电大高等数学基础期末考试复习试题及答案Word下载.docx
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D.周期函数
A,B,D三个选项都不一定满足。
设F（x）f（x）f（x），则对任意x有
即F（x）是偶函数，故选项C正确。
.函数f（x）
x—^（a0,a1）（）
ax1
A.是奇函数；
B.是偶函数；
C.既奇函数又是偶函数；
D.是非奇非偶函数
利用奇偶函数的定义进行验证。
所以B止确。
5.若函数f（x丄）
x2，则f（x）（）
A.x2；
B.x22；
2
C.（x1）;
2X
因为
所以f（x
则f（x）
1）
X
D.x2
X22
I）2
2，故选项
（x
1。
~~2
（x-）22
B正确。
第二章极限与连续
N”定义；
了解函数极限的描述性定义。
1•知道数列极限的“
2•理解无穷小量的概念；
了解无穷小量的运算性质及其与无穷大量的关系；
知道无穷小量的比较。
无穷小量的运算性质主要有：
1有限个无穷小量的代数和是无穷小量；
2有限个无穷小量的乘积是无穷小量；
3无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量
3•熟练掌握极限的计算方法：
因子，利用无穷小量的运算性质，法。
求极限有几种典型的类型
o
包括极限的四则运算法则，消去极限式中的不定有理化根式，两个重要极限，
函数的连续性等方
（1）
2kxaxalim
xo
（2）
k
2.xaxblim
XXoX
Xo
0-a2xka）0a2xka）
xk（Ja2
|im（XXo）（xX1）
XXo
Xmo
a）
2a
Xi
xXo
（3）
n
..aox
lim一m
xxoboxm
n1
a〔x
m1
dx
an1xan
bm1X
bm
ao
bo
4•熟练掌握两个重要极限:
1lim（1丄）xx
重要极限的一般形式：
（或lim（1
i
x）x
（1g（x））g（x）e）
）f（x）f（x））
利用两个重要极限求极限，往往需要作适当的变换，将所求极限的函数变形为重要极限或重要极限的扩展形式，再利用重要极限的结论和极限的四则运算法则，如
5•理解函数连续性的定义；
会判断函数在一点的连续性；
会求函数的连续区间；
了解函数间断点的概念；
会对函数的间断点进行分类。
间断点的分类：
已知点XXo是的间断点，
若f（x）在点XXo的左、右极限都存在，则XXo称为f（X）的第一类间断点;
lim（1
f（X）
e（或g（xmo
1.极限lim
x0
若f（x）在点xX。
的左、右极限有一个不存在，贝UXX。
称为f（x）的第二类间
断点。
6•理解连续函数的和、差、积、商（分母不为0）及复合仍是连续函数，初等函数在其定义域内连续的结论，知道闭区间上连续函数的几个结论。
典型例题解析
2.1xsinx
sinx
2-1
xsin’’
解:
limxlim（xsin）limxsinlim010
x0sinxx0xsinxx0xx0sinx
注意:
0（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）
由f（x）是分段函数，x0是f（x）的分段点，考虑函数在x0处的连续性。
因为limxsin0lim（x1）1f（0）1
x0xx0
所以函数f（x）在x0处是间断的，
又f（x）在（，0）和（0,）都是连续的，故函数f（x）的间断点是x0。
3.4.5.6.设f（x）x23x2，贝f[f（x）]。
f（x）2x3，故
7•函数yln（1x2）的单调增加区间是。
二、单项选择题
在点处（）
）是无穷小量。
sinx,、
B.,（x）；
C.有定义但无极限；
D.无定义且无极限
f（x）在点处没有定义，但
limxsin-0（无穷小量有界变量=无穷小量）
故选项B正确。
2.下列函数在指定的变化过程中,
A.ex,（x）;
x11/
D.,（x
无穷小量乘以有界变量仍为无穷小量，所以
而A,C,D三个选项中的极限都不为0,故选项B正确
三、计算应用题
x0处有极限存在？
a,b为何值时，f（x）在x0处连续？
（1）要f（x）在x0处有极限存在，即要limf（x）limf（x）成立。
x0x0
0,所以不能用极限的除法法则。
求解时先有理化根式在利用除法法则和第一个重要极限计算。
x13x1
=limlimlim
x0sin3x（Jx1）3x0sin3xx01x1
2.设函数问
（1）a,b为何值时，f（x）在
limf（x）lim（xsin丄b）
x0x0x
sinx彳
limf（x）lim1
limf（x）成立，即b1时，函数在x0处有极x0
所以，当b1时，有limf（x）
限存在，又因为函数在某点处有极限与在该点处是否有定义无关，所以此时a可以
取任意值。
（2）依函数连续的定义知，函数在某点处连续的充要条件是于是有b1f（0）a，即ab1时函数在x0处连续。
第三章导数与微分
导数与微分这一章是我们课程的学习重点之一。
在学习的时候要侧重以下几点：
1•理解导数的概念；
了解导数的几何意义；
会求曲线的切线和法线；
会用定义计算简单函数的导数；
知道可导与连续的关系。
f（x）在点xXo处可导是指极限
存在，且该点处的导数就是这个极限的值。
导数的定义式还可写成极限
函数f（x）在点XXo处的导数f（Xo）的几何意义是曲线yf（x）上点（Xo,f（Xo））处切线的斜率。
曲线yf（x）在点（Xo，f（Xo））处的切线方程为
函数yf（x）在Xo点可导，则在Xo点连续。
反之则不然，函数yf（x）在x°
点连续，在Xo点不一定可导。
2•了解微分的概念；
知道一阶微分形式不变性。
3•熟记导数基本公式，熟练掌握下列求导方法
（1）导数的四则运算法则
（2）复合函数求导法则
（3）隐函数求导方法
（4）对数求导方法
（5）参数表示的函数的求导法
正确的采用求导方法有助于我们的导数计算，如
一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，
例如函数y（X1），求y。
Vx
在求导时直接用导数的除法法则是可以的，但是计算时会麻烦一些，而且容易出错。
如果我们把函数先进行变形，即再用导数的加法法则计算其导数，于是有这样计算不但简单而且不易出错。
又例如函数yX1，求y。
vx2
显然直接求导比较麻烦，可采用取对数求导法，将上式两端取对数得两端求导得整理后便可得
若函数由参数方程的形式给出，则有导数公式
能够熟练地利用导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数的求导法则计算函数的导数，能够利用隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求函数的导数。
4•熟练掌握微分运算法则
微分四则运算法则与导数四则运算法则类似
一阶微分形式的不变性
微分的计算可以归结为导数的计算，但要注意它们之间的不同之处，即函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积。
6•了解高阶导数的概念；
会求显函数的二阶导数。
函数的高阶高数即为函数的导数的导数。
由此要求函数的二阶导数就要先求函数的一阶导数。
要求函数的n阶导数就要先求函数的n1阶导数。
第三章导数与微分典型例题选解
1•设函数f（x）在x0邻近有定义，且f（0）0,f（0）1，则
lim也
x0x
limf（x）
故应填1。
limf（x）f（0）f（0）1
由导数的几何意义知，曲线
2•曲线y
在点（1，1）处切线的斜率是
数在该点处的导数，于是
f（x）在xX0处切线的斜率是f（X0），即为函
3
°
y
（1）
3.设f（x）
f（x）
故应填4x2
x4x
2x4，24x37
f[f（x）]
•设函数f（x）x2
A.2x;
因为lim
所以f
（2）
2•设f（^）
A.1；
77
2x
2xx2
x，则
，则lim
x2x
D不存在
也f
（2），
4，即C正确
f（x）f
（2）
f（x）（
f（x）
（）。
B.1；
x解：
先要求出f（x），再求f（X）。
因为f
（1）x
1，由此得
c.2；
D.
~2
1，所以f（x）
（丄）
即选项D正确
3•设函数f（x）
（x1）x（x
1）（x
2），则f（0）
）•
7
因为f（x）其中的三项当x故选项C正确。
x（x1）（x
0时为0,
D.2
2）（x1）（x1）（x
所以
2）
（x1）x（x2）
（x1）x（x1），
4•曲线yxex在点（
）处的切线斜率等于
0。
A.（0,1）;
B.（1,0）;
C.（0,1）;
D.（1,0）
y1ex，令y0得x0。
而y（0）1，故选项C正确。
5.ysinx2，贝Uy
cosx2；
2xcosx
C.2xcosx2;
D.2xcosx2
A.cosx；
ycosx2故选项C止确。
B.
（x2）
1.设ytan2x
sinx
2，
求dy_
⑴由导数四则运算法则和复合函数求导法则
由此得
2•设yf（ex）ef（x），其中f（x）为可微函数，求y。
解y[f（ex）]ef（x）f（ex）[ef（x）]
=f（ex）[ex]ef（x）f（ex）ef（x）[f（x）]
=f（ex）exef（x）f（ex）ef（x）f（x）
=ef（x）[f（ex）exf（ex）f（x）]
求复合函数的导数时，要先搞清函数的复合构成，即复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要分清复合函数的复合层次，然后由外层开始，逐层使用复合函数求导公式，一层一层求导，关键是不要遗漏，最后化简。
3.设函数yy（x）由方程xyeyIn兰确定，求dy。
ydx
方法一：
等式两端对x求导得
整理得
方法二：
由一阶微分形式不变性和微分法则，原式两端求微分得
左端d（xyey）d（xy）d（ey）ydxxdyeydy
右端d（lnx），d（x）1唾尹
yxyxy
4.设函数yy（x）由参数方程确定，求dy。
由参数求导法
5.设y（1x2）arctanx，求y。
解y2xarctanx（1x2）22xarctanx1
1x
第四章导数的应用典型例题
1.函数yln（1x2）的单调增加区间是
2x
y「，当x0时y0.故函数的单调增加区间是（,0）.
2.
Inx
极限lim
x11x
由洛必达法则
3.函数f（x）—（exex）的极小值点为。
f（x）（exex），令f（x）0,解得驻点x0,又x0时，f（x）0;
x0时，f（x）0，所以x0是函数f（x）1（exex）的极小值点。
二、单选题
1.函数yx21在区间［2,2］上是（）
A）单调增加B）单调减少
C）先单调增加再单调减少D）先单调减少再单调增加
选择D
y2x，当x0时，f（x）0;
当x0时，f（x）0;
所以在区间［2,2］上函数yx21先单调减少再单调增加。
2.若函数yf（x）满足条件（），则在（a,b）内至少存在一点（ab），使得成立。
A）在（a,b）内连续；
B）在（a,b）内可导；
C）在（a,b）内连续，在（a,b）内可导；
D）在［a,b］内连续，在（a,b）内可导。
解：
选择Do
由拉格朗日定理条件，函数f（x）在［a,b］内连续，在（a,b）内可导，所以选择D正确。
3.满足方程f（x）0的点是函数yf（x）的（）。
A）极值点B）拐点
C）驻点D）间断点解：
选择Co依驻点定义，函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。
4.设函数f（x）在（a,b）内连续，X。
（a,b），且f（x。
）f（x。
）0，则函数在xx°
处（）。
A）取得极大值B）取得极小值
C）一定有拐点（x°
f（x°
））D）可能有极值，也可能有拐点
函数的一阶导数为零，说明心可能是函数的极值点；
函数的二阶导数为零，说明X0可能是函数的拐点，所以选择Do
三、解答题
1.计算题
求函数yxln（1x）的单调区间。
函数yxln（1x）的定义区间为（1,），由于
令y0，解得x0，这样可以将定义区间分成（1,0）和（0,）两个区间来讨论。
当1x0时，y0；
当Ox是，y0。
由此得出，函数yxln（1x）在（1,0）内单调递减，在（0,）内单调增加。
2.应用题
欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？
设底边边长为x，高为h，所用材料为y
且x2h108,h1°
-
令y0得2（x3216）0x6，
且因为x6,y0;
x6,y0，所以x6,y108为最小值.此时h3。
于是以6米为底边长，3米为高做长方体容器用料最省。
3•证明题：
当x1时，证明不等式
证设函数f（x）Inx，因为f（x）在（0,）上连续可导，所以f（x）在［1,x］上满足拉格朗日中值定理条件，有公式可得
其中1cx，即
又由于c1，有11
c
故有Inxx1
两边同时取以e为底的指数，有elnxex1
即x-
e
所以当x1时，有不等式成立.
第5章学习辅导
（2）
1•曲线在任意一点处的切线斜率为2x，且曲线过点（2,5），则曲线方程
为。
2xdxx2c，即曲线方程为yx2c。
将点（2,5）代入得c1，所求曲
线方程为
2•已知函数f（x）的一个原函数是arctanx2，则f（x）。
f（x）（arctanx2）4
3.已知F（x）是f（x）的一个原函数，那么f（axb）dx
用凑微分法
1.设f（x）dxxlnxc，贝Uf（x）（）。
A.lnx1;
B.lnx;
C.x；
D.xlnx
因
故选项A正确.
2•设F（x）是f（x）的一个原函数，则等式（）成立。
.d
A.（f（x）dx）F（x）;
dx
C.F（x）dxF（x）;
正确的等式关系是
故选项D正确.
3•设F（x）是f（x）的一个原函数，则
B.F（x）dxf（x）c；
pl
忖f（x）dx）f（x）
xf（1x2）dx（）。
A.F（1x2）c；
B.F（1x2）c；
D.F（x）c
12C.-F（1x2）c；
由复合函数求导法则得故选项C正确.
三、计算题
1•计算下列积分：
⑴——xdx
<
1x2
⑴利用第一换元法⑵利用第二换元法，设x
2•计算下列积分：
sint,dxcostdt
/八.,心\Inx
⑴arcsinxdx⑵亍dx
⑴利用分部积分法
⑵利用分部积分法
高等数学
（1）第六章学习辅导
综合练习题
（一）单项选择题
（1）.下列式子中，正确的是（）
⑵.下列式子中，正确的是（）
costdt
cosx.
0.
cosx
/
2costdtcosx
b
a（g（x）
答案：
cosxdx.；
2dx
01x
若f（x）是［a,a］上的连续偶函数，贝U
f（x）dx.0
a
0a
C.2f（x）dxD.f（x）dx
a0
若f（x）与g（x）是［a,b］上的两条光滑曲线，则由这两条曲线及直线
xa,xb所围图形的面积（）.
bb
f（x）g（x）dx.a（f（x）g（x））dx
a（f（x）g（x））dx
（2）D;
（3）D;
af（x）dx（）。
f（x））dx.
（1）A；
（1）根据定积分定义及性质可知
ab
而f（x）dxf（x）dxB不正确。
ba
212
在（0,1）区间内xxxdx
（4）C;
（5）AoA正确。
xdxC不正确。
根据定积分定义可知，定积分值与函数及定积分的上、下限有关，而与积分变量的选取无关。
故D不正确。
（2）由变上限的定积分的概念知
costdt0
由定积分定义知B不正确
D正确。
⑶exdx
cosxA、C不正确。
1;
blim
lim0edx
b1.
（e
•••A不正确
cosxdx
limlnx
Jim
lim（sinb
（Inbln1）
sinO）不存在。
•••B
•ICo
D正确
（4）由课本344页
（5）所围图形的面积始终是在上面的函数减去在下面的函数二
（二）填空题
（6—4—2）和345页（6—4—3）知
（l）lim。
0x
不正确。
C。
正确。
A正确。
⑵设F（x）
2etdt,
则F（x）
⑶在区间0,2上，曲线ysinx和x轴所围图形的面积为。
2,2
（4）v4xdx
⑸p,无穷积分—-dx发散（a>
Op>
0）
axp
（3）由定积分的几何意义知：
定积分的值等于
2]■彳
（4）y=所围图形的面积二°
■4x2dx22
（5）p<
1时无穷积分发散。
（三）计算下列定积分
（1）：
2xdx
x（1、x）dx
Inx,dxx
（4）x21x2dx
（5）2xsin2xdx
答案:
（1）042xdx
0（2
x）dx
4
2仪
2）dx
122
（2x?
x2）|°
I4
2x）2
x）dx
I"
12
2x）
e1lnXe1
dx（1lnx）d（1lnx）（1lnx）
1x12
（4）
0X2、1x2dx
设xsint10t—Adx2costdt
0xsin2xdx2xcos2x2^20cos2xdx
2‘2tdt-2sin22tdt
404
原式.Asin2tcos2
（四）定积分应用
-sin2x4
11cos4t,
2dt
求由曲线yx1,及直线yx,y2所围平面图形的面积
所求平面图形
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