大一下高数下册知识点Word文档格式.docx

1、绕z轴旋转一周：f（ X y , z） 03、 柱面：的柱面F（x, y）F （x, y） 0表示母线平行于z轴，准线为z 04、 二次曲面1）椭圆锥面：亍a2yz2x2）椭球面：2 y b22 x 旋转椭球面：z-2c2 x3）单叶双曲面：2 a4）双叶双曲面：5）椭圆抛物面：b2x26）双曲抛物面（马鞍面）-17）椭圆柱面：18）双曲柱面：9）抛物柱面：ay（四）空间曲线及其方程般方程:F（x,y,z） 0G（x,y,z） 0x（t）a cos t2、参数方程：y（t），如螺旋线：a sin tz（t）bt3、空间曲线在坐标面上的投影F （x, y, z） 0 H （x, y） 0，消去z

2、，得到曲线在面xoy上的投影G（x,y,z） 0 z 0（5）平面及其方程（6）A（x x。）B（y y。）C （z z。）截距式方程：A, A2 B1B2 C1C2iA2 b2 C24、点 P（x。，y, z）到平面 AxByCz D 0的距离:Ax。By。Cz。D ,A2 B2 C（7）空间直线及其方程A1 x B1 y C1zDi一般式方程：A2x B2 yC2zd2X。yo z Zo2、对称式（点向式）万程：mnP方向向量：s（m,n,p），过点（X。,yo, Zo）x0 mt参数式方程：yo ntZo pt4、两直线的夹角：Si（5,6,Pi）,S2（m2,n2, P2）Imgng

3、P1P2cos/ 2 2 佃 niPiJm； n；2 2P2Lim1 m2 n1 n2 p1 p2 0L1 / L2mL ni jpi_m2 n2 p25、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角,einAmBn CpJA2 B2 C2 . m2 n2 p2L/BnCp oABCL第九章多元函数微分法及其应用（一）基本概念1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域,闭区域，有界集，无界集。2、多元函数：（1）定义：设n维空间内的点集D是R的一个非空子集，称映 射f: D-R为定义在D上的n元函数。当n2时，称为多元函数。记为U=f （Xi, X2, ，Xn） ,

4、（ Xi , X2, ，Xn） Do3、 二次函数的几何意义：由点集 D所形成的一张曲面。如z=ax+by+c的图形 为一张平面，而z=X2+y2的图形是旋转抛物线。4、 极限：设二元函数f（p）=f（X,y） 的定义域D,pO（xO,yO）是D的聚点D,如果存在函数A对于任意给定的正数 ，总存在正数3 ,使得当点p （X,y ） DAU（ p0, 3）时，都有 I f（p）-A I = I f（X,y）-A I 成立，那么就称常数 A 为函数f（X,y）当（X,y） （x o,y o）时的极限，记作lim f（X,y） A（X,y） （X0,y定义3设M元函数f （P）的定义域为点集0,化是

5、其聚点且匕如果lim f（P）=尸T %则称“元函数在点几处连续.设匕是函数f（p）的定义域的聚点.如果f（p）在点化处不连续，则称化 是函数f（p）的多元函数的连续性与不连续的定义5、 有界闭合区域上二元连续函数的性质：（1）在有界闭区域 D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值；（2）在有界区域 D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。6、 偏导数：设有二元函数z=f（x,y），点（x 0,y 0）是其定义域D内一点。把y固 定在y0而让x在x0有增量（,相应地函数z=f（x,y）有增量（称为对x/y的偏增 量）如果:与/ 之比当0/ 0时的极限存在，

6、那么此极限值称为函数 z=f（x,y）在（x0,y0）处对x/y的偏导数记作：（Xo,y。Iim f（x x, y0） f（xo, y0）x 0 xfy（x,y。,y y） f（xy o y7、混合偏导数定理：如果函数的两个二姐混合偏导数 fxy（x,y）和fyx（x,y）在D内连续，那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。f f f8、 方向导数：r cos =cos 其中, 为I的方向角。I 入 y9、 全微分：如果函数z=f（x, y）在（x, y）处的全增量z=f（x y）-f（x,y） 可以表示为z=Ax+B%+o（ p，其中A、B不依赖于 ，仅与x,y有关,当PT,此时称函数z=

7、f（x, y）在点（x, y）处可微分，A&+ B称为函数z=f（x, y） 在点（x, y）处的全微分，记为dz Zdx dyx y（二）性质函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:微分法1）定义：2）复合函数求导：链式法则若 z f（u,v）,u u（x, y）,v v（x, y），则z z u z v z z u z Vx u x v x， y u y v y3）隐函数求导：两边求偏导，然后解方程（组）（三）应用1、极值1）无条件极值：求函数z f （x,y）的极值fx解方程组fy求出所有驻点，对于每一个驻点（X）,A fxx （ Xofxy（x） , C fyy（x若A

8、CB2A 0，函数有极小值，若AC0,A 0，函数有极大值；若AC函数没有极值；若AC不定。2）条件极值：求函数z f （x, y）在条件（x,y） 0下的极值令：L（x, y） f （x, y） （x, y） Lagrange 函数Lx 0解方程组 Ly 0（x,y） 02、几何应用1）曲线的切线与法平面x x（t）曲线：y y（t），贝S上一点M（Xo,y,Zo）（对应参数为to）处的z z（t）切线方程为:x Xo x（to） y （to）y yoZ（to）法平面方程为：X （to）（x Xo）y （to）（y y。） z（t）（z z） o2）曲面的切平面与法线曲面：F （x, y,

9、z） o ,则上一点M（Xo,y,z）处的切平面方程为:Fx（Xo,y,z0）（xXo） Fy（Xo,y,z）（y y。） Fz（Xg, y,z）（z zo） 0x Xo法线方程为:z Z（一）二重积分Fx（Xo，yo，Zo）Fy（Xo，yo，Zo）Fz（Xo，yo，Zo）第十章重积分limof（ k, k）k 12、性质：（6条）几何意义：曲顶柱体的体积。计算：直角坐标D（x, y）i（x） y 2（x）Xb定义：f（x,y）d2（X）f （x, y）dxdydx1（x）f （x,y）dyi（y）x 2（y）y d ，2）极坐标i（d 2（y）cdy I（y） f（x，y）dx2（）1（）f

10、 （ cos , sin ） df （x, y, z）dv1叫 f（ k, k, k）U k 1性质：Z2（x,y）f （x,y,z）dv dxdy（）f（x,y,z）dz .Z1 （x, y）v d zf （x, y,z）dxdy 一a D z一 ”柱面坐标sin， f （x, y, z）d v f （ cos球面坐标Vk） 三重积分,z） d d dzx r sin cosy r sin sinz r cosf（x, y, z）dv f （r sin cos , r sin sin ,r cos ）r2sin drd d曲面S: zA d rf （x,y）, （x, y）D的面积：dxd

11、y（z）2（z）2 y第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数Unn 1U1U2 U3 Un部分和：SnUkU1 u2 U3 Un ，正项级数：Un，Un交错级数：（1）nUn，un2） 级数收敛：若lim Sn S存在，则称级数 Un收敛，否则称级数 Un发散n n 1 n 13） 绝对收敛： Un|收敛，则 Un绝对收敛；级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不影响级数的收敛性;级数 an与 bn分别收敛于和S与b,贝y （an bn）收敛且，其和为n 1 n 1 n 1在级数中任意加上、去掉或改变有限项，级数仍然收敛;级数收敛，任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变

12、。Un发散，则 Vn发散.1 n 1若 Vn收敛，则 Un收敛；若n 1 n 1 n比较法的推论： Un , Vn为正项级数，若存在正整数 m，当l m时,n 1 n 1kVn，而 Vn收敛，则 Un收敛；若存在正整数 m，当n m时,Un kVn，而 Vn发散，则 Un发散.做题步骤：找比较级数（等比数列，调和数列， p级数1/np）;比较大小;是否收敛敛；则当I 1时，级数 Un发散；当I 1时，级数 Un可能收敛也可能发散.7）根值法：1Un为正项级数，设imnUn I，则当I 1时，级数1Un收敛;当I 1时，级数 Un可能收敛也可能发散8）极限审敛法： Un为正项级数，若Iim n Un 0或Iim n Un ，则级n 1 ， n n ，数 Un发散；若存在p 1，使得Iim np Un I （0 I ），则级数 Un收敛.n 1 n n 1莱布尼茨审敛法：（1）nUn,Un 0满足：Un 1 Un （n 1,2,3,），且Iim Un 0，则级数 （1）nUn收敛。n n 1任意项级数：Un绝对收敛，则 Un收敛收敛，q 1常见典型级数：几何级数： aqn 0发散，p 1p -级数： npn 1 11（二）函数项级数函数项级数 Un（X），收敛域，收敛半径，和函数;2、幕级数： anX-,0收敛半径的求法：niman 1an，则收敛半径R