1、数复合而成? 解析:(1)自变量x需满足3-2x-x2 0得-3 x 1 函数的定义域为(-3,1) (2)自变量x需满足2x-1 0即(2x-1)(x-3) 0 3-x 解得1 x 3函数的定义域为(1,3) 22 (3)自变量x需满足3-x0且3x+70解不等式组得函数定义域为(-,-7) (-7,3) 33 七、总结标杆题 如果没有标明定义域,则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围;求复合函数的定义域时,首先应观察函数是由哪些初等函数复合而成的,然后将复合函数分解为一些初等函数,根据初等函数求定义域的方法,列出使函数有意义的不等式(组),其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交
2、集。注意:结果务必写成集合或区间形式。 八、类比训练 (1)y=x+1 x-3(2)y=x-3+lg(x-5) 通过学生的探究,找出与标杆题的异同及其解题方法与规律 九、巩固练习 1、y=x-2) x 2、y=x+-x十、提升练习: 求函数y=(x-2)0 -x+2x+32+lgx的定义域 十一、课堂小结 函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础,处理函数问题时必须树立定义域优先的原则,若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。求定义域的基本步骤应熟练掌握。 十二、作业 十三、教学反思【篇二:函数定义域求法教案】 函数定义教案
3、 一,函数定义 1函数的概念: 设a、b是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合a中的任意一个数x,在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:ab为从集合a到集合b的一个函数。记作:y=f(x),xa。其中,x叫做自变量,x的取值范围a叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xa 叫做函数的值域。 注意:(1)“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; (2)函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值,一个数,而不是f乘x 2构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 (1)解决一切函数问题必
4、须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式: 自然型:指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如:分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等); 限制型:指命题的条件或人为对自变量x的限制,这是函数学习中重点,往往也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误; 实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义。 (2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题 配方法(将函数转化为二次函数);判别式法(将函数转化为二次方程);不等式法(运用不等式的各种性质);函数法(运用基本函数性质,
5、或抓住函数的单调性、函数图象等)。 3两个函数的相等: 函数的定义含有三个要素,即定义域a、值域c和对应法则f。当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。因此,定义域和对应法则为函数的两个基本条件,当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。 4区间 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示 5映射的概念 一般地,设a、b是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合a中的任意一个元素x,在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:a?b为从集合a到集合b的一个
6、映射。记作“f:b”。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就叫映射。(1)这两个集合有先后顺序,a到b的射与b到a的映射是截然不同的其中f表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。 (2)“都有唯一”什么意思? 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思 16常用的函数表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式; (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3)图象法:就是用函数图
7、象表示两个变量之间的关系 7分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数又称分段函数; 8复合函数 若y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么y=fg(x)称为复合函数,u称为中间变量,它的取值范围是g(x)的值域 二典例解析 题型1:函数概念 ?x2?4x?6,x?0例1设函数f(x)?则不等式f(x)?f(1)的解集是( ) x?0? a.(?3,1)?(3,?) c.(?1,1)? b.(?(2,?) d.(?,?3)?(1,3)3x,x?1,变式题:1已知函数f(x)?若f(x)?2,则x? .x,x?1, 例2(1)函数f
8、?x?对于任意实数x满足条件f?2?1,若f?1?5,则fxf?f?5?_ _; 题型二:判断两个函数是否相同 例3试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)=x2,g(x)=x3; (2)f(x)=x?0,?1|x|,g(x)=?1x?0; 2 (3)f(x)=2nx2n?1,g(x)=(2nx)2n1(nn*); (4)f(x)=x (5)f(x)=x22x1,g(t)=t22t1。 三,求函数的定义域的类型: 一、 含分式的函数 在求含分式的函数的定义域时,要注意两点:(1)分式的分母一定不能为0;(2)绝对不能先化简后求函数定义域。 x?1,g(x)=x2?x; x2?1例1
9、 求函数f(x)=的定义域 x?1 二、 含偶次根式的函数 注意(1)求含偶次根式的函数的定义域时,注意偶次根式的被开方数不小于0,通过求不等式来求其定义域;(2)在研究函数时,常常用到区间的概念,它是数学中常用的术语和符号,注意区间的开闭情况. 例1 求函数yax?3(a为不等于0的常数)的定义域. 三、 复合型函数 注意 函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的,则它的定义域是各基本函数定义域的交集,通过列不等式组来实现. 例1 求函数y3x?2 练习: 1.求下列函数的定义域 (1)y?1; 2(x?3)02x?3的定义域 (2)y?2;4 3(3)y?|x| (4 )y; 2(6)
10、y?(a为常数). (5)y1; |x|?3 2.(1)已知函数f (x)的定义域为(0, 1),求f (x2)的定义域. (2)已知函数f (2x + 1)的定义域为(0, 1),求f (x)的定义域. (3)已知函数f (x + 1)的定义域为2, 3,求f (2x2 2)的定义域. 抽象函数 例1. 设函数(1)函数 (2)函数 练习 1已知f(x)的定义域为1,3,求f(x-1)的定义域. 2已知函数f(x)的定义域为(0,1),则函数f(x?1)的定义域是_。 2x3设函数y?f(x)的定义域为a?4,?),给出下列函数:y?f(2x?4),y?f),4 16y?f(x),y?f()
11、,其定义域仍是a的有( ) x a. 1个b. 2个c. 3个d. 4个 的定义域,求的定义域为的定义域。 的定义域为的定义域, ,则中,从中解得的取值,则 的定义域为_。 的定义域为_。 12 4(江西卷3)若函数y?f(x)的定义域是0,2,则函数g(x)?f(2x)的定义域是b x? a0,1 b0,1) c d(0,1) 0,1)(1,4 (二)、已知 的定义域,求的定义域。 4其解法是:若定义域。 例2. 已知函数的定义域为,则的定义域为_。 的定义域为,则由确定的范围即为的练习 1已知函数f(2,则函数f(x)的定义域是_。4)的定义域为(0,1) 2,已知f(2x-1)的定义域为
12、-1,1,求f(x)的定义域 (三)、已知其解法是:可先由定义域。 例3. 函数定义域是,则的定义域是( ) 的定义域,求定义域求得的定义域。 的定义域,再由的定义域求得的 a.b.c.d. 1函数f(2x-1)的定义域为1,3,求函数f(x2+1)的定义域. 2已知f(2x-1)定义域为0,1,求f(3x)的定义域 5【篇三:教案函数定义域和值域】函数定义域和值域解法归纳 一、教学目标 1、 通过不同的生活实例帮助学生建立函数概念的背景,理解函数是描述两个变量之间的依 赖关系的重要数学模型,从而正确理解函数的概念。 2、 能用集合与对应的语言来刻画函数,了解构成函数的三个要素。 3、 通过从
13、实际问题中抽象概括函数概念的活动,培养抽象概括能力。 4、 通过创设实际例子的情景,让学生接近现实生活,关注社会实际;培养学生的语言表达能力,团结协作精神。 二、教学重难点 重点:体会函数是描述两个变量之间的依赖关系的重要数学模型,从集合的观点正确理解函数的概念。 难点:函数概念及对符号y=f(x)意义的理解。 三、基础知识 1、函数的定义域和值域: (1)概念:略 (2)函数的定义域的常用求法: 分式的分母不等于零; 偶次方根的被开方数大于等于零; 对数的真数大于零; 指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1; 中; 如果函数是由实际意义确定的解析式,应依据自变量的实际意义确定其取 值范围。
14、 2、求函数的解析式的常用求法: (1)、定义法;(2)、换元法;(3)、待定系数法;(4)、函数方程法;(5)、参数法;(6)、配方法 3、求函数值域的常用方法: (1)、换元法;(2)、配方法;(3)、判别式法;(4)、几何法;(5)、不等式法;(6)、单调性法;7、直接法 4、求函数最值得常用方法: (1)、配方法;(3)、不等式法;(5)、单调性法 5、函数单调性的常用结论: (1)、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数,则f(x)+g(x)在这个区间上也为增(减)函数 重庆专注教育考试服务中心 江北校区:重庆市江北区观音桥步行街嘉年华大厦6楼(苏宁电器右侧):8679878
15、8 渝北校区:重庆市渝北区两路步行街金易都会七楼705(米萝咖啡楼上) 电话:67158018 龙湖校区:重庆市渝北区新南路龙湖moco17楼5-8(水晶郦城旁) 电话88199890 (kz);余切函数y=cotx (2)、若f(x)为增(减)函数,则-f(x)为减(增)函数 (3)、若f(x)与g(x)的单调性相同,则y=fg(x)是增函数;若f(x)与g(x)的单调性不同,则y=fg(x)是减函数。 (4)、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 (5)、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 6、函数奇偶性的常用结论:
16、 (1)、如果一个奇函数在x=0处有定义,则f(0)=0,如果一个函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数,则f(x)=0(反之不成立) (2)、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 (3)、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 (4)、两个函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。 (5)、若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)可以表示为 11 f(x)=f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x),该式的特点是:右端为一个奇函数 22 和一个偶函数的和。 四、
17、典型例题 (一)、一种特殊的对应:映射 (1) (2)(3) (4) 1对于集合a中的每一个元素,在集合b中都有一个(或几个)元素与此相对应。 2对应的形式:一对多(如)、多对一(如)、一对一(如、)重庆专注教育考试服务中心 3映射的概念(定义):强调:两个“一”即“任一”、“唯一”。 4注意映射是有方向性的。 5符号:f : aa到集合b的映射。 6讲解:象与原象定义。 再举例:a=1,2,3,4 b=3,4,5,6,7,8,9 法则:乘2加1是映射2?a=n b=0,1 法则:b中的元素x 除以2得的余数 是映射3?a=zb=n * + 法则:求绝对值 不是映射(a中没有象) 4?a=0,
18、1,2,4 b=0,1,4,9,64 法则:aa-1) 是映射 一一映射 观察上面的例图(2) 得出两个特点: 1?对于集合a中的不同元素,在集合b中有不同的象 (单射) 2?集合b中的每一个元素都是集合a中的每一个元素的象 (满射) 即集合b中的每一个元素都有原象。 从映射的观点定义函数(近代定义):函数实际上就是集合a到集合b的一个映射 f:ab b 非空。 2?a:定义域,原象的集合 b:值域,象的集合(c)其中c ? bf:对应法则xayb 3?函数符号:y=f(x) y 是 x 的函数,简记 f(x) 函数的三要素: 对应法则、定义域、值域 只有当这三要素完全相同时,两个函数才能称为
19、同一函数。 例:判断下列各组中的两个函数是否是同一函数?为什么? 1y1= (x+3)(x-5) x+3 y2=x-5 解:不是同一函数,定义域不同 2。 y1=x+1x-1 y2=(x+1)(x-1) 解: 3。 f(x)=x g(x)= x2 解:不是同一函数,值域不同 4f(x)=x f(x)=x3是同一函数 5f1(x)=(2x-5)2 f2(x)=2x-5解:不是同一函数,定义域、值域都不同 (二)、关于复合函数 设 f(x)=2x-3g(x)=x+2 则称 fg(x)(或gf(x)为复合函数。 fg(x)=2(x+2)-3=2x+1 gf(x)=(2x-3)+2=4x-12x+11
20、 例:已知:f(x)=x-x+3求:f(解:f( )f(x+1) x 112122 )=()-+3 f(x+1)=(x+1)-(x+1)+3=x+x+3 xxx (三)函数定义域、值域、解析式的求解方法 1. 函数定义域的求法 一、函数的定义域 1函数定义域的求解方法 求函数的定义域主要是通过解不等式(组)或方程来获得一般地,我们约定:如果不加说明,所谓函数的定义域就是自变量使函数解析式有意义的实数的集合 (1)若f(x)是整式,则定义域为全体实数 (2)若f(x)是分式,则定义域为使分母不为零的全体实数 (3)若f(x)是偶次根式,则定义域为使被开方式为非负的全体实数 (4)若f(x)为复合
21、函数,则定义域由复合的各基本的定义域所组成的不等式组确定如:f(x)的定义域为a,b,则复合函数fg(x)的定义域应由不等式ag(x)b解出 (5)由实际问题确定的函数,其定义域由自变量的实际意义确定 1. 复合函数的定义域。如:已知函数f(x)的定义域为(1,3),则函数f(x)=f(x-1)+f(2-x)的定义域。x-1(1,3)?2-x(1,3) 2. 函数f(x)的定义域为(a,b),函数g(x)的定义域为(m,n),g(x)(a,b)? x(m,n),解不等式,最后结果才是 fg(x)则函数的定义域为? 3.这里最容易犯错的地方在这里: 已知函数f(x-1)的定义域为(1,3),求函数f(x)的定义域;或者说,已知函数f(x-1) 的定义域为(3,4), 则函数f(2x-1)的定义域为_? 2.函数值域的求法 函数值域的求法方法有好多,主要是题目不同,或者说稍微有一个数字出现问题, 对我们来说,解题的思路可能就会出现非常大的区别.这里我主要弄几个出来,大家一起看一下吧. (1)、直接观察法 对于一些比较简单的函数,如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。 y= 例 求函数 ,x1,2x的值域 (2)、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 y=x-2x+5,xr的值域。 例、求函数
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