高考数学大一轮复习第五章解三角形第32课正弦定理与余弦定理的综合应用文.docx

1、高考数学大一轮复习第五章解三角形第32课正弦定理与余弦定理的综合应用文第32课 正弦定理与余弦定理的综合应用(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修5P16练习1改编)在ABC中，若sin Asin Bsin C=7813，则cos C=.【答案】-【解析】由正弦定理知abc=7813，再由余弦定理得cos C=-.2.(必修5P24复习题1改编)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b2=bc，sinC=2sinB，则角A=.【答案】【解析】由sinC=2sinB得c=2b，代入a2-b2=bc得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a=b，所以cosA=，所

2、以角A=.3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为n mile/h.(第3题)【答案】4.(必修5P26本章测试7改编)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin A+csin C-asin C=bsin B，则角B=.【答案】45【解析】由正弦定理得a2+c2-ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，故cos B=，因此B=45.5.(必修5P19例4改编)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若

3、a，b，c成等比数列，则角B的取值范围为.【答案】【解析】因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，所以cos B=，因为0B，所以0B.1.测量问题的有关名词(1)仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角.其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角.(2)方向角：是指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏东30，南偏西45.(3)方位角：是指北方向线顺时针转到目标方向线的角.(4)坡角：是指坡面与水平面所成的角.(5)坡比：是指坡面的铅直高度与水平宽度之比.2.求解三角形实际问题的基本步骤(1)分析：理解题意，弄清已知和未知，画出示意图；(2)

4、建模：根据条件和目标，构建三角形，建立一个解三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的角是否符合实际意义，从而得到实际问题的解.【要点导学】要点导学各个击破利用正、余弦定理解常见的三角问题例1(2016苏北四市期中)在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=4，c=6，且asin B=2.(1)求角A的大小；(2)若D为BC的中点，求线段AD的长.【解答】(1)由正弦定理，得asinB=bsinA.因为b=4，asin B=2，所以sin A=.又0A，所以A=.(2)若b=4，c=6，由余弦定理得a2=b

5、2+c2-2bccos A=16+36-224=28，所以a=2.又因为asin B=2，所以sin B=，所以cos B=.因为D为BC的中点，所以BD=DC=.在ABD中，由余弦定理，得AD2=AB2+BD2-2ABBDcos B，即AD2=36+7-26=19，所以AD=.变式(2015全国卷)已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，且sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b，求cos B的值；(2)若B=90，且a=，求ABC的面积.【解答】(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又因为a=b，所以b=2c，a=2c，由余弦定理可得cos B=.(2)由(1)知b2

6、=2ac.因为B=90，由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac，得c=a=.所以ABC的面积为1.【精要点评】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择变形的方向.实际问题中解三角形例22011年5月中下旬，强飓风袭击美国南部与中西部，造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难，美国救援队随时待命进行救援.如图(1)，某天，信息中心在A处获悉：在其正东方向相距80 n mile的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30，相距40 n mile的C处的救援船，救援船立即朝北偏东角的方向沿直线CB

7、前往B处救援.(例2(1)(1)若救援船的航行速度为60 n mile/h，求救援船到达客轮遇险位置的时间(2.646，结果保留两位小数)；(2)求tan 的值.【思维引导】(1)把问题转化为三角形中的边角关系，因此本题的关键是找出图中的角和边，利用余弦定理求出BC即可解决；(2)首先利用正弦定理求出sinACB，然后利用同角基本关系求出tan ACB，再利用两角和的正切公式即可得出结果.(例2(2)【解答】(1)如图(2)，在ABC中，AB=80，AC=40，BAC=120，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120，即BC=40，故救援船到达客轮遇险位置所需时间为406

8、0=1.76 (h).(2)在ABC中，由正弦定理可得=，则sin ACB=sin BAC=.显然ACB为锐角，故cos ACB=，tan ACB=，而=ACB+30.所以tan =tan(ACB+30)=.变式如图，某海岛上一观察哨A在上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的C处，12时20分测得该轮船在海岛北偏西60的B处，12时40分，该轮船到达海岛正西方5 km的E港口，若该轮船始终匀速前进，求该轮船的速度.(变式)【解答】设ABE=，船的速度为v km/h，则BC=v，BE=v，在ABE中，=，即sin =.在ABC中，=，即AC=.在ACE中，=25+-25cos 150，化简得v2

9、=25+100=，即v2=93，所以v=.故船速为 km/h.例3(2015苏锡常镇、宿迁一调)如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心、半径为10 m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离)，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45，30和60.(例3)(1)求烟囱AB的高度；(2)如果要在CE间修一条直路，求CE的长.【思维引导】一要理解这是一个立体图形，若设AB=h m，在RtABE中，AEB=60，可求得EB=h.(1)在RtABO中，AOB=

10、30，OB=h，由OE=10，可求出AB.(2)在RtABC中，ACB=45，BC=AB，在CBO中，求出cos COB，在CEO中，求CE的长.【解答】(1)设AB的高度为h m.在CAB中，因为ACB=45，所以CB=h.在OAB和EAB中，因为AOB=30，AEB=60，所以OB=h，EB=h.由题意得h-=10，解得h=15.答：烟囱的高度为15 m.(2)在OBC中，OC=10 m，OB=15 m，BC=15 m，所以cos COB=，所以在OCE中，OC=10 m，OE=10 m，所以CE2=OC2+OE2-2OCOEcos COE=300+300-600=100.答：CE的长为1

11、0 m.变式(2015苏锡常镇三模)如图(1)，甲船从A处以每小时30 n mile的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A南偏西75方向且与A相距10 n mile 处.当甲船航行20 min到达C处时，乙船航行到甲船的南偏西60方向的D处，此时两船相距10 n mile.(变式(1)(1)求乙船每小时航行多少海里?(2)在C处的北偏西30方向且与C相距 n mile处有一个暗礁E，暗礁E周围 n mile范围内为航行危险区域.问：甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险?如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险?如无危险，请说明理由.(变式(2)【解答】(1)如图(2)，

12、连接AD，由题知CD=10，AC=30=10，ACD=60，所以ACD为等边三角形，所以AD=10，又因为DAB=45，在ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2ABADcos 45=100，BD=10，v=103=30(n mile/h).答：乙船的速度为每小时30 n mile.(2)在海平面内，以点B为原点，分别以东西方向作x轴，以南北方向作y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.危险区域在以E为圆心，半径为r=的圆内，因为DAB=DBA=45，易知直线BD的方程为y=x，E的横坐标为ABcos 15-CEsin 30，纵坐标为ABsin 15+CEcos 30+AC，求得A(5+5

13、，5-5)，C(5+5，5+5)，E，点E到直线BD的距离为d1=1，故甲船没有危险.以E为圆心，半径为的圆截直线BD所得的弦长为l=2=2，所以乙船遭遇危险持续时间t=(h).答：甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险开始持续 h后脱险.解三角形中的不等关系微课9 典型示例例4如图，在等腰直角三角形OPQ中，POQ=90，OP=2，点M在线段PQ上.(例4)(1)若OM=，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON=30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小?并求出面积的最小值.【思维导图】【规范解答】(1)在OMP中，P=45，OM=，OP=2.由余弦定理，得OM2=OP2+PM2-

14、2OPPMcos 45，得PM2-4PM+3=0，解得PM=1或PM=3.(2)设POM=，060，在OMP中，由正弦定理，得=，所以OM=，同理ON=，故SOMN=OMONsin MON=.因为060，所以302+30150.所以当=30时，sin(2+30)取得最大值为1，此时OMN的面积取得最小值，即POM=30时，OMN的面积最小，其最小值为8-4. 总结归纳(1)求最值首先选择适当的变量作为自变量，若动点在圆上，则选择圆心角为自变量，三角形(特别是直角三角形)中常选择一锐角为自变量，最关键的是列出解析式.(2)若角是自变量，常把解析式化为f(x)=Asin(x+)+B的形式，求得最值. 题组强化1.若ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C，则cos C的最小值是.【答案】【解析】由sin A+sin B=2sin C及正弦定理可得a+b=2c，所以cos C=，当且仅当3a2=2b2，即=时等号成立，所以cos C的最小值为.2.在锐角三角形ABC中，已知A=2