江苏专用版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 31 导数的概念及运算 理doc.docx

1、江苏专用版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 31 导数的概念及运算 理doc（江苏专用）2019版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理1导数与导函数的概念(1)设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数(derivative)，记作f(x0)(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f(x)2导数的几何意义函数yf

2、(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)C(C为常数)f(x)0f(x)x(为常数)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数

3、若yf(u)，uaxb，则yxyuux，即yxyua.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x()1(教材改编)f(x)是函数f(x)x32x1的导函数，则f(1)的值为_答案3解析f(x)x32x1，f(x)x22.f(1)3.2如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是_

4、答案解析由yf(x)的图象知yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，由图知不符合，符合，故正确3设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)f()sin xcos x，则f()_.答案解析因为f(x)f()sin xcos x，所以f(x)f()cos xsin x，所以f()f()cossin，即f()1，所以f(x)sin xcos x.f(x)cos xsin x.故f()cossin.4已知点P在曲线y上，为曲线在点P处

5、的切线的倾斜角，则的取值范围是_答案解析y，y.ex0，ex2，当且仅当ex1，即x0时，“”成立y1,0)，tan 1,0)又0，)，.5(2015陕西)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_答案(1,1)解析yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y(x0)的导数为y (x0)，曲线y (x0)在点P处的切线斜率k2 (m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1). 题型一导数的运算例1求下列函数的导数：(1)y(3x24x)(2x1)；(2)yx2sin x；(3)y3xe

6、x2xe；(4)y；(5)yln(2x5)解(1)y(3x24x)(2x1)6x33x28x24x6x35x24x，y18x210x4.(2)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(3)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3xexln 33xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(4)y.(5)令u2x5，yln u，则y(ln u)u2，即y.思维升华(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则

7、，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0_.(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)_.答案(1)1(2)2解析(1)f(x)2 016ln xx2 017ln x，故由f(x0)2 017得2 017ln x02 017，则ln x00，解得x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数，且f(1)2，f(1)2.题型二导数的几何意义命题点1已知切点的切线方程问题例2(1)函数f(x)的图象在点(1，2)处的切线方程为_(2)曲线ye2x1在点(0,2)处

8、的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_答案(1)xy30(2)解析(1)f(x)，则f(1)1，故该切线方程为y(2)x1，即xy30.(2)y2e2x，曲线在点(0,2)处的切线斜率k2，切线方程为y2x2，该直线与直线y0和yx围成的三角形如图所示，其中直线y2x2与yx的交点为A(，)，三角形的面积S1.命题点2未知切点的切线方程问题例3(1)与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程是_(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_答案(1)2xy10(2)xy10解析(1)对yx2求导得y2x.设切点坐标为(x0，x)，

9、则切线斜率为k2x0.由2x02得x01，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.命题点3和切线有关的参数问题例4已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m_.答案2解析f(x)，直线l的斜率为kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1

10、，y0x01，y0xmx0，m0，于是解得m2.命题点4导数与函数图象的关系例5如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数Sf(x)的图象为下图中的_(填序号)答案解析函数的定义域为0，)，当x0,2时，在单位长度变化量x内面积变化量S大于0且越来越大，即斜率f(x)在0,2内大于0且越来越大，因此，函数Sf(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x(2,3)时，在单位长度变化量x内面积变化量S大于0且越来越小，即斜率f(x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数Sf(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x3

11、，)时，在单位长度变化量x内面积变化量S为0，即斜率f(x)在3，)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢(1)已知函数f(x)3xcos 2xsin 2x，af()，f(x)是

12、f(x)的导函数，则过曲线yx3上一点P(a，b)的切线方程为_(2)若直线y2xm是曲线yxln x的切线，则实数m的值为_答案(1)3xy20或3x4y10(2)e解析(1)由f(x)3xcos 2xsin 2x得f(x)32sin 2x2cos 2x，则af()32sin 2cos 1.由yx3得y3x2，当P点为切点时，切线的斜率k3a23123.又ba3，则b1，所以切点P的坐标为(1,1)故过曲线yx3上的点P的切线方程为y13(x1)，即3xy20.当P点不是切点时，设切点为(x0，x)，切线方程为yx3x(xx0)，P(a，b)在曲线yx3上，且a1，b1.1x3x(1x0)，2x3x10，2x2xx10，(x01)2(2x01)0，切点为，此时的切线方程为y，综上，满足题意的切线方程为3xy20或3x4y10.(2)设切点为(x0，x0ln x0)，由y(xln x)ln xxln x1，得切线的斜率kln x01，故切线方程为yx0ln x0(ln x01)(xx0)，整理得y(ln x01)xx0，与y2xm比较得解得x0e，故me.4求曲线的切线方程条件审视不准致误典例(14分)若存在过点O(0