大一下高数下册知识点Word文档格式.docx
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绕z轴旋转一周：
f（\Xy,z）0
3、柱面：
的柱面
F（x,y）
F（x,y）0表示母线平行于z轴，准线为
z0
4、二次曲面
1）椭圆锥面：
亍
a
2
y
z2
x
2）椭球面：
「
2yb2
2x旋转椭球面：
z
-2
c
2x
3）
单叶双曲面：
2a
4）
双叶双曲面：
5）
椭圆抛物面：
b2
x2
6）
双曲抛物面
（马鞍面）
-1
7）
椭圆柱面：
1
8）
双曲柱面：
9）
抛物柱面：
ay
（四）空间曲线及其方程
般方程:
F（x,y,z）0
G（x,y,z）0
x（t）
acost
2、参数方程：
y（t），如螺旋线：
asint
z（t）
bt
3、空间曲线在坐标面上的投影
F（x,y,z）0H（x,y）0
，消去z，得到曲线在面xoy上的投影
G（x,y,z）0z0
（5）
平面及其方程
（6）
A（xx。
）B（yy。
）C（zz。
）
截距式方程：
A,A2B1B2C1C2
i〃
A2b2C2
4、点P°
（x。
，y°
z°
）到平面Ax
By
CzD0的距离:
Ax。
By。
Cz。
D,A2B2C
（7）空间直线及其方程
A1xB1yC1z
Di
一般式方程：
A2
xB2y
C2z
d2
X。
yozZo
2、
对称式（点向式）万程：
m
n
P
方向向量：
s
（m,n,p）
，过点（X。
yo,Zo）
x0mt
参数式方程：
yont
Zopt
4、
两直线的夹角：
Si
（5,6,
Pi）,
S2
（m2,n2,P2）
Img
ngP1P2
cos
/22佃ni
Pi
Jm；
n；
22
P2
Li
m1m2n1n2p1p20
L1//L2
mLnijpi_
m2n2p2
5、直线与平面的夹角：
直线与它在平面上的投影的夹角,
ein
Am
BnCp
JA2B2C2.m2n2p2
L//
Bn
Cpo
A
B
C
L
第九章多元函数微分法及其应用
（一）
基本概念
1、距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域,
闭区域，有界集，无界集。
2、多元函数：
（1）定义：
设n维空间内的点集D是R的一个非空子集，称映射f:
D-R为定义在D上的n元函数。
当n》2时，称为多元函数。
记为
U=f（Xi,X2,…，Xn）,（Xi,X2,…，Xn）€Do
3、二次函数的几何意义：
由点集D所形成的一张曲面。
如z=ax+by+c的图形为一张平面，而z=X2+y2的图形是旋转抛物线。
4、极限：
设二元函数f（p）=f（X,y）的定义域D,pO（xO,yO）是D的聚
点D,如果存在函数A对于任意给定的正数£
，总存在正数3,使得当点p（X,y）
€DAU（p0,3）时，都有If（p）-AI=If（X,y）-AI<
£
成立，那么就称常数A为函数f（X,y）当（X,y）—（xo,yo）时的极限，记作
limf（X,y）A
（X,y）（X0,y°
定义3设M元函数f（P）的定义域为点集0,化
是其聚点且匕如果limf（P）=
尸T%
则称“元函数在点几处连续.
设匕是函数f（p）的定义域的聚点.如果
f（p）在点化处不连续，则称化是函数f（p）的
多元函数的连续性与不连续的定义
5、有界闭合区域上二元连续函数的性质：
（1）在有界闭区域D上的多元连续
函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值；
（2）在有界区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
6、偏导数：
设有二元函数z=f（x,y），点（x0,y0）是其定义域D内一点。
把y固定在y0而让x在x0有增量△（,相应地函数z=f（x,y）有增量（称为对x/y的偏增量）如果△:
与△<
/△之比当△—0/△^―0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f（x,y）在（x0,y0）处对x/y的偏导数记作
：
（Xo,y。
Iimf（x°
x,y0）f（xo,y0）
x0x
fy（x°
y。
y°
y）f（x°
yoy
7、混合偏导数定理：
如果函数的两个二姐混合偏导数fxy（x,y）和fyx（x,y）在D
内连续，那么在该区域内这两个二姐混合偏导数必相等。
fff
8、方向导数：
~~r~^cos=cos其中,为I的方向角。
I入y
9、全微分：
如果函数z=f（x,y）在（x,y）处的全增量△z=f（x△y）-f（x,y）可以表示为△z=A^x+B%+o（p，其中A、B不依赖于△△，仅与x,y有关,
当PT,此时称函数z=f（x,y）在点（x,y）处可微分，A&
+B△称为函数
z=f（x,y）在点（x,y）处的全微分，记为
dz—Zdx—dy
xy
（二）性质
函数可微，偏导连续，偏导存在，函数连续等概念之间的关系:
微分法
1）定义：
2）复合函数求导：
链式法则
若zf（u,v）,uu（x,y）,vv（x,y），则
zzuzvzzuzV
xuxvx，yuyvy
3）隐函数求导：
两边求偏导，然后解方程（组）
（三）应用
1、极值
1）无条件极值：
求函数zf（x,y）的极值
fx
解方程组
fy
求出所有驻点，对于每一个驻点（X°
）,
Afxx（Xo
fxy（x°
）,Cfyy（x°
①若AC
B2
A0，函数有极小值，
若AC
0,
A0，函数有极大值；
②若AC
函数没有极值；
③若AC
不定。
2）条件极值：
求函数zf（x,y）在条件（x,y）0下的极值
令：
L（x,y）f（x,y）（x,y）Lagrange函数
Lx0
解方程组Ly0
（x,y）0
2、几何应用
1）曲线的切线与法平面
xx（t）
曲线：
yy（t），贝S上一点M（Xo,y°
Zo）（对应参数为to）处的
zz（t）
切线方程为:
xXox（to）y（to）
yyo
Z（to）
法平面方程为：
X（to）（xXo）
y（to）（yy。
）z（t°
）（zz°
）o
2）曲面的切平面与法线
曲面：
F（x,y,z）o,则
上一点M（Xo,y°
z°
）处的切平面方程为:
Fx（Xo,y°
z0）（x
Xo）Fy（Xo,y°
z））（yy。
）Fz（Xg,y°
z））（zzo）0
xXo
法线方程为:
zZ°
（一）二重积分
Fx（Xo，yo，Zo）
Fy（Xo，yo，Zo）
Fz（Xo，yo，Zo）
第十章重积分
lim
o
f（k,k）
k1
2、性质：
（6条）
几何意义：
曲顶柱体的体积。
计算：
直角坐标
D
（x,y）
i（x）y2（x）
X
b
定义：
f（x,y）d
2（X）
f（x,y）dxdy
dx
1（x）
f（x,y）dy
i（y）
x2（y）
yd，
2）
极坐标
i（
d2（y）
cdyI（y）f（x，y）dx
2（）
1（）
f（cos,sin）d
f（x,y,z）dv
1叫f（k,k,k）
Uk1
性质：
Z2（x,y）
f（x,y,z）d
vdxdy
（）f（x,y,z）dz.
Z1（x,y）
vdz
f（x,y,z）dxdy一
aDz
一”
柱面坐标
sin
，f（x,y,z）dvf（cos
球面坐标
Vk
）三重积分
z）dddz
xrsincos
yrsinsin
zrcos
f（x,y,z）dvf（rsincos,rsinsin,rcos）r2sindrdd
曲面S:
z
Adr
f（x,y）,（x,y）
D的面积：
dxdy
（z）2
（z）2y
第十二章无穷级数
（一）常数项级数
1、定义：
1）无穷级数
Un
n1
U1
U2U3Un
部分和：
Sn
Uk
U1u
2U3Un，
正项级数：
Un，Un
交错级数：
（1）nUn
，un
2）级数收敛：
若limSnS存在，则称级数Un收敛，否则称级数Un发散
nn1n1
3）绝对收敛：
Un|收敛，则Un绝对收敛；
级数的每一项同乘一个不为零的常数后，不影响级数的收敛性;
级数an与bn分别收敛于和S与b,,贝y（anbn）收敛且，其和为
n1n1n1
在级数中任意加上、去掉或改变有限项，级数仍然收敛;
级数收敛，任意对它的项加括号后所形成的级数仍收敛且其和不变。
Un发散，则Vn发散.
1n1
若Vn收敛，则Un收敛；
若
n1n1n
比较法的推论：
Un,Vn为正项级数，若存在正整数m，当lm时,
n1n1
kVn，而Vn收敛，则Un收敛；
若存在正整数m，当nm时,
UnkVn，而Vn发散，则Un发散.
做题步骤：
①找比较级数（等比数列，调和数列，p级数1/np）;
②比较大小;
③是否收敛
敛；
则当I1时，级数Un发散；
当I1时，级数Un可能收敛也可能发散.
7）根值法：
1Un为正项级数，设'
imnUnI，则当I1时，级数1Un收敛;
当I1时，级数Un可能收敛也可能发散
8）极限审敛法：
Un为正项级数，若IimnUn0或IimnUn，则级
n1，nn，
数Un发散；
若存在p1，使得IimnpUnI（0I），则级数Un收敛.
n1nn1
莱布尼茨审敛法：
（1）nUn,Un0满足：
Un1Un（n1,2,3,），
且IimUn0，则级数
（1）nUn收敛。
nn1
任意项级数：
Un绝对收敛，则Un收敛
收敛，
q1
常见典型级数：
几何级数：
aq
n0
发散，
p1
p-级数：
np
n111
（二）函数项级数
函数项级数Un（X），收敛域，收敛半径，和函数;
2、幕级数：
anX
-,0
收敛半径的求法：
nim
an1
an
，则收敛半径R
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