应力波理论复习资料.docx

1、应力波理论复习资料复习内容：概念：应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；强间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变间断面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot弹性极限；固体高压状态方程；冲击绝热线；主要内容：一、Lagrange方法推导一维应力纵波的波动方程。解:XX+dXF(X,t)F(X+dX,t)XdX在Lagrange坐标中建立图示一维应力波长度为dX的微元的受力图,截面X上作用有总力F(X,t),截面X+dX上作用有总力F(X+dx,t),有F(X+dX)=F(X,t)+F(X,t)XdX根据牛顿第二定律,有vtoAOd

2、X=F(X+dX)-F(X,t)=F(X,t)XdX解之,有F(X,t)XdX=0A0vtdX而F(X,t)=A0,故上式可以化为0vt=X(a)对于一维应力纵波,()连续可微,记C=1d0d则d=0C2d代入(a)式,可得vt=C2X(b)因为v=ut,=uX,代入(b)式,则得到了一维应力波在Lagrange坐标系中的波动方程:2ut2-C22uX2=0二、用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系 v(1) t x x解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,+其中为待定系数,整理可得:=0X t X t根据特征线求解方法,特征线特征方程为(a)(dxdt)=v+c2=+v解之,得

3、=c,(dxdt)=vc,即特征线的微分方程为:dx=(vc)dt将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有(v+c2X+tvX+vt=0即 =0dt dt将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:dv=mdvc v(2)t x x解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,+，其中为待定系数,整理可得:+ =0 (a)x t x t根据特征线求解方法,特征线特征方程为(dxdt)=v-(1+)c2=-(1+)+v1解之,得=c,(dxdt)=vm(1+)c,即特征线的微分方程为:dx=vm(1+)cdt将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有v-(1+)c2 x+vtx+vt=0+ =0dt

4、 dt将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:dv=-d=mcd vv(3) t r r对一阶偏微分方程组进行线性组合,+，其中为待定系数,整理可得:+ =0r t r t r根据特征线求解方法,特征线特征方程为(a)(drdt)=v+c21=+v解之,得 = ,(1cdrdt)=vc,即特征线的微分方程为:dr=(vc)dt将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有v+c2r+t1+vvr+vvt即 =0dt dt r将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:dv+c rdt=0 1 0t 0X解:对一阶偏微分方程组进行线性组合,+，其中为待定系数,整理可得:X+t-=0(a)根据特征线求

5、解方法,特征线特征方程为 (dXdt)=1=010C2解之,得=1C,(dXdt)=C,即特征线的微分方程为:dX=Cdt将其积分即可得到特征线方程。由(a)式,整理有(1x+t)-10CC2x+=0即ddt-21d=0将值代入上式,可得特征线上的相容关系为:d=10C2d=10Cd三、用特征线法求解波的传播。设半无限长弹性杆初始状态为(X,0)=*,v(X,0)=v*,(X,0)=*,t=0时刻杆左端X=0处受到一冲击载荷,即边界条件为v(0,t)=v0(),用特征线法求解(X,t)平面上AOX和Aot区域的物理量。解:dv=C0dOA为经O(0,0)点作的右传波的特征线,将(X,t)平面划

6、分为外加载荷产生的弹性波尚未到达的AOX区和弹性波已传到的Aot区。对于弹性波,特征线和特征线上相容条件对应于:dX=C0dtd=0C0dv引入积分常数1、2、K1、K2后,可写成X-C0t=1-00 1X+C0t=1+002(1)AOX区在该区任一点P,作正向特征线PQ和负向特征线PR,分别交OX轴于Q点和R点,沿着特征线PQ和PR分别有vP-C0P=vQ-C0Q=1 (1)(2)P-0C0vP=Q-0C0vQ=K1由（1）（2）可得：vP=P=1212C0 p=P=*由初始条件,有R=Q=*,v(X,0)=v*,(X,0)=*,则可解得vp=v* *由于P点位AOX区域中的任意点,因此该解

7、适合用于整个AOX区。(2)对于Aot区该区任一点B,作正向特征线BC交Ot轴于C点,负向特征线BD,交OX轴于D点,再过C点作负向特征线CE交特征线OA于E点,沿着特征线BC、BD和CE分别有vB-C0B=vC-C0C=1B-0C0vB=C-0C0vC=k11沿着特征线OA,其上各点与AOX区具有相同的参数值,即有D=E=*,vD=vE=*,D=E=*此外,vC由边界条件已给出,即vc=v0()于是可解得C0vB=vC=v0() *+*可以看出,在时刻,施加于杆端部的扰动v0()和C以C0的速度沿杆传播,并且沿着特征线BC,对应的参数值保持不变。特征线BC的特征方程可表示为X=C0(t-),

8、则有=t-XC0。由于B点Aot区中任意选取的,那么,对于Aot区任意一点,其解为)C0 C0X C0 C0四、波形曲线和时程曲线一线性硬化材料半无限长杆X0，应力应变关系如图所示，其中E=100GPa,E1=E/25,Y=200MPa,0=4g/cm3。在杆的左端X=0处施加如图所示的载荷。（1）画出X-t图；（2）画出t=0.4ms时刻的波形曲线；（3）画出X=0.5m位置的时程曲线。v(ms)YE120EO0.2tms解：半无限长杆中弹性波波速：C0=E0=5103m/s3塑性波速：C1=E10E12505产生塑性波的速度vY=Y0C0210841035103点的坐标表示清楚，X-t图、

9、波形图和时程图尽量画在一起）五、弹性波的相互作用处理原则：在撞击面上作用力和反作用力；速度相等；1、相同材料弹性杆的共轴撞击图如图所示,作出X-t图和-v图,并确定其撞击结束时间及两杆脱开时间.(做a、b)v2=8m/sL0v3=8m/sL0v3=8m/sL0(a)(b)(c)v1=03L0v2=02L0v2=0L0v1=0L0v1=02L0解: 作图说明:两弹性杆材料相同,故在X-t图中,由于两杆波速相等,同方向的特征线斜率相同;在-v状态图中同方向的波传播-v关系曲线斜率相同。（a）A Bt64NM7465(4)1v2(5)(7)2 331X3由波系图和-v状态图可得，两杆撞击结束时间为t=2L0C0,对应于M点，此时两杆在撞击界面上质点速度均为0，此后一直到时间t=6L0C0时（N点），两杆界面上质点保持静止，并未相互脱离。而应力波在被撞击杆右端反射后，使该杆逐渐获得了正向速度，当t=6L0C0时，被撞杆的左端面得介质速度由0跃为v70，与早已处于静止状态的撞击杆脱离，向右飞出。（b）L02L0L03杆 2杆 1杆t55N612536v34421X4由波系图和-v状态图可得,2杆和3杆撞击结束时间t=2L0C0，对应于M点，