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1、3x相切的直线方程。答案:x3 3x 相切的直线有三条。2. 若直线 e1 2 x y e21 o与曲线y 1 aex相切，求a的值.答案： 1 ）题型 3 求两个曲线 yf （x） 、 y g（x） 的公切线。设曲线 y f （x）、y g（x）的切点分别为（x1 , f （x-i） o （ x2, f （x2）；建立 Xi,X2 的等式关系，（X2 Xi）f（Xi） y yi, （X2 Xi）f（X2） y yi;求出 ,进而求出切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。例 求曲线y X2与曲线y 2elnx的公切线方程。（答案2.、ex y e 0）练习1.求曲线y

2、x2与曲线y （x 1）2的公切线方程。（答案2x y 1 0或y 0）1 22设函数f（x） p（x ） 2lnx, g（x） X2，直线l与函数f（x）,g（x）的图象都相切，且与函数 xf（x）的图象相切于（1,0 ）,求实数p的值。（答案p 1或3）2. 单调性问题题型1 求函数的单调区间。求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有： （1）在求极值点的过程中，未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到 二次方程问题时，与 0的关系不定）；（3）在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；（4）在求极值点的过程中

3、，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准 出发，做到不重复，不遗漏。例已知函数 f （x） alnx - x2 （a 1）x2（1） 求函数f （x）的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）（2） 若x 2,e，求函数f （x）的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类）1练习 已知函数f （x） exx （k 1）ex - x2 kx 1，若x 1,2 ,求函数f （x）的单调区间。（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）题型2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。方法1：研究导函数讨论。方法2：转化为f（x） 0或f （x） 0在给定区间上恒成立问题，方

4、法3 :利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增 或减区间的子集。“函数f（x）在m,n上是减函数”与“函数 f（x）的单调减区间是 a,b ”的区别是前者是 后者的子集。例 已知函数f（x） x2 al nx + ?在1, 上是单调函数，求实数 a的取值范围.x（答案0,）练习 已知函数f（x） 1x3 （k 1）x2，且f（x）在区间（2,）上为增函数3 2k 1 ,3）题型3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。正难则反，研究在某区间的不单调 方法2:研究导函数是零点问题，再检验。方法3:直接研究不单调，分情况讨论。例 设函数f（x） x

5、3 ax2 x 1， a R在区间 ,1内不单调，求实数a 2, , 3 ）3. 求实数k的取值范围。a的取值范围。极值、最值问题。题型1求函数极值、最值。基本思路：定义域 T疑似极值点 T单调区间 T极值 T最值。已知函数 f（x） exx （k 1）ex - x2 kx 1，求在 x 2（利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类）1,2的极小值。练习 已知函数f （x） x3 mx2 nx 2的图象过点（1, 6），且函数g（x） f （x） 6x的图象关于 y轴对称.若a 0,求函数y f （x）在区间（a 1,a 1）内的极值.当0 a 1时，f（x）有极大值 2，无极小值；当1

6、 a 3时，f（x）有极小值 6，无 极大值；当a 1或a 3时，f （x）无极值.）题型2 已知函数极值，求系数值或范围。1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。 方法2.转化为函数单调性问题。1 1例函数 f（x） X4 -（14 31）3 1 2p）x px p（1 p）x 1。0 是函数f （x）的极值点。求实数 p值。练习已知函数f （x）ax x In x,a R.若函数f （x）存在极值，且所有极值之和大5 In 1，求a的取值范围。4, ）题型3已知最值，求系数值或范围。1.求直接求最值；2.转化恒成立，求出范围，再检验。例 设a R，函数f（x） ax3 3

7、x2 .若函数g（x） f（x） f （x）, x 0,2，在x 0处取得最大4. 不等式恒成立（或存在性）问题。一些方法1. 若函数f （x）值域m,n , a f （x）恒成立，则a n2. 对任意 xi m,n ,x2 m,n , f（Xi） g（X2）恒成立。则 f（xjmin g（X2）max3. 对 xi m,n, x2 m,n , f（Xi） g（X2）成立。则 f（Xi）max 9&2几山。4. 对 xi m,n,，恒成立 f （xi） g（xi）。转化 f （xi） g（xi） 0 恒成立4.对 xi m, n, x2 m,n , f （Xi） g（X2）成立。则 f （Xi

8、）min g&2 ）min。5对 X1 m,n, x2 m,n , f（Xi） g（X2）成立。则 f（Xi）max g（ X2 ）max6.对 x1 m,n ,x2 m, n , 一f （X2）a 成立。则构造函数 t（x） f （x） ax。转化证明 t（x）Xi X2在m,n是增函数。题型1已知不等式恒成立，求系数范围。 方法：（1）分离法：求最值时，可能用罗比达法则；研究单调性时，或多次求导。（2） 讨论法：有的需构造函数。 关键确定讨论标准。 分类的方法：在求极值点的过程中， 未知数的系数与0的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，与0 的关系不定）；极值

9、点的大小关系不定而而引起的分类；极值点与区间的关系不定而引起分类。分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。（3） 数形结合：（4） 变更主元解题思路 1代特值缩小范围。2.化简不等式。3.选方法（用讨论法时，或构造新函数） 。方法一：分离法。例 函数f（x） eX（x2 in x） a。在x 1,e f （x） e恒成立，求实数 a取值范围。（方法：分离 法，多次求导答案： 0, ）练习设函数f（x） 用罗比达法则答案：x（eX 1） ax2，若当x 0时f （x） 0,求a的取值范围。 分离法, ,1 ）方法二：讨论法。关键确定讨论标准。分类的方法：在求极值点的过程中，未知数的系数与 0

10、的关系不定而引起的分类；有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，与 0的关系不定）；极值点的大小关系不定而而引起的分类；分类必须从同一标准出发， 做到不重复，不遗漏。例 设函数f（x）= ex 1 x ax2.若当x0时f（x） 0,求a的取值范围.a的取值范围为 ，丄）练习1.设函数f （x） 1 e xx 0 时，f（x），求实数a的取值范围ax 1（答案:2.函数if （x） aln x ，当 a0.对 x 0, ax（2ln x） 1，求实数a取值范围。（多种方法求解。0,e方法三：变更主元 例：设函数y0恒成立，则称函数y f （x）在区间3 o 2mx 3xf （x）在区间D上

11、的导数为f（X），上，g（x） x4 f （x）f （x）在区间D上的导数为g（x），若在区间D D上为“凸函数”，已知实数m是常数，数”，求b，若对满足 m 2的任何一个实数 m，函数f （x）在区间a,b上都为“凸函6 2a的最大值. （答案：2）练习 设函数f （x） xlnx。证明：当a 3时，对任意x 0, f（a x） f（a） ex成立。5. 函数零点问题题型1 ：判断函数零点的个数。方程法；函数图象法；转化法；存在性定理一 1 3例设a R, f （x） x ax （1 a）ln x .若函数y f （x）有零点，求a的取值范围.一 1当a 1时，f（1） 0 , f （- 3

12、a） 0，所以成立，答案 ， ）练习求过点（1,0）作函数y x In x图象的切线的个数。两条）题型2:已知函数零点，求系数。图象法（研究函数图象与x轴交点的个数）；转化法（由函数转化方程，再转化 函数，研究函数的单调性。）3 1 例函数f（x） In x x 1 a（x 1）在（1,3）有极值，求实数 a的取值范围。（答案 ,18练习：1证明：函数f（x） In x的图象与函数g（x） x 的图象无公共点。ex ex6. 不等式证明问题构造函数，研究单调性，最值，得出不等关系，有的涉及不等式放缩。方法2 :方法2.研究两个函数的最值。如证 f（x） g（x），需证f （x）的最小值大于g（x）的最大值即可。讨论法例：已知函数f（x）旦皿 b，曲线y f（x）在点（1,f（1）处的切线方程为x 2y 3 0。证明:x 1 x构造函数，不等式放缩例.已知函数f（x） In x mx （m R）（I）;若m=0 A（a,f（a） 、B（b , f（b）是函数f（x）图象上不同的两点.且ab0, f （x）为f（x）的导函数，求证：f （? b）丄回型 f （b）2 a b2 2 2 2 1 1 1（II）求证： . ln（n 1） 1 . （n N*）3 5 7 2n 1 2 3 n1） 求过点（ 1， -3）与曲线 y x32） 证明：过点（ -2,5 ）与曲线 y