(x)的图象是经过点(-2,0),斜率为1的射线,又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0,2),且过点(-1,1)的一段抛物线,试写出函数f(x)的表达式,并在图中作出其图象。

(1)当x-1时,设f(x)=x+b

∵射线过点(-2,0)0=-2+b即b=2,f(x)=x+2

(2)当-11时,设f(x)=ax2+2

∵抛物线过点(-1,1),1=a(-1)2+2,即a=-1

f(x)=-x2+2

(3)当x1时,f(x)=-x+2

综上可知:

f(x)=作图由读者来完成。

例4.求下列函数的定义域

(1)

(2)

(1)

x4或x-1且x-3,即函数的定义域为(-,-3)(-3,-1)[4,+]

(2),则

0x2-3x-108,即

-3x<-2或5<x6即定义域为[-3,-2](5,6)

求函数的定义域,我们常常可以从以下三个方面来考虑:

若有分母则分母不为零、若有偶次根式则被开方数大于或等于零、若有对数式,则真数大于零、底数大于零且不等于1。

求函数的定义域,实质上就是求由以上不等式组成的不等式组的解集。

变、已知函数f(x)的定义域为[-1,4],求的定义域。

,则

又,或

则或即为所求函数的定义域。

此题实质上是求复合函数的定义域,我们把看成是由y=f(u)、两个函数复合而成的,因为-1u<4,则,从而求出x的范围,另外,对不等式进行倒数运算时,应注意不等式两边必须同号,取倒数后不等号的方向改变,这里也是学习时常常容易发生错误的地方,应加以重视。

例5.若对于任何实数x,不等式:

恒成立,求实数a的取值范围。

令f(x)=|x-1|+2|x-2|,去绝对值把f(x)表示成分段函数后为

5-3xx<1

f(x)=3-xx2

3x-5x>2

作出y=f(x)的图象如图,由此可知f(x)的最小值为1,f(x)>a对一切实数x恒成立,则a<1。

该题看上去是一个不等式的问题,若用去绝对值分类讨论的方法来求解则比较繁锁,而如果注意到不等式左边是一个关于x的函数,只要利用数形结合的思想求出此函数的最小值就很快解决了问题,这种解题思想应引起我们的注意。

另外,对于函数f(x)=|x-1|+2|x-2|只要把它写成分段函数的形式,作出函数的图象,则该函数的所有性质,包括函数的单调区间,值域等一切问题都可以迎刃而解了。

例6.求函数的值域。

令,则13-4x=t2

该二次函数的对称轴为t=1,又t0由二次函数的性质可知y4,当且仅当t=1即x=3时等式成立,原函数的值域为(-,4)。

对于所有形如的函数,求值域时我们可以用换元法令

转化为关于t的二次函数在区间[0,+)上的最值来处理。

这里要注意t0的范围不能少。

如:

已知f(x)的值域为,试求函数的值域。

该题我们只需要把f(x)看成是一个变量,则求值域时仍可用上述换元法,但是如果被开方数不是关于x的一次式,而含x的平方项,则就不能用上述换元法了。

如求函数的值域,若令,则x无法用t来表示。

这里我们如果注意到x的取值范围:

-22,则-11的话,我们就可以用三角换元:

令[0,],问题也就转化为三角函数求最值了。

同样我们作三角换元时,要注意的限制条件,因为当取遍0到之间的每一个值时,恰好可以取遍-1到1之间的每一个值,若不限制的范围,则根号无法直接去掉,就会给我们解题增添麻烦。

例7.求下列函数的最值。

(1)先求出函数的定义域:

-27,又在区间[-2,7]上函数单调递增,单调递增,所以在定义域内也单调递增。

当x=-2时,;

当x=7时,

(2)∵0y2=x2(1-x2)由基本不等式可知:

y2=x2(1-x2),又y,。

对于一些比较复杂的函数,求值域或最值时,如果我们能利用函数的单调性、奇偶性或运用基本不等式,问题往往会很快得到解决。

在运用基本不等式求最值时,要注意“一正二定三相等”的条件,特别是要注意等号能否成立。

例8.设a>0,x[-1,1]时函数y=-x2-ax+b有最小值-1,最大值1,求使函数取得最小值和最大值时相应的x的值。

∵a>0,<0,又定义域为[-1,1]

x=1时,即-1-a+b=-1a-b=0

下面分a的情形来讨论:

1当0>-1即0<a2时,

当时,即,则

a2+4a-4=0,

又a(0,2),则

2当<-1,即a>2时,当x=-1时

-1+a+b=1,a+b=2又a=ba=1与a>2矛盾,舍去

x=1时,,时。

例9.已知函数y=f(x)=(a,b,cR,a0,b0)是奇函数,当x0时,f(x)有最小值2,其中bN且f

(1)

(1)试求函数f(x)的解析式;

(2)问函数f(x)的图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;

若不存在,说明理由

(1)∵f(x)是奇函数,

f(-x)=-f(x),即

c=0,∵a0,b0,x0,f(x)=2,

当且仅当x=时等号成立,于是2=2,a=b2,

由f

(1)<得<即<,2b2-5b+2<0,解得<b<2,又bN,b=1,a=1,f(x)=x+

(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x0,-y0)也在y=f(x)的图象上,则

消去y0得x02-2x0-1=0,x0=1

y=f(x)的图象上存在两点(1+,2),(1-,-2)关于(1,0)对称

例10.已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+)上是增函数,是否存在实数m,使f(cos2-3)+f(4m-2mcos)f(0)对所有[0,]都成立?

若存在,求出符合条件的所有实数m的范围,若不存在,说明理由

∵f(x)是R上的奇函数,且在[0,+)上是增函数,f(x)是R上的增函数于是不等式可等价地转化为f(cos2-3)f(2mcos-4m),

即cos2-32mcos-4m,即cos2-mcos+2m-2

设t=cos,则问题等价地转化为函数

g(t)?

=t2-mt+2m-2=(t-)2-+2m-2在[0,1]上的值恒为正,又转化为函数g(t)在[0,1]上的最小值为正

当0,即m0时,g(0)=2m-21与m0不符;

当01时,即02时,g(m)=-+2m-20

4-24+2,?

4-22

当1,即m2时,g

(1)=m-11m2

综上,符合题目要求的m的值存在,其取值范围是m4-2

另法(仅限当m能够解出的情况)cos2-mcos+2m-20对于[0,]恒成立,

等价于m(2-cos2)/(2-cos)对于[0,]恒成立

∵当[0,]时,(2-cos2)/(2-cos)4-2,

m4-2

例11.设a为实数,记函数f(x)=a的最大值为g(a)。

(1)设t=,求t的取值范围并把f(x)表示为t的函数m(t);

(2)求g(a);

(3)求满足g(a)=g()的所有实数a.

(1)∵t=

要使t有意义,必须有1+x0且1-x0,即-11.

∵t2=2+2[2,4],t……①

t的取值范围是[,2]由①得=x2-1

m(t)=a(t2-1)+t=at2+t-a,t[,2]

(2)由题意知g(a)即为函数m(t)=at2+t-a,t[,2]的最大值.

注意到直线t=-是抛物线m(t)=at2+t-a的对称轴,分下列情况讨论.

当a0时,函数y=m(t),t[,2]的图像是开口向上的抛物线的一段,由t=-0知m(t)在[,2]上单调递增,

g(a)=m

(2)=a+2.

当a=0时,m(t)=t,t[,2],g(a)=2.

当a0时,函数y=m(t),t[,2]的图像是开口向下的抛物线的一段,

若有t=-[0,],即a-,则g(a)=m()=.

若有t=-(,2),即a,则g(a)=m(-)=-a-.

若有t=-[0,],即a,则g(a)=m

(2)=a+2.

综上有g(a)=

(3)当a-时,g(a)=a+2,

当时,-a,,所以,

g(a)=2=.因此当a-时,g(a).

当a0时,0,由g(a)=g()知a+2=+2解得a=1.

当a0时,=1,因此a-1或-1,从而g(a)=或g()=.

要使g(a)=g(),必须有a-或-,即--

此时g(a)==g().

综上知,满足g(a)=g()的所有实数a为:

--或a=1.

【模拟试题】

(一)选择题

1.设f(x)是(-,+)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当01时,f(x)=x,则f(75)等于()

A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5

2.已知定义域为(-1,1)的奇函数y=f(x)又是减函数,且f(a-3)+f(9-a2)0,?

则a的取值范围是()

A.(2,3)B.(3,)C.(2,4)D.(-2,3)

3.若函数f(x)=(x)在定义域内恒有f[f(x)]=x,则m等于()

A.-3B.C.-D.3

4.设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,在x1时,f(x)=(x+1)2-1,则x1时f(x)等于()

A.f(x)=(x+3)2-1B.f(x)=(x-3)2-1

C.f(x)=(x-3)2+1D.f(x)=(x-1)2-1

5.函数的值域是()

A.(-,1)B.[1,+]C.(0,1)D.[0,1]

6.的值域是()

A.y-2B.y-2C.yRD.y0

(二)填空题

7.若f(x)为奇函数,且在(0,+)内是增函数,又f(-3)=0,则xf(x)0的解集为_________。

8.如果函数f(x)在R上为奇函数,在(-1,0)上是增函数,且f(x+2)=-f(x),试比较f(),f(),f

(1)的大小关系_________。

(三)解答题

9.

(1)已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式;

(2)已知,求f(x)的解析式;

10.若函数的定义域为R,试求实数k的取值范围。

11.求下列函数的值域

12.定义在(-,4)上的减函数f(x)满足f(m-sinx)f(-+cos2x)对任意xR都成立,求实数m的取值范围。

13.已知函数y=f(x)=(a,b,cR,a0,b0)是奇函数,当x0时,f(x)有最小值2,其中bN且f

(1)

(2)问函数f(x)图象上是否存在关于点(1,0)对称的两点,若存在,求出点的坐标;

若不存在,说明理由。

14.已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期T=5,函数y=f(x)(-11)是奇函数,又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时,函数取得最小值,最小值为-5。

(1)证明f

(1)+f(4)=0;

(2)试求y=f(x),x[1,4]的解析式;

(3)试求y=f(x)在[4,9]上的解析式。

【试题答案】

1.B2.A3.D4.B5.C6.A

7.(-3,0)(0,3)

8.f()<f()<f

(1)

9.

(1)或f(x)=-2x+1

(2)

10.0k<

11.解:

(1)(-,lg5)

(2)[,]

对xR恒成立

m[,3]{}

13.解:

由f

(1)<得<即<,2b2-5b+2<0,解得<b<2,又bN,b=1,a=1,f(x)=x+。

(2)设存在一点(x0,y0)在y=f(x)的图象上,并且关于(1,0)的对称点(2-x0,-y0)也在y=f(x)图象上,则

消去y0得x02-2x0-1=0,x0=1。

y=f(x)图象上存在两点(1+,2),(1-,-2)关于(1,0)对。

14.

(1)证明:

∵y=f(x)是以5为周期的周期函数,

f(4)=f(4-5)=f(-1),

又y=f(x)(-11)是奇函数,f

(1)=-f(-1)=-f(4),f

(1)+f(4)=0

(2)解:

当x[1,4]时,由题意,可设

f(x)=a(x-2)2-5(a0),由f

(1)+f(4)=0

得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0,

解得a=2,f(x)=2(x-2)2-5(14)

(3)解:

∵y=f(x)(-11)是奇函数,

f(0)=-f(-0),f(0)=0,

又y=f(x)(01)是一次函数,

可设f(x)=kx(01),

∵f

(1)=2(1-2)2-5=-3,f

(1)=k1=k,k=-3

当01时,f(x)?

=-3x,

当-1x<0时,f(x)=-3x,

当46时,-1x-51,f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15,?

当6<x9时,

宋以后,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末,学堂兴起,各科教师仍沿用“教习”一称。

其实“教谕”在明清时还有学官一意,即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。

于民间,特别是汉代以后,对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

在一些特定的讲学场合,比如书院、皇室,也称教师为“院长、西席、讲席”等。

1<x-54,f(x)=f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5

家庭是幼儿语言活动的重要环境,为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作,孩子一入园就召开家长会,给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长,要求孩子回家向家长朗诵儿歌,表演故事。

我和家长共同配合,一道训练,幼儿的阅读能力提高很快。

语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。

如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。

现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。

结果教师费劲,学生头疼。

分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。

造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。

常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。

久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。

f(x)=

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