秋高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算313空间向量的数量积运算学案Word文档格式.docx

1、若a，b是非零向量，则abab0共线同向：则ab|a|b|反向：b|a|模 a|a|a|cosa，a|a|2|a|ab|a|夹角为a，b的夹角，则cos 思考：（1）若ab0，则一定有ab吗？（2）若ab0，则a，b一定是锐角吗？提示（1）若ab0，则不一定有ab，也可能a0或b0（2）当a，b0时，也有a0，故当a0时，ab不一定是锐角基础自测1思考辨析（1）在ABC中，B（）（2）在正方体ABCDABCD中，与的夹角为45.（）（3）0a0.（）（4）若ab0，则a，b为钝角（）答案（1）（2）（3）（4）2已知正方体ABCDABCD的棱长为a，设a，b，c，则，等于（）A30 B60C9

2、0D120DBDC是等边三角形，120.3已知|a|3，|b|2，ab3，则a，b_. 【导学号：46342138】cosa，b.所以a，b.合 作 探 究攻 重 难空间向量的数量积运算（1）已知a3p2q，bpq，p和q是相互垂直的单位向量，则ab（）A1 B2C3D4（2）如图3116所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：图3116（1）；（2）（3）（4）.解析（1）由题意知，pq0，p2q21所以ab（3p2q）（pq）3p22q2pq1.答案A|cos，cos 60.|2.（3）EFcos 60.（）|cos，|cos，cos 60cos 600.

3、规律方法在几何体中求空间向量的数量积的步骤（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.（3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.（4）代入公式ab|a|b|cosa，b求解.跟踪训练1（1）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则_. 46342139】a2a2cos 60a2.（2）在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA1，OB2，OC3，G为ABC的重心，则（）_.（）（）（）（）（）222223212.利用数量积证明空间的垂直关系已知空间

4、四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OGBC解连接ON，设AOBBOCAOC，又设a，b，c，则|a|b|c|.又（）（abc），cb.（abc）（cb）（acabbcb2c2bc）（|a|2cos |a|2cos |a|2|a|2）0.，即OGBC规律方法用向量法证明垂直关系的步骤（1）把几何问题转化为向量问题（2）用已知向量表示所证向量（3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0.（4）将向量问题回归到几何问题2如图3117，已知正方体ABCDABCD，CD与DC相交于点O，连接AO，求证：图3117（1）AOCD；（2）

5、AC平面BCD.证明（1）因为（），因为，所以（2）（）（22）（|2|2）0，所以，故AOCD.（2）因为（）（），可知0，0，|2，|2，|2|20，所以，所以ACBC同理可证，ACBD.又BC，BD平面BCD，BCBDB，所以AC平面BCD.利用数量积求夹角如图3118，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值. 46342140】图3118思路探究求异面直线OA与BC所成的角，首先来求与的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是，而向量夹角的取值范围为0，注意角度的转化解，|cos，|cos，84cos 13586c

6、os 1202416.cos，异面直线OA与BC的夹角的余弦值为.规律方法利用向量数量积求夹角问题的思路1求两个向量的夹角有两种方法：（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；（2）先求ab，再利用公式cosab求cosa，b，最后确定a，b2我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量（即直线的方向向量）；异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小3.如图3

7、119，已知直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分别为AB，BB的中点图3119（1）求证：CEAD；（2）求异面直线CE与AC所成角的余弦值解（1）证明：设a，b，c，根据题意，|a|b|c|且acca0.bc，cba.c2b20，即CEAD（2）ac，|a|，|a|，（ac）c2|a|2，cos，.异面直线CE与AC所成角的余弦值为.利用数量积求距离探究问题1异面直线AB，CD所成的角为60，则，的值是多少？提示：，60或1202如图3120，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若ABBCCD2，试求A，D两点间的距离图3120，|

8、2（）2|2|2|22BC2CD2122（22cos 90）8，|2，即A，D两点间的距离为2.如图3121所示，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，沿着它的对角线AC将ACD折起，使AB与CD成60角，求此时B，D间的距离图3121思路探究解ACD90，CD0，同理可得0.AB与CD成60角，60或，120.又，|2|2|2|22321cos，当，60时，|24，此时B，D间的距离为2；当，120时，|22，此时B，D间的距离为.规律方法1.利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算2用数量积求两点间距离的步骤：（1）用向量表示

9、此距离；（2）用其他向量表示此向量；（3）用公式aa|a|2，求|a|；（4）|a|即为所求距离4.如图3122所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60角，且OAOBOC2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离图3122解（），所以222222.|，即E，F间的距离为.当 堂 达 标固 双 基1已知e1，e2为单位向量，且e1e2，若a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为（）A6 B6C3 D3B由题意可得ab0，e1e20，|e1|e2|1，（2e13e2）（ke14e2）0，2k120，k6.2在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：（）

10、232；（）0；与的夹角为60其中真命题的个数为（） 46342141】A1 B2C3D0B对于，（）222232，故正确；对于，（）0，故正确对于，120，故错3在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，的值为（）A B CD0D|cosAOC|cosAOB|O|0，cos，0.4在空间四边形ABCD中，_.0原式（）0.5如图3123，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM2A1M，C1N2B1N.设a，b，C图3123（1）试用a，b，c表示向量；（2）若BAC90，BAA1CAA160，ABACAA11，求MN的长. 46342142】解（1）（ca）a（ba）abC（2）（abc）2a2b2c22ab2bc2a111025，|abc|，|abc|，即MN.