第3章中值定理与导数的应用包括题Word文档格式.docx

1、Yg（x） Yg以上两个法则是针对2型未定式对一型未定式，也有相应的两个法则0 比对0、乂、00、1汽ac0型未定式，可以通过变形将其转化成0或一型来求.0 处（三）泰勒公式1.带拉格朗日余项的泰勒公式设函数y = f（X）在xo的某邻域U （x。）内有n +1阶导数，那么在此邻域内有f（X）= f （X0）+ f（X0）（X -X0）+ f （X0）（X X0）2 +2n!帥=甘（0严其中在Xo和X之间，Rn（x）是拉格朗日余项 （四）函数的单调性函数单调性的判别法 设函数y=f（x）在a,b上连续，在（a,b）内可导.如果在（a,b）内f （X）0，那么函数y = f （x）在a,b上单调

2、增加;如果在（a,b）内厂（X）co，那么函数y = f （x）在a,b上单调减少.（5）函数的极值与最值1.函数在一点取得极值的必要条件设函数y = f（x）在xo点取得极值，如果f（x）在Xo点可导，那么f（X0）=O.使f x） =0的点X称为函数f（X）的驻点.驻点不一定是极值点驻点和不可导点是函数的所有可能的极值点.2.极值点的两个判别定理判别之一设函数丫二彳）在x0点连续，在x0的某去心领域U（x0,6）内可导，有（1）如果在（X0 -6X0）内 f （X）C。，在（X0,X0 +6）内 f （X）0，那么 f （X）在 X0取得极小值;如果在（X0 -6X0）内 f （X）A0，

3、在（X0,X0 +6）内 f （X）0.证明：在（a，b）内存在“z，使fSF+b）坍器证明 由拉格朗日中值定理存在x （a,b），使得f（b）f（a）=f（x1）b a根据柯西中值定理，存在x （a,b）,x （a,b）使得f（b）-f（a）b2 -a2b3 -a3_ f（X2）2x2 f（X3）（F（x） =x2）3（F（x） =x ）由上面三个等式可知原结论成立.3.4设f（x）在0, 1上连续，在（0,1）内可导，且f（O） = f （1）求证：在（0, 1）内存在的两个不同的C1,C2，使 f（C1）+ f（C2）= 0 .1 1证明 将0, 1分成两部分0,-,-,1分别在其上应用

4、拉格朗日中值定理，得f（2）f（0） f （C1）1 -0f（1）-f（） = f （C2）1 -丄C1 亡（02）C2 壬（1 1）又由条件f （0） = f（1），可知f （C1）f（C2）=03.5已知軒+弓+ b） =0，求a,b的值. 解 因lim（Sin3+| + b0，由洛必达法则sin3x +ax +bx lim XTx32 .3cos3x+a+3bx lim xT3x2（0）由 lim 3cos3x + a + 3bx2再继续用洛必达法则3cos3x 3 + 3bx0可知a = -3xmo-9 si n 3x +6bx6x-27cos360于是四-27cos3x+6b=0 知

5、 b=93.6用洛必达法则求下列极限:1jI :lim （一 - arctanx）lnx ;x 1.,a -xlna、7 処（）x ； T b -xln bx,x x 1（4）a +b +c 尸（abcAO）exx=1兀 ;（2） !im一 - arctan x）ln（ -arctan x）lim =ex护 ln xX 2lim -arctan x =e 2limx-?=e .11 -arctan xXY X-arcta n x1+x2（3）令四（blnbln 字=yIn yln（a -xlna）-ln（b -xln b） =limXT0axln a-ln aqX -xln a同理ax lna

6、 -In a lim axlna XT2xbxl nb-l nb bx -xlnb 2x（a j）lna （aX-xlnaT 1）X . 2a ln a= lim T 2 bx ln b l nbln 2 alim XTbx xln bln2b2 2ln a-ln bIn a-ln b原式=eX 丄X 丄 x 1（4）令lim （-一b一 ）- =y,ax +bx +cxIn 0In y = lim 3 （-）7 x 03 a Ina+b In b+c Inc =Iim xx xTax +bx +cx_ In a +ln b + ln c _ In abcIn abc= e-故原式=Vabc3

7、.7设f（x）与g（x）在0,+=c）存在二阶导数，且满足条件：f（O）=g（O）,f0）=g0） , g”（x）f “（x）（x 0）试分别用函数的单调性、拉格朗日中值定理和泰勒公式证明：X aO时，g（x）Af（x）.证明（法一）令F（x） = f（X）-g（x）由条件 F（0）=0,F（0）=0,F“（x）c0 （x0）于是F （x）在（0,址）单调递减又由F“（0）存在，故F（x）在x = 0连续，即有F（x）在0,址单调递减所以，当x0时，F（x）0时,F（x）cF（0）=0 即 f（x）g（x）0, g（x）Af（x）.（法二）令 F（x） = f（x）-g（x）由条件 F（0）=

8、0,F（0）=0,F“（x）由拉格朗日中值定理，得F（x）-F（0）=F（）x （红（0,x）= F（r）-F（0） ” X = F（n）M 吠（H-（0,） f（x）.（法三）令 F（x） = f（x）-g（x）（xaO）其中 X 0上 （0,x）由条件 F（0） =0,F （0） =0,F “（x）根据泰勒公式F（x） =F（0）+F（0）x+1f”（）x2故 F（x） 0, g（x） A f（x）.3-8利用泰勒公式计算极限：xmn厂cotx）.1 3 3-x3+o（x3）xT3.9设函数f （x）在0, 1上具有连续的三阶导数，且f（0） =1, f（1） =2，厂（丄）=0.证明在（

9、0, 1）内至少存在一点，使I厂牡）124.证明将f（x）在x-点展开，并分别令x=0和心，得迩厲+谆今+字中+竽.1）3 5=町）+怕（扣 单（2）2+竽（2）3一（i）得：i=fU）lCi）48If 徉）|+|牡2）imf 牟2）-f 卞1）|=48 取匕为 g中三阶导数的绝对值较大的点，因go,护“知时心），且3.10数列1, 72, V3,，亦，中哪一项最大解令f（X）=xX，则f（x）=xx（1lnx）、xA（1ln x）当 x（0,e）时，f（x）A0 , f（x）在 （0,e单增;当X亡（e,七叼时，f （x） cO，f（x）在e,七 单减 因为2:e0 , f（x）在0,址）单

10、增，而 f（0） = 0 故0，即当xaO时有ex -1+x）ln（1 +x）3.12在椭圆务+与=1位于第一象限的部分上求一点P ,使该点处的切线、椭圆及 a b两坐标所围图形的面积为最小（a aO, b0）.解 要使所述的面积最小，因椭圆在第一象限部分面积为定值，只要使切线与两坐标所 围三角形面积最小即可.设P（xo，yo）贝仙竽+纠型=0a b dxdy 2x /2y b2 xdx _ 力孑a2 y可知P点处椭圆切线方程为y-yo 2 （x-xo）a yo分别令y=0和x=0,可得两截距为a音b2FyoXo故此三角形面积为. 21（匹.a_ +2（xo b2/XoXo）（ yo屯+ yo

11、）因（xo, yo）在椭圆上，可令Xo= acosTo, yo =bsn o代入上式，可得此面积为ab.，因此当sin 2% =1即日0 =时，此面积最小，此时Xo sin2T0 4厂 厂综上，当P点坐标为（12a,空b）师，题中所述面积最小测验题（二）1.设f（x）和g（x）在a, b上连续，在（a, b）内可导，且f（a）=f（b）= 0,证明:f（x）g（x） + f （x）g（x） =0在（a, b）内有解证明令F（x） = f （x）g（x），则F（x在a, bl满足罗尔定理的条件，存在 （a,b）使得（）=0,即F（X）= f2.设f（x）在0,兀上连续，在（0,兀）内可导，且f（

12、0）= 0,证明：存在亡（0,兀）使2f 徉）=tan f（r）.证明欲证Zf巧），只要匕1 巴fco才丁（伽厂0令 F（x） = f（x）cos-, 有 f（0） =0得F（0） =F （兀）=0.在0,满足罗尔定理的条件，故存在 （0,兀）使得F（）=0,即巴 1 巴fC）co才2f（伽厂03.用洛必达法则求下列极限X sin xIxm0；e匸?）；X s in x lim xt x2（ex -1）1 - cosx四 2x（eX 一1 ）+x2eXsin x凹 2（ex -1 片4xeX +x2eXcosxxi2e4e6xex +x2ex 61 x A 1（2）lim x（1+） -e （

13、令t =）X护 X Xlim （t） -e =lim T t1 1 1 1（1 +t）tn（1 +t） +- = lim t 亠LT 1（1+ tZt-O+t）n（1+1） =limTt （1+t）（注意（1+1）-? e,1 +tT 1）,t -（1 +t）n（1 +t）t_0 t21l n（1 +t）-1=elimt-0e=2t4.已知f（x）=x3+ax2 +bx在x=1处有极值-2，试确定系数a和b，并求出f （x）的所有极值和曲线y = f（X）的拐点.f （X）=3x2 +2ax +b因f（X）在x=1处有极值-2，故（1） =3+2a+ b =0 f （1） =1+a+b = -

14、2解得仁03，因此有f（x）=x33x.解 f （X）=3x2 -3，得 X = 1.当 x2=,1）时，f（x）0 ；当 xj1,1）时，f（x）vO ；当 Xj1,+=c）时,（X）AO，所以f（x）在x = -1点处取得极大值f（-1） =2,在x=1处取得极小值f（1） =2.解 f （X）=6x =0，得X =0.x0时，f“（x）0时，f”（x）0，故（0,0）点是曲线y = f（X）的拐5. 证明：当X2 AXi Ae时，有生 In x- 竺x2 In x2 x1-1 - I n X C , 、y =2 即Xie时有Xi In 捲 c x2 In x2 即 0则丄凶在 X X（0,P）严格单调递增.7.设在1,畑上处处有f（x）cO，且f （1） =2,=3，证明：在（1,址）内方程f（x） =0仅有一个实根证明 由f “（x）0知f （X）在1,+）严格递减.由零阶泰勒公式，有f（2） = f（1）+ f牡）（2-1）弋亡（1,2）由于 f 化）f （1）=3，f（1）=2，故f（2） 1 由连续函数的介值定理，存在Xo （1,2）使得f（Xo） =0又由于f（X）在1）严格递减.，（1） 0可知对任意的X迂1,址）有 f （1H0，故f （X）在1,+）严格递减所以f（x） =0在（1,畑）内有唯一实根