高中数学高考综合复习椭圆与双曲线.docx

1、高中数学高考综合复习椭圆与双曲线高中数学高考综合复习专题二十一椭圆与双曲线一、知识网络 二、高考考点1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质；2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求；3.直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等；4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题；5.以圆锥曲线为主要内容的综合问题；6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。三、知识要点(一)椭圆 定义与推论1、定义1的的认知设M为椭圆上任意一点， 分别为椭圆两焦点， 分别为椭圆长轴端点，则有（1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式）（2）隐蔽的不等关

2、系： ， （寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据）2、定义2的推论根据椭圆第二定义，设 为椭圆 上任意一点， 分别为椭圆左、右焦点，则有： （d1为点M到左准线l1的距离） （d2为点M到右准线l2的距离）由此导出椭圆的焦点半径公式： 标准方程与几何性质1、椭圆的标准方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程 中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程 （1）标准方程、中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系： （2）标准方程、统一形式： 2、椭圆 的几何性质（1）范围： （有界曲线）（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性）（3）顶点与轴长：顶点 ，长轴2a，短轴2

3、b（由此赋予a、b名称与几何意义） （4）离心率： 刻画椭圆的扁平程度（5）准线：左焦点 对应的左准线 右焦点 对应的右准线 椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为 ；中心到准线的距离为 ；焦点到相应准线的距离为 . 挖掘与引申1、具特殊联系的椭圆的方程（1）共焦距的椭圆的方程 且 （2）同离心率的椭圆的方程 且 2、弦长公式：设斜率为k的直线l与椭圆交于不同两点 ，则 ；或 。（二）双曲线、定义与推论1定义1的认知设M为双曲线上任意一点， 分别为双曲线两焦点， 分别为双曲线实轴端点，则有：（1）明朗的等量关系： （解决双焦点半径问题的首选公式）（2）隐蔽的不等关系： ， （寻求某些基

4、本量的取值范围时建立不等式的依据）2定义2的推论设 为双曲线 上任意上点， 分别为双曲线左、右焦点，则有 ，其中， 为焦点 到相应准线li的距离 推论：焦点半径公式当点M在双曲线右支上时， ；当点M在双曲线左支上时， 。、标准方程与几何性质3双曲线的标准方程中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程为 中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程为 （1）标准方程、中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系： （2）标准方程、的统一形式： 或： （3）椭圆与双曲线标准方程的统一形式： 4双曲线 的几何性质（1）范围： （2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心）（3）顶点与轴长：顶点 （由此赋

5、予a,b名称与几何意义）（4）离心率： （5）准线：左焦点 对应的左准线 ；右焦点 对应的右准线 双曲线共性：准线垂直于实轴； 两准线间距离为 ；中心到准线的距离为 ； 焦点到相应准线的距离为 （6）渐近线：双曲线 的渐近线方程： 、挖掘与延伸1具有特殊联系的双曲线的方程对于双曲线 （）（1）当+为定值时，（）为共焦点的双曲线（系）方程：c2=+;（2）当 为定值时，（）为共离心率亦为共淅近线的双曲线（系）方程： ；（3）以直线 为渐近线的双曲线（系）方程为： 特别：与双曲线 共渐近线的双曲线的方程为： （左边相同，区别仅在于右边的常数）2弦长公式设斜率为k的直线l与双曲线交于不同两点 则 经

6、典例题1、（1）若椭圆a2x2-y2=1 的一个焦点是（-2，0），则a等于 。（2）已知椭圆 的焦点为F1、F2，点P是其上的动点，当 为钝角时，点P的横坐标的取值范围为 。分析：（1）从此椭圆的标准方程切入。由题设知已知得： 这里 由此解得 （2）这里a=3, b=2, c= 以线段F1F2为直径的圆的方程为 设 ，则由点P在椭圆上得： 又由 为钝角得： 由、联立，解得： 所求点P横坐标的取值范围为 点评：注意到点P对 的大小的影响可用点P与圆 相对位置关系来反映，故选择这一解法。当然，本题亦可由 推出 的范围，请同学们尝试和比较。2、已知 为椭圆的两个焦点，过 的直线交椭圆于P、Q两点，

7、 且 ，求椭圆的离心率。分析：不防设椭圆方程为 ， 为等腰直角三角形，注意到这一三角形含有点P、Q处的两条焦点半径，故想到利用椭圆第一定义构建有关方程。解：设椭圆方程为 设 ，则由 为等腰 得： 又由椭圆第一定义得 的周长为4a 即 注意到 为 ， 即 因此，代入得 由此解得 点评：这里对条件 运用颇为充分：两次运用椭圆定义，第一次用于导出，第二项用于导出；两次运用 条件：第一次利用 为等腰 表示出 ，第二次利用 为 导出。充分利用题设条件，也是解题成功的保障之一。3、已知双曲线 的左、右两个焦点为 ，P为双曲线上的点，又， 成等比数列且 ，求双曲线方程。分析：这里要求b的值。注意到 ，为了求

8、b，首先需要从题设条件入手寻找关于b的方程或不等式。由题设得 ，为便于将其设为关于b的方程，考虑推导并利用双曲线的焦点半径公式。因此，解题便以判定点P位置拉开序幕。解：这里 （4的特殊性） ，即 ， 点P在双曲线右支上设点 ，则由双曲线第二定义以及点P在双曲线右支上得 又由题设得 代入得 再注意到由 得 ， 即 于是、得 而 ，所以由得b=1因此，所求双曲线方程为： 点评：这里对已知条件 的两次运用：第一次“粗”用，利用4=2a的特殊性判定点P在双曲线右支上；第二次“细”用，利用 （将4作为一般正数）导出点P横坐标存在的范围： 。粗细结合，将已知条件运用得酣畅淋漓。4、设椭圆 的焦点为 ，P为

9、椭圆上一点， 的最大值为 。（1）求椭圆的离心率；（2）设直线l与椭圆交于M、N两点，且直线l与圆心在原点，半径等于b的圆相切，已知线段MN长度的最大值为4，求椭圆方程和直线l的方程。分析： 中 的最大值为 的最小值为 ，循着特殊与一般相互依存的辩证关系，想到从在 中运用余弦定理推导 的最小值切入。解：（1）设 = ， ， ， 则在 中由余弦定理得 即 的最小值为 又由题设知 的最大值，即 的最小值为 即 a=2b （2）由已知椭圆方程为 由题设知直线l不垂直于x轴设直线l的方程为 设 则由直线l与圆 相切得： 将代入得： 代入得 直线l与椭圆相交于不同两点又由韦达定理得： ， （ 当且仅当

10、，即 时等号成立） 的最大值为2b（当 时取得） 由题设得 （此时 ） a=2b=4 进而由得 ，即 因此，由、得所求椭圆方程为 ，直线l的方程为 或 点评：这里导出的式为此类问题的共同基础：设P为椭圆 上任意一点， ，则 最小值为 据此 若 的最大值为 ，则 （即 ）；若 的最大值为 ，则 （即 ）；若 的最大值为 ，则 （即 ）。5、已知斜率为1的直线l与离心率为 的双曲线 交于P、Q两点，又直线l与y轴交于点R，且 ， ，求直线和双曲线方程。分析：主要已知条件借助向量表出，故主要问题是认知已知条件，进而根据问题的具体情况进行推理或转化。解：由 得 ， 双曲线方程为 设 ，直线l的方程为

11、将代入得 对于方程， 恒成立由韦达定理得 即 由此得 又由题设得 ，故得 由、联立解得 将代入得 再注意到 得 将、代入得 解得 ， 因此，由，得所求双曲线方程为 ，所求直线方程为 点评：（）关于此类直线与圆锥曲线相交的问题，对于交点坐标的处置适当与否，成为解题繁简成败的关键。于是，围绕着对交点坐标的“解”与“设”的应用选择，产生出解题策略：解而不设与设而不解；“既设又解”与“不设不解”。在这里，我们对交点P、Q的坐标运用的是“既设又解”，请同学们注意品悟这里“解”的分寸的把握。（）这里解题的层次分明，已知式一转化一代入一结论：已知式（ ）转化代入结论；已知式（ ）转化代入结论。同学们应注意学习与追求这种解题的明晰与漂亮。6、已知 ， （1）求点P（x，y）的轨迹C的轨迹方程；（2）若直线 与曲线C交于A、B两点，D（0，-1），且有 ，试求m的取值范围。分析：对于（1），从已知条件入手，利用向量的坐标表示进行推理；对于（2），此类关于直线与圆锥曲线相交的比较复杂的问题，要刻意向基本的弦中点或弦长问题转化。