江苏专用版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 31 导数的概念及运算 理doc.docx

江苏专用版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 31 导数的概念及运算 理doc.docx

《江苏专用版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 31 导数的概念及运算 理doc.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏专用版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 31 导数的概念及运算 理doc.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

江苏专用版高考数学一轮复习第三章导数及其应用31导数的概念及运算理doc

（江苏专用）2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算理

1．导数与导函数的概念

（1）设函数y＝f（x）在区间（a，b）上有定义，x0∈（a，b），若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f（x）在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f（x）在x＝x0处的导数（derivative），记作f′（x0）．

（2）若f（x）对于区间（a，b）内任一点都可导，则f（x）在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f（x）的导函数，记作f′（x）．

2．导数的几何意义

函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率k，即k＝f′（x0）．

3．基本初等函数的导数公式

基本初等函数

导函数

f（x）＝C（C为常数）

f′（x）＝0

f（x）＝xα（α为常数）

f′（x）＝αxα－1

f（x）＝sinx

f′（x）＝cos_x

f（x）＝cosx

f′（x）＝－sin_x

f（x）＝ex

f′（x）＝ex

f（x）＝ax（a>0，a≠1）

f′（x）＝axln_a

f（x）＝lnx

f′（x）＝

f（x）＝logax（a>0，a≠1）

f′（x）＝

4.导数的运算法则

若f′（x），g′（x）存在，则有

（1）[f（x）±g（x）]′＝f′（x）±g′（x）；

（2）[f（x）·g（x）]′＝f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）；

（3）[]′＝（g（x）≠0）．

5．复合函数的导数

若y＝f（u），u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）f′（x0）与（f（x0））′表示的意义相同．（　×　）

（2）求f′（x0）时，可先求f（x0）再求f′（x0）．（　×　）

（3）曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．（　√　）

（4）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．（　×　）

（5）函数f（x）＝sin（－x）的导数是f′（x）＝cosx．（　×　）

1．（教材改编）f′（x）是函数f（x）＝x3＋2x＋1的导函数，则f′（－1）的值为________．

答案　3

解析　∵f（x）＝x3＋2x＋1，∴f′（x）＝x2＋2.

∴f′（－1）＝3.

2．如图所示为函数y＝f（x），y＝g（x）的导函数的图象，那么y＝f（x），y＝g（x）的图象可能是________．

答案　④

解析　由y＝f′（x）的图象知y＝f′（x）在（0，＋∞）上单调递减，说明函数y＝f（x）的切线的斜率在（0，＋∞）上也单调递减，故可排除①③.又由图象知y＝f′（x）与y＝g′（x）的图象在x＝x0处相交，说明y＝f（x）与y＝g（x）的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，由图知②不符合，④符合，故④正确．

3．设函数f（x）的导数为f′（x），且f（x）＝f′（）sinx＋cosx，则f′（）＝________.

答案　－

解析　因为f（x）＝f′（）sinx＋cosx，

所以f′（x）＝f′（）cosx－sinx，

所以f′（）＝f′（）cos－sin，

即f′（）＝－1，所以f（x）＝－sinx＋cosx.

f′（x）＝－cosx－sinx.

故f′（）＝－cos－sin＝－.

4．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________．

答案　

解析　∵y＝，

∴y′＝＝＝.

∵ex>0，∴ex＋≥2，当且仅当ex＝＝1，

即x＝0时，“＝”成立．∴y′∈[－1,0），

∴tanα∈[－1,0）．又α∈[0，π），

∴α∈.

5．（2015·陕西）设曲线y＝ex在点（0,1）处的切线与曲线y＝（x＞0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．

答案　（1,1）

解析　y′＝ex，曲线y＝ex在点（0,1）处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P（m，n），y＝（x>0）的导数为y′＝－（x>0），曲线y＝（x>0）在点P处的切线斜率k2＝－（m>0），因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为（1,1）.

题型一　导数的运算

例1　求下列函数的导数：

（1）y＝（3x2－4x）（2x＋1）；

（2）y＝x2sinx；

（3）y＝3xex－2x＋e；

（4）y＝；

（5）y＝ln（2x－5）．

解　

（1）∵y＝（3x2－4x）（2x＋1）

＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，

∴y′＝18x2－10x－4.

（2）y′＝（x2）′sinx＋x2（sinx）′＝2xsinx＋x2cosx.

（3）y′＝（3xex）′－（2x）′＋e′

＝（3x）′ex＋3x（ex）′－（2x）′

＝3xexln3＋3xex－2xln2

＝（ln3＋1）·（3e）x－2xln2.

（4）y′＝

＝

＝.

（5）令u＝2x－5，y＝lnu，

则y′＝（lnu）′u′＝·2＝，

即y′＝.

思维升华　

（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．

（2）复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．

（1）f（x）＝x（2016＋lnx），若f′（x0）＝2017，则x0＝________.

（2）若函数f（x）＝ax4＋bx2＋c满足f′

（1）＝2，则f′（－1）＝________.

答案　

（1）1　

（2）－2

解析　

（1）f′（x）＝2016＋lnx＋x×＝2017＋lnx，故由f′（x0）＝2017得2017＋lnx0＝2017，则lnx0＝0，解得x0＝1.

（2）f′（x）＝4ax3＋2bx，

∵f′（x）为奇函数，且f′

（1）＝2，

∴f′（－1）＝－2.

题型二　导数的几何意义

命题点1　已知切点的切线方程问题

例2　

（1）函数f（x）＝的图象在点（1，－2）处的切线方程为__________．

（2）曲线y＝e－2x＋1在点（0,2）处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．

答案　

（1）x－y－3＝0　

（2）

解析　

（1）f′（x）＝，则f′

（1）＝1，

故该切线方程为y－（－2）＝x－1，即x－y－3＝0.

（2）∵y′＝－2e－2x，曲线在点（0,2）处的切线斜率k＝－2，

∴切线方程为y＝－2x＋2，该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如图所示，

其中直线y＝－2x＋2与y＝x的交点为A（，），

∴三角形的面积S＝×1×＝.

命题点2　未知切点的切线方程问题

例3　

（1）与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是__________．

（2）已知函数f（x）＝xlnx，若直线l过点（0，－1），并且与曲线y＝f（x）相切，则直线l的方程为____________．

答案　

（1）2x－y－1＝0　

（2）x－y－1＝0

解析　

（1）对y＝x2求导得y′＝2x.设切点坐标为（x0，x），则切线斜率为k＝2x0.

由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.

（2）∵点（0，－1）不在曲线f（x）＝xlnx上，

∴设切点为（x0，y0）．

又∵f′（x）＝1＋lnx，∴

解得x0＝1，y0＝0.

∴切点为（1,0），∴f′

（1）＝1＋ln1＝1.

∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.

命题点3　和切线有关的参数问题

例4　已知f（x）＝lnx，g（x）＝x2＋mx＋（m<0），直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与f（x）图象的切点为（1，f

（1）），则m＝________.

答案　－2

解析　∵f′（x）＝，

∴直线l的斜率为k＝f′

（1）＝1.

又f

（1）＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.

g′（x）＝x＋m，

设直线l与g（x）的图象的切点为（x0，y0），

则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，

于是解得m＝－2.

命题点4　导数与函数图象的关系

例5　如图，点A（2,1），B（3,0），E（x,0）（x≥0），过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f（x）的图象为下图中的________（填序号）．

答案　④

解析　函数的定义域为[0，＋∞），当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越大，即斜率f′（x）在[0,2]内大于0且越来越大，因此，函数S＝f（x）的图象是上升的，且图象是下凸的；

当x∈（2,3）时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS大于0且越来越小，即斜率f′（x）在（2,3）内大于0且越来越小，因此，函数S＝f（x）的图象是上升的，且图象是上凸的；

当x∈[3，＋∞）时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′（x）在[3，＋∞）内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．

思维升华　导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：

（1）已知切点A（x0，f（x0））求斜率k，即求该点处的导数值：

k＝f′（x0）．

（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k.

（3）若求过点P（x0，y0）的切线方程，可设切点为（x1，y1），由求解即可．

（4）函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．

（1）已知函数f（x）＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′（），f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程为__________________．

（2）若直线y＝2x＋m是曲线y＝xlnx的切线，则实数m的值为________．

答案　

（1）3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0　

（2）－e

解析　

（1）由f（x）＝3x＋cos2x＋sin2x

得f′（x）＝3－2sin2x＋2cos2x，

则a＝f′（）＝3－2sin＋2cos＝1.

由y＝x3得y′＝3x2，

当P点为切点时，切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3.

又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为（1,1）．

故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3（x－1），

即3x－y－2＝0.

当P点不是切点时，设切点为（x0，x），

∴切线方程为y－x＝3x（x－x0），

∵P（a，b）在曲线y＝x3上，且a＝1，∴b＝1.

∴1－x＝3x（1－x0），

∴2x－3x＋1＝0，

∴2x－2x－x＋1＝0，

∴（x0－1）2（2x0＋1）＝0，

∴切点为，

∴此时的切线方程为y＋＝，

综上，满足题意的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.

（2）设切点为（x0，x0lnx0），

由y′＝（xlnx）′＝lnx＋x·＝lnx＋1，

得切线的斜率k＝lnx0＋1，

故切线方程为y－x0lnx0＝（lnx0＋1）（x－x0），

整理得y＝（lnx0＋1）x－x0，与y＝2x＋m比较得

解得x0＝e，故m＝－e.

4．求曲线的切线方程条件审视不准致误

典例　（14分）若存在过点O（0