秋高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算313空间向量的数量积运算学案Word文档格式.docx

秋高中数学第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算313空间向量的数量积运算学案Word文档格式.docx

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若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·

b＝0

共线

同向：

则a·

b＝|a|·

|b|

反向：

b＝－|a|·

模

a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2

|a|＝

|a·

b|≤|a|·

夹角

θ为a，b的夹角，则cosθ＝

思考：

（1）若a·

b＝0，则一定有a⊥b吗？

（2）若a·

b>

0，则〈a，b〉一定是锐角吗？

[提示]　

（1）若a·

b＝0，则不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0

（2）当〈a，b〉＝0时，也有a·

0，故当a·

0时，〈a·

b〉不一定是锐角．

[基础自测]

1．思考辨析

（1）在△ABC中，〈，〉＝∠B．（　　）

（2）在正方体ABCDA′B′C′D′中，与的夹角为45°

.（　　）

（3）0·

a＝0.（　　）

（4）若a·

b<

0，则〈a，b〉为钝角．（　　）

[答案]　

（1）×

（2）√　（3）×

　（4）×

2．已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，设＝a，＝b，＝c，则〈，〉等于（　　）

A．30°

B．60°

　　C．90°

　　D．120°

D　[△B′D′C是等边三角形，〈，〉＝〈，〉＝120°

.]

3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·

b＝－3，则〈a，b〉＝________.

【导学号：

46342138】

π　[cos〈a，b〉＝＝＝－.

所以〈a，b〉＝π.]

[合作探究·

攻重难]

空间向量的数量积运算

（1）已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·

b＝（　　）

A．1　B．2　　　C．3　　　D．4

（2）如图3116所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：

图3116

（1）·

；

（2）·

（3）·

（4）·

.

[解析]　

（1）由题意知，p·

q＝0，p2＝q2＝1

所以a·

b＝（3p－2q）·

（p＋q）＝3p2－2q2＋p·

q＝1.

[答案]　A

＝·

＝||||cos〈，〉

＝cos60°

＝.

＝||2＝.

（3）EF·

＝－·

＝－×

cos60°

＝－.

（－）

－·

＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos60°

－cos60°

＝0.

[规律方法]　在几何体中求空间向量的数量积的步骤

（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.

（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.

（3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.

（4）代入公式a·

b＝|a||b|cos〈a，b〉求解.

[跟踪训练]

1．

（1）已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·

＝________.

46342139】

a2　[·

＋·

＝a2cos60°

＝a2.]

（2）在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·

（＋＋）＝________.

　[＝＋＝＋（＋）

＝＋[（－）＋（－）]

＝＋＋

∴·

（＋＋）＝·

（＋＋）

＝2＋2＋2

＝×

22＋×

32＋×

12＝.]

利用数量积证明空间的垂直关系

　已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：

OG⊥BC．

[解]　连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，

又设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|.

又＝（＋）

＝

＝（a＋b＋c），＝c－b.

＝（a＋b＋c）·

（c－b）

＝（a·

c－a·

b＋b·

c－b2＋c2－b·

c）

＝（|a|2·

cosθ－|a|2·

cosθ－|a|2＋|a|2）＝0.

∴⊥，即OG⊥BC．

[规律方法]　用向量法证明垂直关系的步骤

（1）把几何问题转化为向量问题．

（2）用已知向量表示所证向量．

（3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0.

（4）将向量问题回归到几何问题．

2．如图3117，已知正方体ABCDA′B′C′D′，CD′与DC′相交于点O，连接AO，求证：

图3117

（1）AO⊥CD′；

（2）AC′⊥平面B′CD′.

[证明]　

（1）因为＝＋＝＋（＋），

因为＝－，

所以·

＝（＋＋2）·

（－）＝（·

＋2·

－2·

）＝（||2－||2）＝0，所以⊥，故AO⊥CD′.

（2）因为·

＝（＋＋）·

（＋）

，

可知·

＝0，·

＝0，

·

＝||2，

＝－||2，·

＝||2－||2＝0，

所以⊥，所以AC′⊥B′C．

同理可证，AC′⊥B′D′.

又B′C，B′D′⊂平面B′CD′，B′C∩B′D′＝B′，所以AC′⊥平面B′CD′.

利用数量积求夹角

　如图3118，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°

，∠OAB＝60°

，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值.

46342140】

图3118

[思路探究]　求异面直线OA与BC所成的角，首先来求与的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．

[解]　∵＝－，∴·

＝||·

||·

cos〈，〉－||·

cos〈，〉＝8×

4×

cos135°

－8×

6×

cos120°

＝24－16.

∴cos〈，〉＝＝＝，∴异面直线OA与BC的夹角的余弦值为.

[规律方法]　利用向量数量积求夹角问题的思路

1．求两个向量的夹角有两种方法：

（1）结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；

（2）先求a·

b，再利用公式cos〈a·

b〉＝求cos〈a，b〉，最后确定〈a，b〉．

2．我们也可以用这种方法求两条异面直线所成的角，步骤如下：

①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量（即直线的方向向量）；

②异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；

③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；

④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值应将余弦值加上绝对值，进而求出异面直线所成的角的大小．

3.如图3119，已知直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°

，D，E分别为AB，BB′的中点．

图3119

（1）求证：

CE⊥A′D；

（2）求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

[解]　

（1）证明：

设＝a，＝b，＝c，

根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·

c＝c·

a＝0.

∴＝b＋c，＝－c＋b－a.

＝－c2＋b2＝0，

∴⊥，即CE⊥A′D．

（2）∵＝－a＋c，∴||＝|a|，||＝|a|，

∵·

＝（－a＋c）·

＝c2＝|a|2，

∴cos〈，〉＝＝.

∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.

利用数量积求距离

[探究问题]

1．异面直线AB，CD所成的角为60°

，则〈，〉的值是多少？

提示：

〈，〉＝60°

或120°

2．如图3120，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°

，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，试求A，D两点间的距离．

图3120

∵＝＋＋，∴||2＝（＋＋）2＝||2＋||2＋||2＋2·

BC＋2·

CD＋2·

＝12＋2（2·

2·

cos90°

）＝8，

∴||＝2，即A，D两点间的距离为2.

　如图3121所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°

，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°

角，求此时B，D间的距离．

图3121

[思路探究]　→→

[解]　∵∠ACD＝90°

，∴·

CD＝0，同理可得·

＝0.∵AB与CD成60°

角，∴〈，〉＝60°

或〈，〉＝120°

.又＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·

＝3＋2×

1×

cos〈，〉．

∴当〈，〉＝60°

时，||2＝4，此时B，D间的距离为2；

当〈，〉＝120°

时，||2＝2，此时B，D间的距离为.

[规律方法]　1.利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．

2．用数量积求两点间距离的步骤：

（1）用向量表示此距离；

（2）用其他向量表示此向量；

（3）用公式a·

a＝|a|2，求|a|；

（4）|a|即为所求距离．

4.如图3122所示，在空间四边形OABC中，OA，OB，OC两两成60°

角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离．

图3122

[解]　＝＋＝＋（＋）

＝－＋＋，

所以＝2＋2＋2＋2×

×

＋2×

＝2.

∴||＝，即E，F间的距离为.

[当堂达标·

固双基]

1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为（　　）

A．－6　　　　　　　B．6

C．3D．－3

B　[由题意可得a·

b＝0，e1·

e2＝0，

|e1|＝|e2|＝1，

∴（2e1＋3e2）·

（ke1－4e2）＝0，

∴2k－12＝0，∴k＝6.]

2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：

①（＋＋）2＝32；

②·

（－）＝0；

③与的夹角为60°

其中真命题的个数为（　　）

46342141】

A．1　B．2　　　C．3　　　D．0

B　[对于①，（＋＋）2＝2＋2＋2＝32，故①正确；

对于②，·

（－）＝·

＝0，故②正确．

对于③，〈，〉＝120°

，故③错．]

3．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为（　　）

A．B．C．－　　　　D．0

D　[·

＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB＝||||－|||O|＝0，

∴⊥，∴cos〈，〉＝0.]

4．在空间四边形ABCD中，·

＝________.

0　[原式＝·

（－）＋·

＝0.]

5．如图3123，三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝C．

图3123

（1）试用a，b，c表示向量；

（2）若∠BAC＝90°

，∠BAA1＝∠CAA1＝60°

，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长.

46342142】

[解]　

（1）＝＋＋

＝＋＋＝（c－a）＋a＋（b－a）

＝a＋b＋C．

（2）∵（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·

b＋2b·

c＋2a·

＝1＋1＋1＋0＋2×

＝5，

∴|a＋b＋c|＝，

∴||＝|a＋b＋c|＝，

即MN＝.