高数B二期末参考复习资料Word格式.docx

1、2、 求极限：（11n2+1+122n2+1+1n2n2+1）1n 解：原式= 原式 =limn+1nk=1n11+kn2 =0111+x2dx =arctanx01=44、 求极限：limx+0x1+t2 dtx+0xsintdtx2。解：由于limx+0x1+t2 dtx=limx+1+x21=1（洛必达法则） limx+0xsintdtx2=limx+ddx0xsintdtddx（x2）（洛必达法则） =limx+sinx2x=12 故原式=1+12=325、 设函数f（x）连续，且0x2-1ftdt=x,求f（8）。对等式两边求导有 f（x2-1）2x=1 令x2-1=8.得x=3.代

2、入得f（8）=166、 设f（x）在区间0，且满足f（x）= x2cosx+02ftdt.试求f（x）。不妨设02ftdt=A。则有f（x）= x2cosx+A A=02fxdx=02（x2cosx+A）dx=02x2dsinx+2A =x2sinx02202cosxdx+2xcosx02+2A =242+2A，故A=282（2） 所以f（x）= x2cosx+27、 证明方程lnx=xe8、 01-cos2xdx在区间（0，+）内只有两个不同的实根。 证明：令F（x）=xelnx-01-cos2xdx，则limx+F（x）=limx+x（1elnxx）- 01-cos2xdx=+limx0+

3、F（x）=limx0+（xelnx-01-cos2xdx） =+又F（x）=1e-1x=x-ee*x，当x=e的时候，F（x）=0.当xe时，F（x）0，当0xe时，F（x）0。所以F（x）在（0，e）单调递减。在（e，+）单调递增。由于F（e）=-01-cos2xdx=-220时，则ln（1+t3）t0（t0，b）若b0（tb，0），均与题意不符，故b=0。又等式左边=limx0ax-sinxln（1+x3）x=limx0ax-sinxx2=c=右边。故a=1且c=12。10、 设f（x）=0xsint-tdt，求0xf（x）dx。由已知有f（x）= sinx-x，则 0xf（x）dx= f

4、（x）x0-0xxf（x）dx=f（）- 0xsinx-xdx =0xsint-tdt- 0xsinx-xdx =0sinx-xdx- 0xsinx-xdx =0sinxdx=211、 设函数f（x）连续，且0xtf2x-tdt=12arctanx2，已知f1=1求12fxdx的值。 令=2x-t则dt=-d，0xtf2x-tdt=-2xx（2x-）fd=2xx2xfd-x2xfd从而2xx2xfd-x2xfd0xtf2x-tdt=12arctanx2，两端求导有2x2xfd+2x2f2x-fx-2xf2x*2-xf（x）=x1+x4故x2xfd=x21+x4+12xfx。令x=1，得 12f

5、xdx=12fudu=3412、 曲线C的方程y=f（x），点（2，3）是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点（0，0）与（3，2）处的切线，其交点为（2，4）设函数f（x）具有三阶连续导数，计算定积分03x2+xfxdx。由已知有f（0）=0,f（0）=2,f（3）=2,f（3）=-2,f（3）=0，故原式=03x2+xdfx =x2+xfx03-031+2xfxdx =-031+2xdf =-1+2xfx03+203f =16+2f（3）- f（0）=2013、 计算下列定积分。1. 01x4-xdx 14dxx1+x2. 01xdx2-x21-x2 -1212sinx*tan2x

6、3+cos3x+ln（1-x）dx3. 解：令t=4-x，则4. 原式=322（4-t2）dt=2（4t-13t3）32=-2（163-33）5. 令x=u则6. 原式=12 2uduu21+udu=212 （1u-11+u）du=2lnu1+u12=2ln437. 令x=sint，则dx=costdt8. 原式=02sintcostdt1+cos2tcost=-02dcost1+cos2t=-arctan（cost） 02=49. 由sinx*tan2x3+cos3x为奇函数，则10. 原式=-1212ln（1-x） dx11. =xln（1-x） -1212-1212-x1-xdx12.

7、= xln（1-x）-x- ln（1-x） -1212=32ln3-ln2-113. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 第六章、定积分的应用29. 定积分的应用：求平行图形的面积30. 求体积31. 求平面曲线的弧长32. 33. 直角坐标系34. 极坐标系35. 参数方程36. 平面图形面积37. A=abfxdx38. A=ab122d39. _40. 旋转体体积41. V=ab（fx）2dx42. 43. 44. 平面曲线弧长45. S=ab1+fx2dx46. S=ab2+（）2d47. S=ab（t

8、）2+（t）2dt48. 旋转体侧面积49. A=2abf（x）1+f（x）2dx50. A=2sin51. 2+52. A=2yt53. xt2+y54. 例题55. 1、求曲线x2+3y2=6y与直线y=x所谓图形的面积。56. 解：由 x2+3y2=6y 的交点（0，0）和 y=x （ 32, 32）57. 设小的一块面积为A，大的B，则58. A=0326y-3y-ydy=30321-（y-1）2dy-9859. 令y-1=t，则A=3-1121-t2dt-98，令t=sinu，则60. A=3-26cos2udu-98=33-3461. B=椭圆面积-A=233+3462. 2、求由

9、抛物线y2=x与y2=-x+4所围图形面积。63. 解：联立 y2=x 得交点（2，-2）、（2，2）64. y2=-x+465. 则S=-22（-y2+4-y2）dy=202（-2y2+4）dy66. =4（2y-13y3） 02=163267. 3、设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为2a、2b，用此柱体底面的短轴且与底面成角（00,y0,又曲线y=sinx在0,上的弧长为l，试用l表示y=fx的弧长s。71. 解：由已知有l=2021+cos2xdx，曲线y=f（x）的参数方程为 x=cos （02）72. y=22sin73. 故s=02sin2+12cos2d=1202sin2+

10、1d，令=2-t，则74. S=1220cos2t+1（-dt）=24l75. 5、曲线y=ex+e-x2与直线x=0,x=t（t0）及y=0围成的曲边梯形，该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V（t）,侧面积为S（t）,在x=t处的底面积为F（t）,求（1）S（t）V（t） （2）极限limn+S（t）F（t）76. 解：（1）S（t）=0t2y1+y2dx77. =20tex+e-x21+（ex-e-x2）2dx78. =20t（ex+e-x2）2dx79. V（t）= 0ty2dx=0t（ex+e-x2）2dx80. 故S（t）V（t）=281. （2）F（t）= y2t=（ex

11、+e-x2）2，82. 则limn+S（t）F（t）=limn+20t（ex+e-x2）2dx（ex+e-x2）2=limn+2（ex+e-x2）22ex+e-x2（ex-e-x2）83. =limn+ex+e-xex-e-x=limn+1+e-2x1-e-2x=184. 85. 86. 87. 88. 89. 90. 91. 92. 93. 94. 第七章、微分方程95. 一、常微分方程的概念96. 二、常微分方程解的概念：包括阶、通解、特解、初始条件。97. 三、可用初等方法解出的方程类型：可分离变量的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、可用简单变量代换的方程、可降阶的高阶微分方程9

12、8. 四、线性微分方程解的性质及解的结构定理99. 五、二阶常系数齐次线性微分方程100. 六、简单的二阶常系数非齐次线性微分方程101. 例题102. 1、设f（x）=sinx-0xx-tftdt，103. 其中f为连续函数，求f 所满足的微分方程。104. 解：两边关于x求导，有f（x）=cosx-0xftdt105. 在两边求导有f（x）=-sinx-f（x），即f（x）+ f（x）=-sinx106. 又有f（0）=0,f（0）=1,所以f（x）所满足的微分方程为107. y+y=-sinx108. yx=0=0,yx=0=1.109. 2、求下列微分方程的通解110. （1）xdy-

13、ydx=xx2+y2dx （2）dydx=（x+y-1x+y+1）2111. （1）解：设y=xv，则dy=vdx+xdv，112. 原式化为x（vdx+xdv）-xvdx=xx2+x2v2dx113. 即dv=1+v2dx，当x0时，114. 有dv1+v2=dx，积分有ln（v+1+v2）=x+c115. 即（v+1+v2）=Cex，把v=yx代入有y+x2+y2= Cxex116. 当x0时，可以得到y-x2+y2= Cxex117. （2）设u=x+y，则dudx=1+dydx118. 故dudx=1+（u-1u+1）2即（1+2u1+u2）du=2dx119. 积分有u+ln（1+u

14、2）=2x+C,变量还原，120. 有（x+y）2=Cex-y-1121. 3、求下列方程的通解122. （1）y3dx+2x2-xy2dy=0 123. （2）（y4-3x2）dy+xydx=0 124. （3）dydx=yx+tanyx125. （1） 解：令x=u2,dx=2udu，则原式化126. 为y3udu+u4-u2y2dy=0127. 即（yu）3du+1-yu）2dy=0128. 令y=zu，则dy=zdu+udz,原方程化129. 为z3du+1-z2zdu+udz=0130. 分离变量：z2-1zdz=duu131. 积分有12z2-lnz=lnu+C1,132. 故有y

15、2=xlny2+C 133. （2） 解：令x=u2,dx=2udu，方程化134. 为（yu）4-3dy+2yudu=0135. 令yu=z，则y=uz,则方程化136. 为3-z4z5-zdz=duu,即2z3z4-1-3zdz=duu137. 积分：12ln（z4-1）-3lnz=lnu+lnC1138. 故z4-1=Cz6u2139. 所以y4-x2=Cy6140. （3） 解：设yx=u，则原方程变141. 为xdudx+u=u+tanu,即cotudu=dxx，积分：sinu=Cx,142. 故sinyx=Cx143. 4、求下列方程的通解。144. （1）xylnx+y=ax（l

16、nx+1） （2）（x-2xy-y2）dydx+y2=0145. （1）解：化为 y+1xlnxy=a（lnx+1）lnx146. 相应的齐次方程为y+1xlnxy=0，积分得其通解147. 为lny=-lnlnx+lnC，即y=C1lnx148. 令原方程解为y=C（x）lnx,149. 则C（x）lnx=a（lnx+1）lnx, Cx=a（lnx+1）150. 从而C（x）=axlnx+C151. 故原方程通解为y=axlnx+Clnx152. （2）化为dxdy+1-2yy2x=1其解153. 为x=e-1-2yy2dy（e1-2yy2dydy+C）=y2+Cy2e1y154. 故通解为

17、x=y2+Cy2e1y155. 5、设函数f（x）可微，且满足0x2ft-1dt=fx-1,求f（x）。156. 解：对原式两边求导有f（x）=2f（x）-1,由公式得其通解为f（x）=e2dx-e-2dx+C=12+Ce2x157. 又f（0）=1,故C=12158. 所以f（x）= 12（1+e2x）159. 6、求下列微分方程的通解：160. （1）x2y+xy=y2 （2）2xy3y+x4-y4=0161. （1） 解：化为y-2y+1xy-1=1x2，令y-1=z，则162. -y-2y=z，有 z-zx=-1x2163. 代入公式解得 z=12x+Cx164. 故 y=2x1+2C

18、x2165. （2） 解：化为y-12xy=-x32y-3,设u=y4,则166. 得 u-412xu=4（-x32），即u-2xu=-2x3167. 代入公式有u=x2-x2+C 故通解为x4+y4=Cx2168. 7、求下列微分方程的通解：169. （1）y（n）=eax+xb （2）y=y+x170. （3）y=（y）3+y （4）yy-y2-6xy2=0171. （1） 解：由于eaxdx=1aeax,xt dt=1t+1xt+1 172. 故通解为y=1aneax+b+nb+n-1b+1-1xb+n+C1xn-1+C2xn-2+Cn-1x+Cn（2） 解：令y=p,y=p.则173.

19、 P=p+x即p-p=x174. 代入公式有p=C1ex-x-1，则175. y=C1ex-x-1dx=C1ex-12x2+C2176. （3） 解：令y=p，则y=pdpdy，得pdpdy=p3+p177. 当p=0时，y=C为方程的解178. 当po时，有dpdy=1+p2,得arctanp=y-C1，即179. y=tan（y-C1）,有dytan（y-C1）=dx.得lnsin（tan（y-C1）=x+lnC2180. 故sin （y-C1）= C2ex,即y=arc sin C2ex+C1181. （4） 解：化为（yy）+1=0，故yy+x=C1182. 即ydy=（C1-x）dx

20、,积分有12y2=-12（C1-x）2+12C2183. 即y2+（C1-x）2=C2184. 8、证明函数y=1xC1ex+C2e-x+ex2（C1、C2为任意常数）是方程xy+2y-xy=ex的通解。185. 证明：记y1=1xex, y2=1xe-x,y*=ex2。则186. y1=（x-1-x-2） ex, y1=（x-1-2x-2-2x-3）ex187. y2=（-x-1-x-2） e-x, y2=（x-1+2x-2+2x-3）e-x188. 代入验证知y1，y2是xy+2y-xy=0的解189. 且y1y2不为常数，故C1y1+C2y2是齐次方程的通解。190. 而y*=y*=y*

21、=ex2,故xy*+2y*+y*=ex191. 即y*是非齐次方程的特解192. 所以y=1xC1ex+C2e-x+ex2（C1、C2为任意常数）是非齐次线性方程的通解。193. 9、一个单位质量的质点以初速度v0从O点开始沿x轴作直线运动运动过程中它受到一个沿运动方向的推力和一个相反方向的阻力且推力大小和阻力大小分别与此质点到原点的距离，质点运动的速率成正比，比例系数分别为k1、k2，求反映质点运动的函数。194. 解：设坐标轴x的正向与初速度方向相同。195. 由已知有 x=k1x-k2x196. xt=0=0,x t=0=v0197. 特征方程为2+k2-k1=0,故1，2=-k2k22

22、+4k12198. 故原方程通解为X=C1e1t+C2e2t,由初始条件有199. C1=v01-2，C2=-v01-2200. 所以函数为x=v0k22+4k1e1t1-e1-2t, 1、2值如上所示。10、 设函数y=f（x）在（-，+）内有二阶导数，且y0.x=x（y）是y=y（x）的反函数（1） 试将x=x（y）满足的微分方程d2xdy2+y+sinxdxdy3=0变换为y=y（x）满足的微分方程。（2） 球变换后微分方程所满足初始条件y（0）=0,y（0）=32的解。201. 解：（1）dxdy=1y即ydxdy=1，两端对x求导有202. ydxdy+d2xdy2（y）2=0203. 所以d2xdy2=-ydxdy（y）2=-y（y）3，代入原方程有y-y=sinx 204. （2） 所对应的齐次方程的通解为Y=C1ex+C2e-x,设的特解为y*=Acosx+Bsinx，代入有A=0，B=-12，故y*= -12sinx。205. 所以y-y=sinx 的通解为y（x）= C1ex+C2e-x -12sinx,而y（0）=0,y（0）=32得206. C1=1 C2=-1207. 所以所求解为y（x）= ex-e-x-12sinx208. 209. 210.