清华大学算法分析与设计 课件 第08讲shortestpathsWord文件下载.docx

1、 Some of the instance of the problems have negative weight edges Negative cycles: the negative infinitive length清华大学 63 10 5 11 清华大学 7Cycles Can a shortest path contains cycles: Case 1. Positive Cycles: never occurs Case 2. Negative Cycles: - Case 3. zero Cycles: removable清华大学 9Representing shortest

2、 paths Using predecessor label can get the result. Let G =（V, E） be a graph : VV null Shortest-paths tree rooted at s is a directed subgraph G = （V, E） of G. V is the set of vertices reachable from s in G G forms a rooted tree with root s and For all v V , the unique simple path from s to v in Gis a

3、 shortest path from s to v in G清华大学 10Relaxation We using the technique of relaxation: Let dv be a shortest-path of estimate, it must be great than or equal to its real distance of v from s, the source. Initialize-Single-Source（G,s）1. For each vertex v VG1. dv = 2. v=null2. ds=0清华大学 14Some comments

4、on relaxation 松弛什么？ Relax the constrain of triangle inequality清华大学 16Relax Relax（u,v,w）1. If dvdu+w（u,v）1. dvdu+w（u,v）2. vu清华大学 17Properties and relaxation1. Triangle inequality: for any （u,v）E we have（s,v）（s,u）+w（u,v）2. Upper bound property: we always have dv（s,v） for all vertices v V, and once dv

5、achieves the value （s,v）, it never changes3. No path property: if there is no path from s to v, we always have dv=（s,v） =清华大学 18Properties4. Convergence property: if p= is a shortest path in G for some u,v V, and if du= （s,u） at any time prior to relaxing edge （u,v）, then dv=（s,v） at all time afterw

6、ard5. Path relaxation property:v0,v1, vk is a shortest path from v0 =s to vk, and the edges in p are relaxed in the order （v0,v1）, （v1,v2）,（vk-1,vk）, then dvk= （s,vk）. This property holds regardless of any other relaxation steps that occurs.清华大学 19Properties:6. Predecessor-subgraph property: Once dv

7、=（s,v） for all v in V, the predecessor subgraph is a shortest-paths tree rooted at s.清华大学 20Bellman-Ford algorithm Bellman-Ford（G,w,s）1. Initialize-Single-Source（G,s）2. For i1 to |VG|-11. For each edge （u,v）EG1. Relax（u,v,w）3. For each edge （u,v）EGdu+w（u,v） return false4. Return true清华大学 21The corre

8、ctness of Bellman-Ford algorithm1. 如果没有由s可达的负圈：1. 则再结束时，验证通过，且距离正确。2. 如果有由s可达的负圈：1. 设此圈为,若所有三角不等式成立，则与此负圈矛盾。【】清华大学 29Si dingle-source shortest paths in a rected acyclic graph Dag-shortest-paths（G,w,s）1. Topological sort the vertices of G2. Initialize-Single-Source（G,w,s）3. For each vertex u, taken i

9、n topological order1. For each v in Adju清华大学 30Dags Shortest-paths31Dijkstras Algorithm It solves the problem of nonnegative weighted graphs shortest-paths Its main trick is to maintain a set S of vertices whose final shortest-path weights from the source s have already been determined.清华大学 32 Dijks

10、tra（G,w,s）1. Initialize-SingleSource（G,s）2. S3. QVG4. While Q != 1. uQ.extractMin（）2. S S U u3. For each vertex v in Adju清华大学 33Complex analysisThe Maintaining of Minimum Queue by calling:1.Insert2.Extract3.Decrease key4.Using aggregate analysis, we have O（V+E）lg V）5.By using Fibonacci heap, the run

11、ning time is O（V lgV + E）, by reducing the amortized cost ofdecreasing key operations38Application of Shortest paths 图像缝合问题： Linear programming with difference constraints can be equivalently converted to a problem of shortest path of a graph.【可行解问题】清华大学 39The linear programming problem Ob j ect: ni

12、=1 cixi subject to xj-xi bk for i,j in 1,2,n Converting to a graph! 如何找到可行解！ n vertices represent the n variables plus an artificial vertex v0, xj-xi bk means to add an edge （i,j） with weight bk Constraints convert to the Edges between the vertices and plus artificial edges （v0,v1）, （v0,vn） X=（d（v0,

13、v1）, d（v0,v2）, , d（v0,vn）,） is a feasiblesolution of the linear programming problem清华大学 40所有点之间的最短路径 动态规划方法： 最优解结构： 设l（k）ij为最多包含k条边的从顶点i到顶点j的最短路径的距离，如果没有这样的路径，则距离定义为，于是 l（0） 0 if ij, otherwiseij l（1） w（i,j）, what is w? l（m）ijmin（l（m-1）ij, p（m）ij） p（m）ijmink=1,n（l（m-1）ik + w（k,j） ） l（m） min （l（m-1） +

14、 w（k,j） ） Why?ij k=1,n ik清华大学 41（k）ij每个顶点每条路径的前驱 （k）ij=?如何计算 与上面计算相关！清华大学 42问题的解 什么是（i,j）, We claim: （i,j）=l（n-1）ij =l（n）ij =l（n+1） （n+2）ij =l ij 为什么？清华大学 43算法11. LW；2. For i 1，n1. LExtended-Shortest-Paths（L,W）清华大学 45Floyd-Warshall algorithm 设d（k）ij为最多包含k个中间点的顶点i到顶点j的最短路径的距离，如果没有这样的路径，则距离定义为，于是 d（0）

15、ijw（i,j）, （0）ij = null if there is no edge （i,j）, else it is i. d（m）ijmin（d（m-1）ij, d（m-1）im+d（m-1）mj） Why? 如何计算（k） ,从i 到j最多包含k个中间点的最短路径中j的ij父节点？ 由（n） 计算最短路径。 复杂度：O（V3）清华大学 48Johnson算法 针对稀疏矩阵，Johnson提出一种更为有效的算法。 引理25.1 改变加权函数不改变最短路径： 设：h: ER 定义： w （ u , v ） = w （ u , v ） + h （ u ） - h （ v ） 设p是从v0到v

16、k的任意路径， 则p是从v0到vk的在权W下的最短路径的充要条件是： 从v0到vk的在权 w 的最短路径，G在权W下有负回路的充要条件是G在权 w 有负回路。清华大学 49W下Johnson（G）计算G1. VG=VG U s2. EG=EG U （s,v）:v in VG, 且 w（s,v）=0如果Bellman-Ford（G,w,s） = flase1. Print 图有负回路，return null;For each （u,v） in EG1. w（u,v）= w（u,v）+（s,u）-（s,v）For each u in VG1. Dijkstra（G,w,u） 得到 （u,v） ，对所有v 属于VG2. 对所有 v 属于 VG1. duv = （u,v）- （s,u）+（s,v）5. Return D = （duv）nn52复杂性分析1. 计算G: O（V+E）2. Bellman-Ford算法:O（VE）3. O（E）4. O（V * Dijkstra算法复杂性）O（V * （V lg V+ E） = O（V2 lg V +VE）清华大学 53总结 单源最短路径问题 方法：贪婪：Dijkstra；Bellman Ford 关键点：松弛 应用：最优化问题、图像处理、 多源最短路径问题 动态规划问题：不同子空间设立 群论及其应用 问题转换54