电大高等数学基础期末考试复习试题及答案Word下载.docx

1、 D.周期函数A,B,D三个选项都不一定满足。设F （x） f （x） f （ x），则对任意x有即F（x）是偶函数，故选项C正确。.函数f （x）x（a 0,a 1）（）ax 1A.是奇函数；B.是偶函数；C.既奇函数又是偶函数； D.是非奇非偶函数利用奇偶函数的定义进行验证。所以B止确。5.若函数f（x丄）x 2 ，则 f（x）（）A. x2 ；B.x2 2 ；2C.（x 1）;2 X因为所以f（x则 f（x）1）XD.x2X2 2I）22，故选项（x1。2（x -）2 2B正确。 第二章极限与连续N ”定义；了解函数极限的描述性定义。1知道数列极限的“2理解无穷小量的概念；了解无穷小量的

2、运算性质及其与无穷大量的关系；知 道无穷小量的比较。无穷小量的运算性质主要有：1有限个无穷小量的代数和是无穷小量；2有限个无穷小量的乘积是无穷小量；3无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量3熟练掌握极限的计算方法： 因子，利用无穷小量的运算性质， 法。求极限有几种典型的类型o包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定 有理化根式，两个重要极限，函数的连续性等方（1）2 k xa x a limx o（2）k2 . x ax b limX Xo XXo0- a2 xk a）0 a2 xk a）xk（ Ja2|im （X Xo）（x X1）X XoXmoa）2aXix Xo（3）n. aoxlim 一

3、mx xo boxmn 1axm 1dxan 1 x anbm 1Xbmaobo4熟练掌握两个重要极限:1 lim（ 1 丄） x x重要极限的一般形式：（或 lim（ 1ix）x（1 g（x）g（x） e）f（x） f（x）利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为 重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则， 如5理解函数连续性的定义；会判断函数在一点的连续性；会求函数的连续区 间；了解函数间断点的概念；会对函数的间断点进行分类。间断点的分类：已知点X Xo是的间断点，若f（x）在点X Xo的左、右极限都存在，则X Xo称为f （X）的

4、第一类间断点;lim （1f （X）e （或 g（xmo1.极限limx 0若f（x）在点x X。的左、右极限有一个不存在，贝U X X。称为f（x）的第二类间断点。6理解连续函数的和、差、积、商（分母不为 0）及复合仍是连续函数，初等函 数在其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。典型例题解析2 . 1 x sin xsi nx2 - 1x sin 解:lim x lim（xsin ） lim xsin lim 0 1 0x 0 sinx x 0 x sinx x 0 x x 0 sinx注意:0 （无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）由f （x）是分段函数，x 0是f （x）的

5、分段点，考虑函数在x 0处的连续 性。因为 lim xsin 0 lim （x 1） 1 f （0） 1x 0 x x 0所以函数f（x）在x 0处是间断的，又f（x）在（，0）和（0,）都是连续的，故函数f（x）的间断点是x 0。3.4.5.6.设 f （x） x2 3x 2，贝f f （x） 。f （x） 2x 3，故7函数y ln（1 x2）的单调增加区间是 。二、单项选择题在点 处（）是无穷小量。si nx , 、B. , （x ）；C.有定义但无极限； D.无定义且无极限f（x）在点 处没有定义，但lim xsin- 0 （无穷小量 有界变量=无穷小量）故选项B正确。2.下列函数在指

6、定的变化过程中,A.ex, （x ）;x 1 1 /D., （x无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以而A,C,D三个选项中的极限都不为0,故选项B正确三、计算应用题x 0处有极限存在？a,b为何值时，f（x）在x 0处连续？（1）要f （x）在x 0处有极限存在，即要lim f （x） lim f （x）成立。x 0 x 00,所以不能用极限的除法法则。求解时先 有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。x 1 3x 1= lim lim lim x 0sin 3x（ J x 1） 3x 0 sin3x x 0 1 x 12.设函数 问（1）a,b为何值时，f （x）在lim f （x）

7、 lim （xsin 丄 b）x 0 x 0 xsinx 彳lim f （x） lim 1lim f （x）成立，即b 1时，函数在x 0处有极 x 0所以，当b 1时，有lim f （x）限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时 a可以取任意值。（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是 于是有b 1 f（0） a，即a b 1时函数在x 0处连续。第三章导数与微分导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。在学习的时候要侧重以下几点：1理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义 计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。f （x）

8、在点x Xo处可导是指极限存在，且该点处的导数就是这个极限的值。导数的定义式还可写成极限函数f（x）在点X Xo处的导数f （Xo）的几何意义是曲线y f （x）上点（Xo , f （Xo）处 切线的斜率。曲线y f（x）在点（Xo，f（Xo）处的切线方程为函数y f （x）在Xo点可导，则在Xo点连续。反之则不然，函数 y f （x）在x点 连续，在Xo点不一定可导。2了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。3熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法（1）导数的四则运算法则（2）复合函数求导法则（3）隐函数求导方法（4）对数求导方法（5）参数表示的函数的求导法正确的采用求导方法有助于我们的导数

9、计算，如一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，例如函数y （X 1），求y。V x在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易 出错。如果我们把函数先进行变形，即 再用导数的加法法则计算其导数，于是有 这样计算不但简单而且不易出错。又例如函数y X 1，求y。v x 2显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得 两端求导得 整理后便可得若函数由参数方程 的形式给出，则有导数公式能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计 算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数 的导数。4

10、熟练掌握微分运算法则微分四则运算法则与导数四则运算法则类似一阶微分形式的不变性微分的计算可以归结为导数的计算，但要注意它们之间的不同之处，即函数的 微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。6了解高阶导数的概念；会求显函数的二阶导数。函数的高阶高数即为函数的导数的导数。由此要求函数的二阶导数就要先求函 数的一阶导数。要求函数的n阶导数就要先求函数的n 1阶导数。第三章导数与微分典型例题选解1设函数f（x）在x 0邻近有定义，且f（0） 0,f（0） 1，则lim也x 0 xlim f（x）故应填1。limf（x） f（0） f（0） 1由导数的几何意义知，曲线2曲线y在点（1，1）处切线的斜率是数

11、在该点处的导数，于是f（x）在x X0处切线的斜率是f（X0），即为函3,y （1）3.设 f （x）f （x）故应填4x2x 4x2x 4， 24x 37ff （x）设函数f （x） x2A. 2x ;因为lim所以f （2）2设 f （）A.1 ；7 72 x2xx2x，则，则 limx 2 xD不存在也 f（2），4，即C正确f（x） f（2）f （x）（f（x）（）。B. 1 ；x 解：先要求出f（x），再求f（X）。 因为f（1） x1，由此得c.2 ；D.21，所以f （x）（丄）即选项D正确3设函数f（x）（x 1）x（x1）（x2），则 f （0）7因为f （x） 其中的三项当

12、x 故选项C正确。x（x 1）（x0时为0,D. 22） （x 1）（x 1）（x所以2）（x 1）x（x 2）（x 1）x（x 1），4曲线y x ex在点（）处的切线斜率等于0。A. （0,1） ; B.（1,0）; C.（0, 1）; D.（ 1,0）y 1 ex，令y 0得x 0。而y（0） 1，故选项C正确。5. y sin x2，贝U ycosx2 ；2xcosxC.2xcosx2;D. 2xcosx2A. cosx ； y cosx2 故选项C止确。B.（x2）1.设 y tan2xsin x2 ，求dy_由导数四则运算法则和复合函数求导法则由此得2设y f（ex）ef（x），其

13、中f（x）为可微函数，求y。解 y f（ex）ef（x） f（ex）ef（x）=f （ex）exef（x） f （ex）ef（x） f （x）=f （ex）exef（x） f （ex）ef（x） f （x）= ef（x）f （ex）ex f （ex） f （x）求复合函数的导数时，要先搞清函数的复合构成，即复合函数是由哪些基本初 等函数复合而成的，特别要分清复合函数的复合层次，然后由外层开始，逐层使用 复合函数求导公式，一层一层求导，关键是不要遗漏，最后化简。3. 设函数y y（x）由方程xy ey In兰确定，求dy。y dx方法一：等式两端对x求导得整理得方法二：由一阶微分形式不变性和微分

14、法则，原式两端求微分得左端 d（xy ey） d（xy） d（ey） ydx xdy eydy右端d（ln x） ，d（x）1唾尹y x y x y4.设函数y y（x）由参数方程 确定，求dy。由参数求导法5.设 y （1 x2）arctanx，求 y。解 y 2xarctanx （1 x2） 2 2xarctanx 11 x第四章导数的应用典型例题1.函数y ln（1 x2）的单调增加区间是 2xy ，当x 0时y 0.故函数的单调增加区间是（,0）.2.In x极限limx 1 1 x由洛必达法则3.函数f（x） （ex e x）的极小值点为。f （x） （ex e x），令 f （x）

15、 0,解得驻点 x 0,又 x 0 时，f （x） 0;x 0时，f （x） 0，所以x 0是函数f （x） 1（ex e x）的极小值点。二、 单选题1.函数y x2 1在区间2,2上是（）A）单调增加B）单调减少C）先单调增加再单调减少 D）先单调减少再单调增加选择Dy 2x，当x 0时，f （x） 0 ;当x 0时，f （x） 0 ;所以在区间2,2上函 数y x2 1先单调减少再单调增加。2.若函数y f （x）满足条件（），则在（a,b）内至少存在一点（a b），使得 成立。A）在（a,b）内连续；B）在（a,b）内可导；C）在（a,b）内连续，在（a,b）内可导；D）在a,b内连续

16、，在（a,b）内可导。 解：选择Do由拉格朗日定理条件，函数f（x）在a,b内连续，在（a,b）内可导，所以选择D正确。3.满足方程f （x） 0的点是函数y f （x）的（）。A）极值点B）拐点C）驻点D）间断点 解：选择Co 依驻点定义，函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。4.设函数f（x）在（a,b）内连续，X。 （a,b），且f （x。） f （x。）0，则函数在 x x 处（）。A）取得极大值B）取得极小值C） 一定有拐点（x,f（x）D）可能有极值，也可能有拐点函数的一阶导数为零，说明 心可能是函数的极值点；函数的二阶导数为零，说明 X0可能是函数的拐点，所以选择 Do三、 解答题

17、1.计算题求函数y x ln（1 x）的单调区间。函数y x ln（1 x）的定义区间为（1,），由于令y 0，解得x 0，这样可以将定义区间分成（1,0）和（0,）两个区间来讨论。当 1 x 0 时，y 0 ；当 Ox 是，y 0。由此得出，函数y x ln（1 x）在（1,0）内单调递减，在（0,）内单调增加。2.应用题欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材 料最省？设底边边长为x，高为h，所用材料为y且 x2h 108, h 1-令 y 0得 2（x3 216） 0 x 6，且因为x 6, y 0; x 6, y 0，所以x 6, y 108为最小值.此时

18、h 3。于是以6米为底边长，3米为高做长方体容器用料最省。3证明题：当x 1时，证明不等式证设函数f（x） Inx，因为f（x）在（0,）上连续可导，所以f（x）在1,x上满足 拉格朗日中值定理条件，有公式可得其中1 c x，即又由于c 1，有1 1c故有In x x 1两边同时取以e为底的指数，有elnx ex1即x -e所以当x 1时，有不等式 成立.第5章学习辅导（2）1曲线在任意一点处的切线斜率为2x，且曲线过点（2, 5），则曲线方程为 。2xdx x2 c，即曲线方程为y x2 c。将点（2,5）代入得c 1，所求曲线方程为2已知函数f（x）的一个原函数是arctanx2，则f （

19、x） 。 f （x） （arcta nx2） 43.已知F （x）是f （x）的一个原函数，那么 f （ax b）dx 用凑微分法1.设 f（x）dx xlnx c，贝U f （x） （）。A. ln x 1; B.ln x ;C.x ； D. xl nx因故选项A正确.2设F（x）是f （x）的一个原函数，则等式（）成立。.dA. （ f（x）dx） F（x）; dxC. F （x）dx F（x）;正确的等式关系是故选项D正确.3设F（x）是f （x）的一个原函数，则B. F （x）dx f （x） c ；pl忖 f（x）dx） f（x）xf （1 x2）dx （）。A. F（1 x2） c

20、 ； B. F（1 x2） c；D. F （x） c1 2 C. -F（1 x2） c ；由复合函数求导法则得 故选项C正确.三、计算题1计算下列积分：x dx Op 0）a xp（3）由定积分的几何意义知： 定积分的值等于 2 彳（4）y=所围图形的面积二 4 x2 dx 22（5）p 1时无穷积分发散。（三）计算下列定积分（1）：2 xdx x（1 、x）dxIn x , dx x（4） x2 1 x2dx（5）2 xsi n2xdx答案:（1 ） 04 2 xdx0（2x）dx42仪2）dx1 2 2（2x ?x2）|I 42x） 2x） dxI1 22x）e 1 l n X e 1dx （1 ln x）d（1 ln x） （1 ln x）1 x 1 2（4）0X2、1 x2dx设x sint 10 t A dx2 costdt0 xsin 2xdx 2xcos2x2 2 0 cos2xdx2 2 tdt - 2 sin22tdt4 0 4原式.A sin2t cos2（四）定积分应用-sin 2x 41 1 cos4t,2 dt求由曲线yx 1,及直线y x,y 2所围平面图形的面积所求平面图形