（2）若b=4，c=6，由余弦定理得
a2=b2+c2-2bccosA=16+36-2×24×=28，
所以a=2.
又因为asinB=2，所以sinB=，
所以cosB=.
因为D为BC的中点，所以BD=DC=.
在△ABD中，由余弦定理，
得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB，
即AD2=36+7-2×6××=19，
所以AD=.
变式 （2015·全国卷）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，且sin2B=2sinAsinC.
（1）若a=b，求cosB的值；
（2）若B=90°，且a=，求△ABC的面积.
【解答】
（1）由题设及正弦定理可得b2=2ac.
又因为a=b，所以b=2c，a=2c，
由余弦定理可得cosB==.
（2）由
（1）知b2=2ac.
因为B=90°，由勾股定理得a2+c2=b2.
故a2+c2=2ac，得c=a=.
所以△ABC的面积为1.
【精要点评】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择变形的方向.
实际问题中解三角形
例2 2011年5月中下旬，强飓风袭击美国南部与中西部，造成了巨大的损失.为了减少强飓风带来的灾难，美国救援队随时待命进行救援.如图
（1），某天，信息中心在A处获悉：
在其正东方向相距80nmile的B处有一艘客轮遇险，在原地等待救援.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距40nmile的C处的救援船，救援船立即朝北偏东θ角的方向沿直线CB前往B处救援.
（例2
（1））
（1）若救援船的航行速度为60nmile/h，求救援船到达客轮遇险位置的时间（≈2.646，结果保留两位小数）；
（2）求tanθ的值.
【思维引导】
（1）把问题转化为三角形中的边角关系，因此本题的关键是找出图中的角和边，利用余弦定理求出BC即可解决；
（2）首先利用正弦定理求出sin∠ACB，然后利用同角基本关系求出tan∠ACB，再利用两角和的正切公式即可得出结果.
（例2
（2））
【解答】
（1）如图
（2），
在△ABC中，AB=80，
AC=40，∠BAC=120°，
由余弦定理可知
BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°，
即BC==40，
故救援船到达客轮遇险位置所需时间为
40÷60=≈1.76（h）.
（2）在△ABC中，
由正弦定理可得=，
则sin∠ACB=·sin∠BAC=.
显然∠ACB为锐角，
故cos∠ACB=，tan∠ACB=，
而θ=∠ACB+30°.
所以tanθ=tan（∠ACB+30°）==.
变式 如图，某海岛上一观察哨A在上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°的C处，12时20分测得该轮船在海岛北偏西60°的B处，12时40分，该轮船到达海岛正西方5km的E港口，若该轮船始终匀速前进，求该轮船的速度.
（变式）
【解答】设∠ABE=θ，船的速度为vkm/h，
则BC=v，BE=v，
在△ABE中，=，即sinθ=.
在△ABC中，=，
即AC===.
在△ACE中，
=25+-2×5××cos150°，
化简得v2=25++100=，
即v2=93，所以v=.
故船速为km/h.
例3 （2015·苏锡常镇、宿迁一调）如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心、半径为10m的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E.经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°.
（例3）
（1）求烟囱AB的高度；
（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长.
【思维引导】一要理解这是一个立体图形，若设AB=hm，在Rt△ABE中，∠AEB=60°，可求得EB=h.
（1）在Rt△ABO中，∠AOB=30°，OB=h，由OE=10，可求出AB.
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=45°，BC=AB，在△CBO中，求出cos∠COB，在△CEO中，求CE的长.
【解答】
（1）设AB的高度为hm.
在△CAB中，因为∠ACB=45°，
所以CB=h.
在△OAB和△EAB中，因为∠AOB=30°，∠AEB=60°，
所以OB=h，EB=h.
由题意得h-=10，解得h=15.
答：
烟囱的高度为15m.
（2）在△OBC中，OC=10m，OB=15m，BC=15m，
所以cos∠COB===，
所以在△OCE中，OC=10m，OE=10m，
所以CE2=OC2+OE2-2OC·OEcos∠COE=300+300-600×=100.
答：
CE的长为10m.
变式 （2015·苏锡常镇三模）如图
（1），甲船从A处以每小时30nmile的速度沿正北方向航行，乙船在B处沿固定方向匀速航行，B在A南偏西75°方向且与A相距10nmile处.当甲船航行20min到达C处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的D处，此时两船相距10nmile.
（变式
（1））
（1）求乙船每小时航行多少海里?
（2）在C处的北偏西30°方向且与C相距nmile处有一个暗礁E，暗礁E周围nmile范围内为航行危险区域.问：
甲、乙两船按原航向和速度航行有无危险?
如果有危险，从有危险开始多少小时后能脱离危险?
如无危险，请说明理由.
（变式
（2））
【解答】
（1）如图
（2），连接AD，
由题知CD=10，AC=×30=10，∠ACD=60°，
所以△ACD为等边三角形，
所以AD=10，又因为∠DAB=45°，
在△ABD中，由余弦定理得
BD2=AD2+AB2-2AB×ADcos45°=100，
BD=10，v=10×3=30（nmile/h）.
答：
乙船的速度为每小时30nmile.
（2）在海平面内，以点B为原点，分别以东西方向作x轴，以南北方向作y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.危险区域在以E为圆心，半径为r=的圆内，
因为∠DAB=∠DBA=45°，
易知直线BD的方程为y=x，
E的横坐标为ABcos15°-CEsin30°，纵坐标为ABsin15°+CEcos30°+AC，求得A（5+5，5-5），C（5+5，5+5），E，
点E到直线BD的距离为d1==1<，故乙船有危险；
点E到直线AC的距离为d2=>，
故甲船没有危险.
以E为圆心，半径为的圆截直线BD所得的弦长为l=2=2，
所以乙船遭遇危险持续时间t==（h）.
答：
甲船没有危险，乙船有危险，且在遭遇危险开始持续h后脱险.
解三角形中的不等关系
微课9
●典型示例
例4 如图，在等腰直角三角形OPQ中，∠POQ=90°，OP=2，点M在线段PQ上.
（例4）
（1）若OM=，求PM的长；
（2）若点N在线段MQ上，且∠MON=30°，问：
当∠POM取何值时，△OMN的面积最小?
并求出面积的最小值.
【思维导图】
【规范解答】
（1）在△OMP中，∠P=45°，OM=，OP=2.
由余弦定理，得OM2=OP2+PM2-2×OP×PM×cos45°，
得PM2-4PM+3=0，解得PM=1或PM=3.
（2）设∠POM=α，0°≤α≤60°，在△OMP中，由正弦定理，得=，
所以OM=，同理ON=，
故S△OMN=×OM×ON×sin∠MON
=×
=
=
=
=
==.
因为0°≤α≤60°，所以30°≤2α+30°≤150°.
所以当α=30°时，sin（2α+30°）取得最大值为1，此时△OMN的面积取得最小值，即∠POM=30°时，△OMN的面积最小，其最小值为8-4.
●总结归纳
（1）求最值首先选择适当的变量作为自变量，若动点在圆上，则选择圆心角为自变量，三角形（特别是直角三角形）中常选择一锐角为自变量，最关键的是列出解析式.
（2）若角是自变量，常把解析式化为f（x）=Asin（ωx+φ）+B的形式，求得最值.
●题组强化
1.若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是 .
【答案】
【解析】由sinA+sinB=2sinC及正弦定理可得a+b=2c，
所以cosC===≥=，
当且仅当3a2=2b2，即=时等号成立，所以cosC的最小值为.
2.在锐角三角形ABC中，已知A=2
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