第3章中值定理与导数的应用包括题Word文档格式.docx

第3章中值定理与导数的应用包括题Word文档格式.docx

《第3章中值定理与导数的应用包括题Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第3章中值定理与导数的应用包括题Word文档格式.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

Yg（x）Yg'

以上两个法则是针对2型未定式对一型未定式，也有相应的两个法则

0比

对0^、乂、00、1汽ac0型未定式，可以通过变形将其转化成0或一型来求.

0处

（三）泰勒公式

1.带拉格朗日余项的泰勒公式

设函数y=f（X）在xo的某邻域U（x。

®

）内有n+1阶导数，那么在此邻域内有

f（X）=f（X0）+f（X0）（X-X0）+f（X0）（X—X0）2+■■■

2

n!

帥=甘（—0严

其中©

在Xo和X之间，Rn（x）是拉格朗日余项（四）函数的单调性

函数单调性的判别法设函数y=f（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导.

⑴如果在（a,b）内f'

（X）＞0，那么函数y=f（x）在［a,b］上单调增加;

⑵如果在（a,b）内厂（X）co，那么函数y=f（x）在［a,b］上单调减少.

（5）函数的极值与最值

1.函数在一点取得极值的必要条件

设函数y=f（x）在xo点取得极值，如果f（x）在Xo点可导，那么f（X0）=O.使

f\x）=0的点X称为函数f（X）的驻点.驻点不一定是极值点驻点和不可导点是函数的

所有可能的极值点.

2.极值点的两个判别定理

判别之一■设函数丫二彳^）在x0点连续，在x0的某去心领域U（x0,6）内可导，有

（1）如果在（X0-6X0）内f'

（X）C。

，在（X0,X0+6）内f'

（X）>

0，那么f（X）在X0

取得极小值;

⑵如果在（X0-6X0）内f'

（X）A0，在（X0,X0+6）内f'

（X）<

0,那么f（x）在X0

取得极大值;

⑶如果f（X）在U（X0V）内符号保持不变，那么f（X）在X0没有极值.

判别之二设函数y=f（x）在X0点处有二阶导数，且f'

（X0）=0，贝U有

（1）如果f"

（X0）A0,那么在X0取得极小值;

⑵如果f”（X0）“，那么在X0取得极大值

3.函数的最大值与最小值的求法

（1）求出f（x）在（a,b）内的零点和不存在的点X1,X2，…,Xn，计算出f（X）在这些点

处的函数值f&

Jf（x2）/'

f（xn）;

⑵计算出f（x）在［a,b］的两个端点上的值f（a）,f（b）

⑶ma乂f（xi）,f（X2）,…,f（Xn）f（a）,f（b）｝是f（x）在［a,b］上的最大值min｛f（xi）,f（X2）,…,f（Xn）f（a）,f（b）｝是f（x）在［a,b］上的最小值.

（6）曲线的凹凸与函数的作图

1.凹凸的定义

设函数y=f（x）在闭区间［a,b］上连续，如果对于［a,b］上任意两点xi,X2，恒有

f（X1+X2f（X1）+f（X2）

那么称曲线y=f（x）在［a,b］上是凹的；

如果恒有

X1+X2f（Xi）+f（X2）

那么称曲线y=f（x）在［a,b］上是凸的.

2.凹凸的判定

设函数y=f（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内具有二阶导数，那么

（1）如果在（a,b）内f"

（x）：

＞0,那么函数y=f（x）在［a,b］上的图形是凹的;

⑵如果在（a,b）内f”（x）v0，那么函数y=f（x）在［a,b］上的图形是凸的.

3.拐点及其求法

连续曲线y=f（x）上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点求出所有f"

（X）=0

或f"

（X）不存在的点X1,X2，…,Xn，拐点从（Xi,f（Xi））（i=1,2,…，n）中找.

4.函数作图

（1）

⑵

⑶

⑷

确定函数的定义域；

求出函数的单调区间和极值点，曲线的凹凸区间和拐点；

求函数图形的水平渐近线和铅直渐近线；

求出函数在特殊点（包括间断点及一阶导数、二阶导数为零或不存在的点）处

的函数值，定出图形上相应的点，结合前面的结果，连结这些点画出函数图形的大概形状.

（七）曲率

1.定义

称Kpmo矿

—为曲线y=f（x）在M点处的曲率.其中is是的长dS

度，ia是曲线在M与M'

处切线的夹角，M与M'

是曲线上两点

2.计算公式

若y=f（X），则K（x）=——

（1+

yl__

y咛2

3.曲率与曲率半径P的关系

二、练习题

3.1设f（x）可导，求证：

f（x）的两个零点之间一定有f（x）+「（x）的零点.

证明设f（a）=f（b）=0，avb,令F（x^eXf（x），则F（a）=F（b）=0,

根据罗尔定理，存在共（a,b）使得F徨）=0，即「［〃）+「（©

）］=0于是

f（r）+f徉）=0.

3

3.2设函数f（x）在［0,1］上三次可导，且f（0）=f

（1）=0,设F（x）=xf（x）.证明；

存

在©

-（0,1），使F7©

）=0.

证明由条件可知F（0）=F

（1）=0，F（x在［0,1］上可导，根据罗尔定理，存在

-^（0,1）使得

又由F（X）=3x2f（x）+x3「（x）知道

F'

（0）=0

这样F（0）=F牡1）=0，F（X）=0在［0上1］可导.

根据罗尔定理，存在y（0,q）u（0,1）使得

F径）=0

又由F"

（X）=6xf（X）+6x2f'

（X）+x3f"

（X）知道

F"

根据罗尔定理，存在（0,匕2）匚（0,1）使得

F75=0

3.3设f（x）在闭区间［a,b］上连续，在开区间（a,b）内可导，a>

0.证明：

在

（a，b）内存在“z，使fSF+b）坍器

证明由拉格朗日中值定理存在x^（a,b），使得

f（b）—f（a）=f（x1）

b—a

根据柯西中值定理，存在x^（a,b）,x^（a,b）使得

f（b）-f（a）

b2-a2

b3-a3

_f（X2）

2x2

f（X3）

（F（x）=x2）

3

（F（x）=x）

由上面三个等式可知原结论成立.

3.4设f（x）在［0,1上连续，在（0,

1）内可导，且f（O）=f

（1）求证：

在（0,1）内存在

的两个不同的C1,C2，使f'

（C1）+f'

（C2）=0.

11

证明将［0,1分成两部分［0,-］,［-,1］分别在其上应用拉格朗日中值定理，得

f

（2）—f（0）

f（C1）

1-0

f

（1）-f（£

）

=f'

（C2）

1-丄

C1亡（02）

C2壬（11）

又由条件f（0）=f

（1），可知

f（C1）f（C2）=0

3.5已知軒+弓+b）=0，求a,b的值.解因lim（Sin3^+|^+b^0，由洛必达法则

sin3x+ax+bxlimXT

x3

2..3cos3x+a+3bxlimxT

3x2

（0）

由lim3cos3x+a+3bx2

再继续用洛必达法则

3cos3x—3+3bx

0可知a=-3

xmo

-9sin3x+6bx

6x

-27cos3^6^0

于是四-27cos3x+6b=0'

知b=9

3.6用洛必达法则求下列极限:

1

jI:

—

lim（一-arctanx）lnx;

x1

..,a-xlna、7処（）x；

Tb-xlnb

x,,xx1

（4）

a+b+c尸（abcAO）

ex

x

=1

兀■;

（2）!

im』一-arctanx）

ln（—-arctanx）

lim

=ex护lnx

X

2

lim————-arctanx=e2

lim

x-?

^

=e

.1

1—-arctanx

XY

X

—-arctanx

1+x2

（3）令四（b^lnb

ln字=y

Iny

ln（a-xlna）-ln（b-xlnb）=lim

XT

^0

axlna-lna

qX-xlna

同理

axlna-Inalima^xlnaXT

2x

bxlnb-lnb~bx-xlnb2x

（aj）lna（aX-xlnaT1）

X.2

alna

=lim

T2bxlnb—lnb

ln2a

limXT

bx—xlnb

ln2b

22

lna-lnb

Ina-lnb

原式=e

X丄」X丄x1

（4）令lim（-一b一）-=y

ax+bx+cx

In0

Iny=lim3（-）

7x0

3aIna+bInb+cInc=Iim——x——x

xT>

ax+bx+cx

_Ina+lnb+lnc_Inabc

Inabc

=e^-

故原式

=Vabc

3.7设f（x）与g（x）在［0,+=c）存在二阶导数，且满足条件：

f（O）=g（O）,

f\0）=g\0）,g”（x）〉f“（x）（x>

0）试分别用函数的单调性、拉格朗日中值定理和泰

勒公式证明：

XaO时，g（x）Af（x）.

证明（法一）令F（x）=f（X）-g（x）

由条件F（0）=0,F（0）=0,F“（x）c0（x>

0）

于是F（x）在（0,址）单调递减

又由F“（0）存在，故F（x）在x=0连续，即有F'

（x）在0,址］

单调递减所以，当x》0时，F'

（x）<

F（0）=0,

于是F（x）在0,址］单调递减，所以，当x>

0时,

F（x）cF（0）=0即f（x）—g（x）<

0,g（x）Af（x）.

（法二）令F（x）=f（x）-g（x）

由条件F（0）=0,F'

（0）=0,F“（x）<

0（x>

由拉格朗日中值定理，得

F（x）-F（0）=F（©

）x（红（0,x））

=[F'

（r）-F'

（0）]”X=F"

（n）M吠（H-（0,©

））<

故F（x）£

0，g（x）>

f（x）.

（法三）令F（x）=f（x）-g（x）

（xaO）

其中X>

0上（0,x）

由条件F（0）=0,F（0）=0,F“（x）<

根据泰勒公式

F（x）=F（0）+F（0）x+1f”（©

）x2

故F（x）<

0,g（x）Af（x）.

3-8利用泰勒公式计算极限：

xmn厂cotx）.

133

-x3+o（x3）

xT

3.9设函数f（x）在［0,1上具有连续的三阶导数，且f（0）=1,f

（1）=2，厂（丄）=0.

证明在（0,1）内至少存在一点©

，使I厂牡）1^24.

证明将f（x）在x^-点展开，并分别令x=0和心，得

迩…厲+谆今+字中+竽.1）35=町）+怕（扣单

（2）2+竽

（2）3

⑵一（i）得：

i=—fU）—lCi）]

48

If徉）|+|「牡2）imf牟2）-f卞1）|=48取匕为©

g中三阶导数的绝对值较大的点，因go,护‘“知时心），且

3.10数列1,72,V3,…，亦，…中哪一项最大

解令f（X）=xX，则

f（x）=xx（1lnx）、xA（1—lnx）

当x€（0,e）时，f'

（x）A0,f（x）在（0,e]单增;

当X亡（e,七叼时，f"

（x）cO，f（x）在［e,七①单减因为2<

:

e<

3，故值最大的项只能为J2或V3，而由2^32可知，頁烦所以V3最大.

3.11证明：

当xaO时，有ex—1a（1+x）In（1+x）.

证明令f（X）=ex—1—（1+x）ln（1+x）,则f（0）=0f'

（X）=ex-1-In（1+x）f（0）=0

r"

/\X1

f（X）=e

1+x

当XAO时，f"

（x）=o,「（x）在［0,母）单增，而「（0）=0,故

f（x）>

0,f（x）在［0,址）单增，而f（0）=0故

0，即当xaO时有

ex-1+x）ln（1+x）

3.12在椭圆务+与=1位于第一象限的部分上求一点P,使该点处的切线、椭圆及ab

两坐标所围图形的面积为最小（aaO,b》0）.

解要使所述的面积最小，因椭圆在第一象限部分面积为定值，只要使切线与两坐标所围三角形面积最小即可.

设P（xo，yo）贝仙竽+纠型=0

abdx

dy2x/2yb2x

dx_"

力孑"

"

a2'

y

可知P点处椭圆切线方程为

y-yo—^2—（x-xo）

ayo

分别令y=0和x=0,可得两截距为

a

音

b2

~F

yo

Xo

故此三角形面积为

.2

1（匹.a_+

2（xob2

'

/Xo

Xo）（—yo

屯+yo）

因（xo,yo）在椭圆上，可令Xo

=acosTo,yo=bsn£

o代入上式，可得此面积为

ab

.，因此当sin2%=1即日0=—时，此面积最小，此时Xosin2T04

厂厂

综上，当P点坐标为（12a,空b）师，题中所述面积最小

测验题

（二）

1.设f（x）和g（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内可导，且f（a）=f（b）=0,证明:

f'

（x）g（x）+f（x）g'

（x）=0在（a,b）内有解

证明令F（x）=f（x）g（x），则F（x在［a,bl满足罗尔定理的条件，存在（a,b）使得

「（©

）=0,即F'

（X）=f'

2.设f（x）在［0,兀］上连续，在（0,兀）内可导，且f（0）=0,证明：

存在©

亡（0,兀）使

£

2f徉）=tan^f（r）.

证明欲证Zf'

©

巧"

），只要

匕1巴

f®

co才丁（伽厂0

令F（x）=f（x）cos-,有f（0）=0得F（0）=F（兀）=0.

在［0,］满足罗尔定理的条件，故存在©

€（0,兀）使得F（©

）=0,即

巴1巴

fC）co才2f（伽厂0

3.用洛必达法则求下列极限

X—sinx

Ixm0；

^e匸?

）；

X—sinxlim

xtx2（ex-1）

1-cosx

四2x（eX一1）+x2eX

sinx

凹2（ex-1片4xeX+x2eX

cosx

xi^2e^4e^6xex+x2ex6

1xA1

（2）limx[（1+—）-e]（令t=—）

X护XX

lim（^t）'

-e=lim

Tt

1111

（1+t）t[—」n（1+t）+-——]=limt亠L

T1

（1+tZt-O+t）」n（1+1）]=lim

T

t（1+t）

（注意（1+1）'

-?

e,1+tT1）

t-（1+t）』n（1+t）

t_0t2

1—ln（1+t）-1

=elim

t-0

e

=——

2t

4.

已知f（x）=x3+ax2+bx在x=1处有极值-2，试确定系数a和b，并求出f（x）

的所有极值和曲线y=f（X）的拐点.

f'

（X）=3x2+2ax+b

因f（X）在x=1处有极值-2，故

（1）=3+2a+b=0[f

（1）=1+a+b=-2

解得仁03，因此有f（x）=x3—3x.

解f'

（X）=3x2-3，得X=±

1.

当x2=,—1）时，f（x）>

0；

当xj—1,1）时，f'

（x）vO；

当Xj1,+=c）时,

（X）AO，所以f（x）在x=-1点处取得极大值f（-1）=2,在x=1处取得极小值

f

（1）=2.

解f"

（X）=6x=0，得X=0.

x<

0时，f“（x）<

0,当x>

0时，f”（x）〉0，故（0,

0）点是曲线y=f（X）的拐

5.证明：

当X2AXiAe时，有生<

Inx-€竺

x2Inx2x1

-1-InXC,、

y=—2—<

0,x忘（e^）X

所以函数在（e,+^）单调递减，即当x^x^e时有

Inx-iInX2切x-iInx-,

>

即——<

x1x2x2Inx2

再考虑函数y=xlnX，y‘=1+lnxa0,x亡（e,+处）

所以函数在（e,址）单调递增，即当X2>

Xi〉e时有

XiIn捲cx2Inx2即<

竺

Inx2x1

6.若f'

（X）在［0,畑）严格单调递增，且f（0）=0,证明:

UQ在（0,畑）严格单调递

增.

证明对任意的XA0，f（x）在［0,X］连续，在（0,X）可导，故存在©

壬（0,x）使得

f（x）-f（0）_f（x）_f,（E）

-f（）_f（X）

（f（x）[_xf（x）-f（x）_f（x）—X2X」X2X

X2

因f'

（X）在［0,址）严格单调递增，故f'

f徉），所以>

0则丄凶在［X」X

（0,P）严格单调递增.

7.设在［1,畑］上处处有f"

（x）cO，且f

（1）=2,「⑴=—3，证明：

在（1,址）内方程

f（x）=0仅有一个实根

证明由f“（x）<

0知f（X）在［1,+^）严格递减.

由零阶泰勒公式，有f

（2）=f

（1）+f牡）（2-1）弋亡（1,2）

由于f化）<

f

（1）=—3，f

（1）=2，故

f

（2）<

—1<

由连续函数的介值定理，存在Xo€（1,2）使得

f（Xo）=0

又由于f'

（X）在［1^）严格递减.，「

（1）<

0可知对任意的X迂［1,址）有

f（1H0，故f（X）在［1,+^）严格递减所以f（x）=0在（1,畑）内有唯一实根