清华大学算法分析与设计 课件 第08讲shortestpathsWord文件下载.docx

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⏹Someoftheinstanceoftheproblemshavenegativeweightedges

⏹Negativecycles:

thenegativeinfinitivelength

清华大学6

3－1

0511－∞

－∞－∞

清华大学7

Cycles

⏹Canashortestpathcontainscycles:

⏹Case1.PositiveCycles:

neveroccurs

⏹Case2.NegativeCycles:

-∞

⏹Case3.zeroCycles:

removable

清华大学9

Representingshortestpaths

⏹Usingpredecessorlabelcangettheresult.

⏹LetG=（V,E）beagraph

⏹π:

V⓪V∪{null}

⏹Shortest-pathstreerootedatsisadirectedsubgraphG’=（V’,E’）ofG.

⏹V’isthesetofverticesreachablefromsinG

⏹G’formsarootedtreewithrootsand

⏹Forallv∈V’,theuniquesimplepathfromstovinG’

isashortestpathfromstovinG

清华大学10

Relaxation

⏹Weusingthetechniqueofrelaxation:

⏹Letd[v]beashortest-pathofestimate,itmustbegreatthanorequaltoitsrealdistanceofvfroms,thesource.

⏹Initialize-Single-Source（G,s）

1.Foreachvertexv∈V[G]

1.d[v]=∞

2.π[v]=null

2.d[s]=0

清华大学14

Somecommentsonrelaxation

⏹松弛什么？

⏹Relaxtheconstrainoftriangleinequality

清华大学16

Relax

⏹Relax（u,v,w）

1.Ifd[v]>

d[u]+w（u,v）

1.d[v]⓪d[u]+w（u,v）

2.π[v]⓪u

清华大学17

Propertiesandrelaxation

1.Triangleinequality:

forany（u,v）∈Ewehave

δ（s,v）≤δ（s,u）+w（u,v）

2.Upperboundproperty:

wealwayshaved[v]≥

δ（s,v）forallverticesv∈V,andonced[v]achievesthevalueδ（s,v）,itneverchanges

3.Nopathproperty:

ifthereisnopathfromstov,wealwayshaved[v]=δ（s,v）=∞

清华大学18

Properties

4.Convergenceproperty:

ifp=<

s,…,u,v>

isashortestpathinGforsomeu,v∈V,andifd[u]=δ（s,u）atanytimepriortorelaxingedge（u,v）,thend[v]=δ（s,v）atalltimeafterward

5.Pathrelaxationproperty:

v0,v1…,vk>

isashortestpathfromv0=stovk,andtheedgesinparerelaxedintheorder（v0,v1）,（v1,v2）,…（vk-1,vk）,thend[vk]=δ（s,vk）.Thispropertyholdsregardlessofanyotherrelaxationstepsthatoccurs.

清华大学19

Properties:

6.Predecessor-subgraphproperty:

Onced[v]=

δ（s,v）forallvinV,thepredecessorsubgraphisashortest-pathstreerootedats.

清华大学20

Bellman-Fordalgorithm

⏹Bellman-Ford（G,w,s）

1.Initialize-Single-Source（G,s）

2.Fori⓪1to|V[G]|-1

1.Foreachedge（u,v）∈E[G]

1.Relax（u,v,w）

3.Foreachedge（u,v）∈E[G]

d[u]+w（u,v）returnfalse

4.Returntrue

清华大学

21

ThecorrectnessofBellman-Fordalgorithm

1.如果没有由s可达的负圈：

1.则再结束时，验证通过，且距离正确。

2.如果有由s可达的负圈：

1.设此圈为<

v0,v1,…,vn,v0>

若所有三角不等式成立，则与此负圈矛盾。

【】

清华大学29

Sidi

ngle-sourceshortestpathsinarectedacyclicgraph

⏹Dag-shortest-paths（G,w,s）

1.TopologicalsorttheverticesofG

2.Initialize-Single-Source（G,w,s）

3.Foreachvertexu,takenintopologicalorder

1.ForeachvinAdj[u]

清华大学30

Dag’sShortest-paths

∞

31

Dijkstra’sAlgorithm

⏹Itsolvestheproblemofnonnegativeweightedgraph’sshortest-paths

⏹ItsmaintrickistomaintainasetSofverticeswhosefinalshortest-pathweightsfromthesourceshavealreadybeendetermined.

清华大学32

⏹Dijkstra（G,w,s）

1.Initialize-SingleSource（G,s）

2.S⓪φ

3.Q⓪V[G]

4.WhileQ!

=φ

1.u⓪Q.extractMin（）

2.S⓪SU{u}

3.ForeachvertexvinAdj[u]

清华大学33

Complexanalysis

⏹

TheMaintainingofMinimumQueuebycalling:

1.

Insert

2.

Extract

3.

Decreasekey

4.

Usingaggregateanalysis,wehaveO（（V+E）lgV）

5.

ByusingFibonacciheap,therunningtimeisO（Vlg

V+E）,byreducingtheamortizedcostof

decreasingkeyoperations

38

ApplicationofShortestpaths

⏹图像缝合问题：

⏹Linearprogrammingwithdifferenceconstraintscanbeequivalentlyconvertedtoaproblemofshortestpathofagraph.【可行解问题】

清华大学39

Thelinearprogrammingproblem

⏹Object:

∑ni=1cixisubjectto

⏹xj-xi≤bkfori,jin{1,2,…,n}

⏹Convertingtoagraph!

如何找到可行解！

⏹nverticesrepresentthenvariablesplusanartificialvertexv0,

⏹xj-xi≤bkmeanstoaddanedge（i,j）withweightbk

⏹ConstraintsconverttotheEdgesbetweentheverticesandplusartificialedges（v0,v1）,…,（v0,vn）

⏹X=（d（v0,v1）,d（v0,v2）,…,d（v0,vn）,）isafeasible

solutionofthelinearprogrammingproblem

清华大学40

所有

点之间的最短路径

⏹动态规划方法：

⏹最优解结构：

⏹设l（k）ij为最多包含k条边的从顶点i到顶点j的最短路径的距离，如果没有这样的路径，则距离定义为∞，于是

⏹l（0）0ifi＝j,∞otherwise

ij＝

⏹l

（1）w（i,j）,whatisw?

⏹l（m）ij＝min（l（m-1）ij,p（m）ij）

⏹p（m）ij＝mink=1,n（l（m-1）ik+w（k,j））

⏹l（m）min（l（m-1）+w（k,j））Why?

ij＝k=1,nik

清华大学41

π（k）

ij—每个顶点每条路径的前驱

⏹π（k）

ij=?

如何计算

⏹与上面计算相关！

清华大学42

问题

的解

⏹什么是δ（i,j）,Weclaim:

⏹δ（i,j）=l（n-1）ij=l（n）ij=l（n+1）（n+2）

ij=lij

⏹为什么？

清华大学43

算法1

1.L＝W；

2.Fori＝1，n

1.L＝Extended-Shortest-Paths（L,W）

清华大学45

Floyd-Warshallalgorithm

⏹设d（k）ij为最多包含k个中间点的顶点i到顶点j的最短路径的距离，如果没有这样的路径，则距离定义为∞，于是

⏹d（0）ij＝w（i,j）,

⏹π（0）ij=nullifthereisnoedge（i,j）,elseitisi.

⏹d（m）ij＝min（d（m-1）ij,d（m-1）im+d（m-1）mj）Why?

⏹如何计算π（k）,从i到j最多包含k个中间点的最短路径中j的

ij

父节点？

⏹由π（n）计算最短路径。

⏹复杂度：

O（V3）

清华大学48

Johnson算法

⏹针对稀疏矩阵，Johnson提出一种更为有效的算法。

⏹引理25.1改变加权函数不改变最短路径：

⏹设：

h:

E⓪R

⏹定义：

wˆ（u,v）=w（u,v）+h（u）-h（v）

⏹设p＝<

v0,v1,…,vk>

是从v0到vk的任意路径，则p是从v0到vk的在权W下的最短路径的充要条件是：

从v0到vk的在权wˆ的最短路径，G在权W下有负回路的充要

条件是G在权wˆ有负回路。

清华大学49

W下

Johnson（G）

计算G’

1.V[G’]=V[G]U{s}

2.E[G’]=E[G]U{（s,v）:

vinV[G],且w（s,v）=0}

如果Bellman-Ford（G’,w,s）==flase

1.Print图有负回路，returnnull;

Foreach（u,v）inE[G’]

1.w’（u,v）=w（u,v）+δ（s,u）-δ（s,v）

ForeachuinV[G’]

1.Dijkstra（G,w’,u）得到δ’（u,v），对所有v属于V[G]

2.对所有v属于V[G]

1.duv=δ’（u,v）-δ（s,u）+δ（s,v）

5.ReturnD=（duv）n×

n

52

复杂性分析

1.计算G’:

O（V+E）

2.Bellman-Ford算法:

O（VE）

3.O（E）

4.O（V*Dijkstra算法复杂性）＝O（V*（VlgV+E））=O（V2lgV+VE）

清华大学53

总结

⏹单源最短路径问题

⏹方法：

贪婪：

Dijkstra；

BellmanFord

⏹关键点：

松弛

⏹应用：

最优化问题、图像处理、

⏹多源最短路径问题

⏹动态规划问题：

不同子空间设立

⏹群论及其应用

⏹问题转换

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