应力波理论复习资料.docx
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应力波理论复习资料
复习内容：
概念：
应力波；物质坐标，空间坐标，物质微商，空间微商，物质波速；特征线；
强间断，弱间断，冲击波，波的弥散效应；层裂；弹性卸载假设；卸载边界；应变
间断面；应力松弛；蠕变；粘性弥散；Hugoniot 弹性极限；固体高压状态方程；冲
击绝热线；
主要内容：
一、Lagrange 方法推导一维应力纵波的波动方程。
解:
X
X+dX
F（X,t）
F（X+dX,t）
X
dX
在 Lagrange 坐标中建立图示一维应力波长度为 dX 的微元的受力图,截面 X 上作
用有总力 F（X,t）,截面 X+dX 上作用有总力 F（X+dx,t）,有
F （ X + dX ） = F （ X , t） +
∂F （ X , t）
∂X
dX
根据牛顿第二定律,有
∂v
∂t
ρo AO dX = F （ X + dX ） - F （ X , t） =
∂F （ X , t）
∂X
dX
解之,有
∂F （ X , t）
∂X
dX = ρ0 A0
∂v
∂t
dX
而 F （ X , t） = σA0 ,故上式可以化为
ρ0
∂v
∂t
=
∂σ
∂X
（a）
对于一维应力纵波,σ （ε ） 连续可微,记
C =
1 dσ
ρ0 dε
则
dσ = ρ0C 2dε
代入（a）式,可得
∂v
∂t
= C 2
∂ε
∂X
（b）
因为 v =
∂u
∂t
ε =
∂u
∂X
代入（b）式,则得到了一维应力波在 Lagrange 坐标系中的波动方
程:
∂ 2u
∂t 2
- C 2
∂ 2u
∂X 2
= 0
二、 用方向导数法求下列偏微分方程组的特征方程和特征相容关系
⎧∂ρ∂ρ∂v
（1） ⎨
⎪∂t∂x∂x
解:
对一阶偏微分方程组进行线性组合, ①×λ+②其中 λ 为待定系数,整理可得:
= 0
∂X∂t∂X∂t
根据特征线求解方法,特征线特征方程为
（a）
（
dx
dt
）Γ =
λv + c 2
λ
=
λρ + ρv
ρ
解之,得 λ = ±c , （
dx
dt
）Γ = v ± c ,即特征线的微分方程为:
dx = （v ± c）dt
将其积分即可得到特征线方程。
由（a）式,整理有
λ（
v + c 2 ∂ρ
λ ∂X
+
∂ρ
∂t
⎡
⎣
∂v
∂X
+
∂v ⎤
∂t ⎥⎦
= 0
即= 0
dtdt
将 λ 值代入上式,可得特征线上的相容关系为:
dv = m dv
c
⎧∂ε∂ε∂v
（2） ⎨
⎪ ∂t∂x∂x
解:
对一阶偏微分方程组进行线性组合,①×λ+②，其中 λ 为待定系数,整理可得:
+= 0（a）
∂x∂t∂x∂t
根据特征线求解方法,特征线特征方程为
（
dx
dt
）Γ =
λv - （1 + ε ）c 2
λ
=
- λ（1 + ε ） + v
1
解之,得 λ = ±c , （
dx
dt
）Γ = v m（1 + ε ）c ,即特征线的微分方程为:
dx = [v m（1 + ε ）c]dt
将其积分即可得到特征线方程。
由（a）式,整理有
⎡ λv - （1 + ε ）c 2 ∂ε
⎣λ∂x
+
∂ε ⎤ ∂v
∂t ⎦ ∂x
+
∂v
∂t
= 0
+= 0
dtdt
将 λ 值代入上式,可得特征线上的相容关系为:
dv = -λdε = mcdε
⎧∂ρ∂ρ∂v v
（3） ⎨
⎪∂t∂r∂r
对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+ ②×λ，其中 λ 为待定系数,整理可得:
+= 0
∂r∂t∂r∂tr
根据特征线求解方法,特征线特征方程为
（a）
（
dr
dt
）Γ =
v + λc 2
1
=
ρ + λρv
λρ
解之,得λ= ±, （
1
c
dr
dt
）Γ = v ± c ,即特征线的微分方程为:
dr = （v ± c）dt
将其积分即可得到特征线方程。
由（a）式,整理有
[v + λc 2 ]
∂ρ
∂r
+
∂ρ
∂t
⎡1 + λv ∂v
⎣ λ ∂r
+
∂v ⎤ v
∂t
即= 0
dtdtr
将 λ 值代入上式,可得特征线上的相容关系为:
dv +
cr
dt = 0
⎧∂ϖ1∂τ
⎪0
⎪
⎪ ∂tρ0 ∂X
解:
对一阶偏微分方程组进行线性组合,①+②×λ，其中 λ 为待定系数,整理可得:
∂ϖ
∂X
+ λ
∂ϖ
∂t
- - = 0
（a）
根据特征线求解方法,特征线特征方程为
（
dX
dt
）Γ =
λ
1
=
λ ρ0
1 ρ0C 2
解之,得 λ = ±
1
C
（
dX
dt
）Γ = ±C ,即特征线的微分方程为:
dX = ±Cdt
将其积分即可得到特征线方程。
由（a）式,整理有
λ（
1 ∂ϖ
λ ∂x
+
∂ϖ
∂t
） -
1 ⎛
ρ0C ⎝
λC 2
∂τ
∂x
+
⎪ = 0
即 λ
dϖ
dt
-
2
1 dτ
= 0
将 λ 值代入上式,可得特征线上的相容关系为:
dϖ =
1
λρ 0C
2
dτ = ±
1
ρ0C
dτ
三、 用特征线法求解波的传播。
设半无限长弹性杆初始状态为σ （ X ,0） = σ *, v（ X ,0） = v*, ε （ X ,0） = ε *, t=0 时刻杆左端
X=0 处受到一冲击载荷,即边界条件为 v（0, t） = v0 （τ ） ,用特征线法求解（X,t）平面上 AOX
和 Aot 区域的物理量。
解:
⎨dv = ±C0dε
OA 为经 O（0,0）点作的右传波的特征线,将（X,t）平面划分为外加载荷产生的弹性
波尚未到达的 AOX 区和弹性波已传到的 Aot 区。
对于弹性波,特征线和特征线上相容条件对应于:
⎧dX = ±C0dt
⎪
⎩
⎪dσ = ±ρ0C0dv
引入积分常数 ξ1 、 ξ 2 、α 、 β 、 K1 、 K 2 后,可写成
⎧ X - C0t = ξ1
⎪
⎪σ - ρ0 01
⎧ X + C0t = ξ1
⎪
⎪σ + ρ0 0 2
（1）AOX 区
在该区任一点 P,作正向特征线 PQ 和负向特征线 PR,分别交 OX 轴于 Q 点和 R 点,
沿着特征线 PQ 和 PR 分别有
⎧⎪vP - C0ε P = vQ - C0εQ = α1
（1）
（2）
⎧⎪σ P - ρ0C0vP = σ Q - ρ0C0vQ = K1
⎨
由
（1）
（2）可得：
vP =
ε P =
1
2
1
2C0
⎪⎪
⎪⎩εp =ε
⎧σ P = σ *
由初始条件,有σ R = σ Q = σ * , v（ X ,0） = v*, ε （ X ,0） = ε *, 则可解得 ⎨v p = v*
⎪*
由于 P 点位 AOX 区域中的任意点,因此该解适合用于整个 AOX 区。
（2）对于 Aot 区
该区任一点 B,作正向特征线 BC 交 Ot 轴于 C 点,负向特征线 BD,交 OX 轴于 D 点,
再过 C 点作负向特征线 CE 交特征线 OA 于 E 点,沿着特征线 BC、BD 和 CE 分别有
⎧vB - C0ε B = vC - C0εC = β1
⎨
⎧σ B - ρ0C0vB = σ C - ρ0C0vC = k11
⎨
⎨
沿着特征线 OA,其上各点与 AOX 区具有相同的参数值,即有
σ D = σ E = σ * , vD = vE = σ * , ε D = ε E = ε *
此外, vC 由边界条件已给出,即 vc = v0 （τ ）
于是可解得
C0
⎨vB = vC = v0 （τ ）
⎪*
⎪
+ ε *
*
可以看出,在τ 时刻,施加于杆端部的扰动 v0 （τ ） 和 ε C 以 C0 的速度沿杆传播,并且
沿着特征线 BC,对应的参数值保持不变。
特征线 BC 的特征方程可表示为 X = C0 （t -τ ） ,则有τ = t -
X
C0
。
由于 B 点 Aot 区中任意选取的,那么,对于 Aot 区任意一点,其解为
）
C0
⎪C0
X
⎪C0
⎪
⎪⎣C0 ⎦
⎪
四、 波形曲线和时程曲线
一线性硬化材料半无限长杆 X ≥ 0 ，应力应变关系如图所示，其中
E = 100GPa, E1 = E / 25,Y = 200MPa, ρ0 = 4g / cm3 。
在杆的左端 X = 0 处施加如图所示
的载荷。
（1）画出 X - t 图；
（2）画出 t = 0.4ms 时刻的波形曲线；
（3）画出 X = 0.5 m 位置的时程曲线。
σ
v（m s）
Y
E1
20
E
ε
O
0.2
t ms
解：
半无限长杆中弹性波波速：
C0 =
E
ρ0
= = 5⨯103 m/s
3
塑性波速：
C1 =
E1
ρ0
E 1
25ρ0 5
产生塑性波的速度 vY =
Y
ρ0C0
2 ⨯108
4 ⨯103 ⨯ 5⨯103
点的坐标表示清楚， X - t 图、波形图和时程图尽量画在一起）
五、 弹性波的相互作用
处理原则：
在撞击面上作用力和反作用力；速度相等；
1、相同材料弹性杆的共轴撞击图如图所示,作出 X-t 图和σ -v 图,并确定其撞击结束
时间及两杆脱开时间.（做 a、b）
v2 = 8m / s
L0
v3 = 8m / s
L0
v3 = 8m / s
L0
（a）
（b）
（c）
v1 = 0
3L0
v2 = 0
2L0
v2 = 0
L0
v1 = 0
L0
v1 = 0
2L0
解:
作图说明:
两弹性杆材料相同,故在 X-t 图中,由于两杆波速相等,同方向的特征
线斜率相同;在σ -v 状态图中同方向的波传播σ -v 关系曲线斜率相同。
（a）
AB
t
σ
6
4
N
M
7
4'
6
5
（4） 1
v
2（5）（7）
23
3'
1
X
3
由波系图和σ - v 状态图可得，两杆撞击结束时间为 t =
2L0
C0
对应于 M 点，此时
两杆在撞击界面上质点速度均为 0，此后一直到时间 t =
6L0
C0
时（N 点），两杆界面上
质点保持静止，并未相互脱离。
而应力波在被撞击杆右端反射后，使该杆逐渐获得
了正向速度，当 t =
6L0
C0
时，被撞杆的左端面得介质速度由 0 跃为 v7 > 0 ，与早已处
于静止状态的撞击杆脱离，向右飞出。
（b）
L0
2 L0
L0
3 杆2 杆1 杆
t
σ
5
5'
N
6
125
36v
3
4
4'
2
1
X
4
由波系图和σ - v 状态图可得,2 杆和 3 杆撞击结束时间 t =
2L0
C0
，对应于 M 点，
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