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1、 设抛物线的顶点为点 Q ，当 60 BQC90 时，求 m 的变化范围。函数图象上点的存在性问题中的全等、相似与角度（下）【例 1 】如图，抛物线 y ax 2 bx 3 与 与 x 轴交于 A ，B 两点，与 y 轴交于 C点，且 OB OC 3OA 。求抛物线的解析式 探究坐标轴上是否存在点 P ，使得以点 P ，A ，C 为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出 P 点坐标，若不存在，请说明理由； 直线 y x 1 交轴于 D 点， E 为抛物线顶点。若 DBC ， CBE ，求 的值。【例 2 】抛物线 y x 2 x 1 过点 A （1 ，

2、0） ， B （ x 2 ， 0） ，交 y 轴正半轴于点 C ，在抛物线上 （ 在 B 点的右侧 ） 是否存在一点 P ，使得 PCB CBA ACB ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由。【例 3 】在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y x 2 bx c 与x 轴交于 A ， B 两点 （ 点 A 在点 B 的左侧 ） ，与 y 轴交于点 C ，点 B 的坐标为的坐标为 （3 ， 0） ， 将直线 y kx 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后恰好经过B ， C 两点。 求直线 BC 及抛物线的解析式； 设抛物线的顶点为 D ，点 P 在抛物线的对称轴上，且 APD AC

3、B ，求点 P 的坐标； 连结 CD ，求 OCA 与 OCD 两角和的度数。函数图象上点的存在性问题中的距离与面积（上）二次函数与线段最值动点满足线段间大小关系、和差最值等。中考主要考查以下两点：“两点间线段最短”“垂线段最短”【例 1 】从 A 点出发，先到直线 l 上的一点 P ，再在 l 上移动一段固定的距离PQ ，再回到点 B ，求作 P 点使移动的距离最短。【例 2】抛物线 y - x 2 2x 3 与 与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 右侧）与 y 轴交于点 C ，点 P 为抛物线上一动点，若点 P 到直线 y x 的距离为 ，求点 P 的坐标。【例 3 】 已知：二次

4、函数 y ax 2 2 ax 3 a （ a 0） 的图像的顶点为 H，与 x 轴交于 A 、B两点 （ B 在A 点右侧 ） ，点 H ，B关于直线 l ：y x对称。求 A 、B 两点坐标，并证明 A 点在直线 l 上；求二次函数的解析式；过点 B 作直线 BK AH 交直线 l 于 于 K 点，M 、 N 分别为直线 AH和直线 l 上的两个动点，连结 HN 、 NM 、 MK ，求 HN NM MK和的最小值。函数图象上点的存在性问题中的距离（下）【例 1 】在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线ymx 2mxn 经过 P（， 5） ，A （0 ， 2） 两点。 求此抛物线的解析式；设抛

5、物线的顶点为 B ，将直线 AB 沿 y 轴向下平移两个单位得到直线l ，直线 l 与抛物线的对称轴交于 C 点，求直线 l 的解析式； 在 的条件下，求到直线 OB 、OC 、BC 距离相等的点的坐标。【例 2 】如图，以 A 为顶点的抛物线与 y 轴交于点 B 。已知 A 、B 两点的坐标分别为 （3 ， 0） 、 （0 ， 4） 。 求抛物线的解析式；设 M （ m ，n ） 是抛物线上的一点 （ m 、n 为正整数 ） ，且它位于对称轴的右侧。若以 M 、B 、O 、A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点 M 的坐标； 在 的条件下， 试问： 对于抛物线对称轴上的任意一

6、点 P，PA 2 PB 2PM 2 28 是否总成立？请说明理由。【例 3 】抛物线 y - x 2 2 x 3 与 x 轴交于点 A 、B （ 点 A 在点 B 右侧 ） ，与 y 轴交于点C ，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE 、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E点坐标。函数图象上点的存在性问题中的三角形与四边形（上）特殊图形一般指： 三角形中的等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形。四边形中的平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形。四边形中的平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、利用特殊图形的特性来确定顶点的位置。【例 1 】已

7、知抛物线 y x 2 2x 3 的的顶点为 D ， 点 P、 Q 是抛物线上的动点，若 DPQ是等边三角形，求 DPQ 的面积。【例 2 】已知抛物线 y x 2 2x 3 的的顶点为 D ， 点 P、Q 是抛物线上的动点，点C为直角坐标系内一点，若四边形 DPCQ 是正方形，求正方形的面积。【例 3 】已知抛物线 y ax 2 bx 3（a0）与 x 轴交于点 A（1 ，0） 和点 B（-3 ，0），与 y 轴交于点 C ，顶点为 D 。设 G 点为抛物线上一动点，过 G 作 GH垂直 x 轴于点 H ，若BCD与BHG 相似，是否存在符合条件的 G点坐标？若存在，请求出 G 点坐标，若不存

8、在，请说明理由。【例 4 】已知二次函数 y ax 2 bx c（a0） 的图象经过点 A（1 ，0） ，B（2 ，0） ，C（0 ，-2） ，直线 x m（m 2） 与轴交于点 D 。 求二次函数的解析式； 在直线 x m（m 2） 上有一点 E（点E 在第四象限） ，使得 E 、D 、B为顶点的三角形与以 A、O、C为顶点的三角形相似， 求 E 点坐标（用含m的代数式表示） 在 成立的条件下，抛物线上是否存在一点 F ，使得四边形 ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；函数图象上点的存在性问题中的三角形与四边形（下）例 1 】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，

9、点 A（ 3 ，1） 关于x 轴的对称点为 C ，AC与 x 轴交于点 B ，将 OCB 沿 OC 翻折后，点B 落在点D处。 求点 C 、D 的坐标； 求经过 O 、D 、B 三点的抛物线的解析式； 若抛物线的对称轴与OC交于点 E ，点P为线段 OC 上一点，过点 P作 y 轴的平行线，交抛物线于点 Q 。 当四边形 EDQP 为等腰梯形时，求出点 P 的坐标； 当四边形 EDQP 为平行四边形时，直接写出点 P 的坐标。【例 2 】 如图，抛物线 y x 2 4 x 与 与 x 轴分别相交于点 B 、O ，它的顶点为 A，连接 AB ，把AB所在的直线沿 y 轴向上平移，使它经过原点 O

10、，得到l ，设 P 是直线 l 上一动点。 求点 A 的坐标； 以点 A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形，请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标； 设以点 A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为 S ，点 P 的横坐标为x ，当 4 S 6 时，求 x 的取值范围。由图形运动产生的函数关系（上）【例 1 】如图，直角梯形 ABCD 和正方形 EFGC的边 BC 、CG 在同一条直线上，AD BC ，ABBC于点 B ，AD 4 ，AB 6 ，BC 8 ，直角梯形ABCD的面积与正方形 EFGC 的面积相等，将直角梯形 ABCD 沿 BG向右平行移动，

11、当点 B 与点 G 重合时停止移动。设梯形与正方形重叠部分的面积为重合时停止移动。设梯形与正方形重叠部分的面积为 S 。 求正方形的边长； 设直角梯形 ABCD 的顶点 C 向右移动的距离为 x ，求 S与 x 的函数关系式 当直角梯形 ABCD 向右移动时，它与正方形 EFGC 的重叠部分面积S 能否等于直角梯形 ABCD 面积的一半？若能，请求出此时运动的距离面积的一半？若能，请求出此时运动的距离 x【例 2 】如图，在梯形ABCD中，ADBC，B90，BC6 ，AD3，DCB30 。点 E、F 同时从B点出发，沿射线 BC 向右匀速移动。已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边

12、在CB 的上方作等边 EFG 。设E点移动距离为x（x 0） 。EFG的边长是_（ 用含有x的代数式表示） ，当 x 2 时，点G的位置在_ ； 若 EFG 与 梯形 ABCD 重叠部分面积是 y ，求当 当 0 x2 时 ， y 与 与 x 之间的函数关系式；当 当 2 x6 时 ， y 与 与 x 之间的函数关系式； 探求 中得到的函数 y 在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值。由图形运动产生的函数关系 （下）【例 1 】在ABC中， A90 ，AB4 ，AC3 ，M 是AB上的动点（ 不与 A， ， B 重合） ，过M点作MNBC交AC于点 N 。 以 MN为直径作 O ，并在 O

13、内作内接矩形 AMPN 。令 AM x 。 用含 x 的代数式表示 MNP 的面积 S ；当 x 为何值时，O与直线 BC相切？ 在动点M的运动过程中，记MNP 与梯形BCNM重合的面积为 y，试求y 关于x 的函数表达式，并求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？【例 2 】如图，在 ABC 中，ABAC5 ，BC6 ，D 、E 分别是边 AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B重合） ，且保持DE BC，以DE为边，在点 A 的异侧作正方形 DEFG 。 试求 ABC的面积；当FG与BC重合时，求正方形 DEFG 的边长；设ADx ，ABC与正方形 DEFG 重叠部分的面积为 y

14、 ，试求 y 关于x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 当 BDG 是等腰三角形时，请直接写出 AD的长代数综合【例 1 】一元二次方程 （2m+4）x +4m = 0两根x 1，x 2 （ x 1 x 2 ） 是抛物线y=+bx+c与 x 轴的两个交点的横坐标。 求 x 2 x 1 的值。 若抛 若抛物线过点（ 0, -）， 且b0 ，求抛物线的解析式； 在 的条件下， 若反比例函数 y2= （x0, k0）,的图象与抛物线y=+bx+c的图象在第一象限内的交点为 A ，点 A 的横坐标x 0 满足2x 0 3，试求实数 k的取值范围。【例 2 】已知二次函数 y=2（k-1）x +2

15、k+3 求证：无论 k 取何实数值，抛物线与 x 轴总有两个交点； 设抛物线与 x 两交点的横坐标分别为 x 1 、 x 2 （x 1 x 2 ） ，试利用函数图象求关于， k 的方程kx2 +=0的解； 条件同上，利用函数图象，求不等式 x 1 + x 2 的解集 若 a 是关于 y 的方程（kx 11）y+（ x 2k ）（ x 1k ） 1=0的一个根，求代数式（ ）的值。几何变换（上）【例 1 】在ABC 中，A45，AB7 ，AC4点 ，点 D 、E 、F 分别为BC 、AB 、AC 上的动点，求 DEF 的最小周长。【例 2 】如图，在ABC中，AD 平分BAC ，CEAB于E （

16、 AEBE ） ，AD、CE 相交于 F ，连接BF ，且CDDF 。AD BD 。 写出AE、AC 、BE 之间的数量关系，并证明。 写出AFBC和ACBF之间的大小关系，并证明【例 3 】若四边形ABCD是一个凸四边， CBD2ADB， ABD2CDB ，ABBC，求证：AD CD【例 4 】点 P 为ABC内部一点，使得PBC30，PBA8，且PAB PAC 22，求 APC几何变换（中）【旋转变换】【例 1 】如图，在等腰RtABC与等腰RtDBE中， BDEACB90，且BE在AB边上，取AE的中点F ，CD的中点G ，连结 GF 。FG与DC的位置关系是_ ，FG与DC的数量关系是

17、_ 若将BDE绕B点旋转 180 ，其它条件不变，如图，并判断 中的结论是否仍然成立？请证明你的结论。中的结论是否仍然成立？【例 2 】在ABC中，点D在AC 上，点 E在 BC上，且DEAB ，将CDE绕点 C 按顺时针方向旋转得到CDE（ 使BCE180） ，连接 AD、BE，设直线 BE与AC交于点 O 。 如图 1 ，当ACBC时，ADBE 的值为_ 如图 2 ，当AC5 ，BC4 时，求 ADBE的值； 在 的条件下，若ACB 60，且E为BC的中点，求 ABC 的面积的最小值。【例 3 】如图，在等腰 ABC 中，ABAC ， ABC ，在四边形 BDEC 中，DB DE ， BD

18、E 2 ，M 为CE 的中点，连接 AM ，DM 。 在图中画出 DEM 关于点 M 成中心对称的图形； 求证：AM DM 。当_时，AM DM几何变换 （ 下 ）【等积变换】【例 1 】 如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，M 、N 分别在 AD 、AB上，且MNBD ，求证：S DMC S BNC 。已知AD为BAC的角平分线，CDBE ，CFBD ，求证：BF CE 。【例 2 】正方形ABCD边长为 4 ，M 、N分别是BC 、CD上的两个动点，当 M 点在 BC上运动时，保持 AM和 MN 垂直。 证明：Rt ABM Rt MCN ；设 BM x ，梯形ABCN的面积为 y ，求

19、 y与 x 之间的函数关系式；当 M 点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；当 M点运动到什么位置时Rt ABM Rt AMN ，求此时 x 的值。【例 3 】已知 AB AC ，DB DE ，BAC BDE= a 。若 a 60（ 如图 1） ，探究线段 AD与 CE 的数量关系，并加以证明。若 a 120，并且点D在线段AB上，（ 如图 2） 则线段 AD与 CE 的数量关系为_（ 直接写出答案） 。 探究线段AD与 CE 的数量关系（ 如图 3）【例 4 】ABC，是等边三角形， P为平面内的一个动点， BP BA ， 若0 PBC180 ，且PBC 平分线上的一点

20、 D 满足DB DA ，当 BP 与BA 重合时（ 如图） ， BPD _；当 BP 在ABC 的内部时 （ 如图） ，求 BPD 度数当BP在ABC的外部时，请你直接写出 BPD 的度数，并画出相应的图形。中考真题精选讲解【例 1 】如图：抛物线经过 A（-3 ，0） 、B（0 ，4） 、C（4 ，0）三点。 求抛物线的解析式。 已知 AD AB（D 在线段 AC 上） ， 有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒以每秒 1 个单位长度的速度移动；同时另一个动点 Q 以某一速度从点 B沿线段 BC 移动，经过 t 秒的移动，线段 PQ被 BD 垂直平分，求 t的值； 在 点 的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点 M使 ，使 MQ MC的值最小？若存在，请求出点 M【例 2 】如图，在梯形 ABCD 中，AD BC ，AB AD DC2cm， BC 4cm ，在等腰 PQR 中， QPR 120 ，底边 QR 6cm，点B 、C 、Q 、R 在同一直线 l 上，且 C 、Q 两点重合，如果等腰 PQR以 1cm/ 秒的速度沿直线 l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形 ABCD与等腰 PQR 重合部分的面积记为 S 平方厘米。当 t 4 时，求 S 的值。当4t10 ，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S