同济第五版线性代数分模块复习要点及指导docWord格式.docx

1、M,4. 行列式的重要公式：1 、主对角行列式：主对角元素的乘积；2 、副对角行列式：副对角元素的乘积x（-l） ;3 、上、下三角行列式（）:4 、in和I纠：副对角元素的乘积心一1）呼；5 、拉普拉斯展开式：討州B|、； ： = :=（-1）”|测6 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；7 、特征值5. 证明|A| = 0的方法：、A = - A ；、反证法；、构造齐次方程组心“，证明其有非零解;4 、利用秩，证明r（A）n ；5 、证明0是其特征值；2、矩阵1. 4是阶可逆矩阵：o |4|工0 （是非奇异矩阵）；o r（A） = n （是满秩矩阵）oA的行（列）向量组线性无关；o齐次

2、方程组心有非零解；oPbwR” ,心总有唯一解；o 4与E等价；oA可表示成若干个初等矩阵的乘积；o A的特征值全不为0 ；o A是正定矩阵；o A的行（列）向量组是肥的一组基；04是疋中某两组基的过渡矩阵；2. 对于阶矩阵4 : AA =AA =AE无条件恒成立；3. （4为=（尸 （A-y=（尸 （A 丁 =（）（AB）t = BtAt （AB） = X/f （ARY1 = B l4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均a、可逆：、c、-ACB“A丿、9CA BJ3、矩阵的初等变换与线性方程组1. 个加X畀矩阵A，总可经过初等

3、变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： F 护 ；I。丿,”“等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形 为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B ,若r（A） = r（B） A B ；2. 行最简形矩阵：1 、只能通过初等行变换获得；2 、每行首个非0元素必须为1 ;3 、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0 ;3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）1 、 若（4,E） （E,X）,则 A 可逆，且；2 、对矩阵（A,B）做初等行变化，当A变为E时，就变成,即： （A,）：（,小）；3 、求解线形方程组：对于个未知数个方程心，如果G4）（

4、E,Q，则A 可逆，且x = Ab ；4. 初等矩阵和对角矩阵的概念:1 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、 右乘为初等列矩阵；2 2 入. ,左乘矩阵A , &乘A的各行元素；右乘，人乘A的各列元素；1 1 F 1 1 ）3 、对调两行或两列，符号,且，例如：1 =1 ；I J I L4 、倍乘某行或某列，符号Edik）,且E（i（k）y = ,例如：k“ V f1k = 丄 （RhO），J J /5 、倍加某行或某列，符号E（ij（k）,且E（ij（k）Yl = E（ij（-k）,如:（ k、11 -k、伙 H0）； 1丿5. 矩阵秩的基本性质：1 、0r（Aw

5、xw）min（JM,n）；2 、r（Ar） = r（A）；3 、若 A B ,则 r（A） = r（B）；4 、若P、0可逆，贝lJr（A） = r（PA） = r（Ae）= r（PAe）；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）5 、max（r（A）,r（B）r（A,B）r（A） + r（B）；（探）6 、r（A + B）r+ 讪）；7 、r（AB）min（r（A）,r（B）；8 、如果A是加X”矩阵，是舁x$矩阵，且A = （），则：I、 的列向量全部是齐次方程组AX-0解（转置运算后的结论）；II、 r（A） + r（B）r+B）- ；6. 三种特殊矩阵的方摹：1 、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵

6、（向量）x行矩阵（向量）的形 式，再采用结合律；1 a c、2 、型如oi b的矩阵：利用二项展开式0 b3 、利用特征值和相似对角化：7. 伴随矩阵：n r（A） = n1 、伴随矩阵的秩： r（A*） = 1 r（A） = n- ；0 r（A）n-l2 、伴随矩阵的特征值:（ax = ax=aa-axMx）;A A3 、A = A A 1 x = A 18. 关于a矩阵秩的描述：1 、r（A） = n , A中有阶子式不为0 , ” + 1阶子式全部为0 ；（两句话）2 、r（A）n , A中有畀阶子式不为0 ；9.线性方程组：仏“,其中A为加X刃矩阵，则：1 、加与方程的个数相同，即方程

7、组如:有加个方程；2 、与方程组得未知数个数相同，方程组 4“ =方为n 元方程； 10线性方程组血的求解：1 、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）2 、齐次解为对应齐次方程组的解；3 、特解：自由变量赋初值后求得；由个未知数加个方程的方程组构成元线性方程：、a11x1+12x2+- + Ixn =b,a2+a22x2+-+a2nxn =b2!2 ain:们22a* X2b2aml% mn7丿 m /匕”內+沁乞+”忑=bnAx = b （向量方程，A为加x/z矩阵，加个方程，个未知数）、（+（全部按列分块，其中处2 ;、a,Xj+a2x2+ +x =fl （线性表出）、有解的充

8、要条件 ：/= 7*（4,0）（为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性1 加个畀维列向量所组成的向量组4 : 02，.,0”构成加矩阵人=（$,硯,）；加个维行向量所组成的向量组B : 0役0：,0：构成加X/1矩阵B=朋；心丿含有有限个向量的有序向量组与矩阵 对应;2. 、向量组的线性相关、无关有、无非零解；（齐次线性方程组）2 、向量的线性表出 。心是否有解；（线性方程组）3 、向量组的相互线性表示 a是否有解；（矩阵方程）3. 矩阵与”行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组心“和处“同解；4. r（ArA） = r（A）；5. 维向量线性相关的几何意义：1 、a线性相关 O 0

9、= （）；2 、a,0线性相关 o 00坐标成比例或共线（平行）；3 、a,0,y线性相关 0 a、队丫共面；6. 线性相关与无关的两套定理：若aPa2,- -,as线性相关,则ay,a2, ,as,as+l必线性相关；若apa2,- -,a5线性无关,则懾心，必线性无关；（向量的个数加加减减, 二者为对偶）若/维向量组4的每个向量上添上-/个分量，构成维向量组：若4线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向 量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7. 向量组A （个数为厂）能由向量组B （个数为$ ）线性表示，且A线性无关，则厂；向量组A能由向量

10、组B线性表示，则r（A）r（B）；向量组A能由向量组B线性表示AX =B 有解；o r（A） = r（A,B）向量组A能由向量组等价or（A） = r（B） = r（A,B）8. 方阵4可逆o存在有限个初等矩阵片,马,巧，使A = P,P2 Pt ；1 、矩阵行等价：A-BPA = B （左乘，P可逆）oAr = 0与处=0同解2 、矩阵列等价：AB Bx = （）只有零解；2 、Bx =0有非零解= ABx = 0 定存在非零解；*12 设向量组灯:勺，2,以可由向量组A”心：4|2,4$线性表示为:（b2,b=（兔宀,aJK （ B = AK ）其中K为xr ,且A线性无关，则B组线性无关

11、o r（K） = r ；（ 与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：.27*（3）=AK）S（K）,/（K）.（K） = r ；充分性：反证法）注：当zs时，K为方阵，可当作定理使用；13 、对矩阵仏”，存在0绅，= 0心）=加、0的列向量线性无关；、对矩阵Amxn ,存在代柿，PA = E“ oz*（A）f、P的行向量线性无关；14. a，乞线性相关O存在一组不全为0的数何也，人,使得g+g+5=0成立；（定义）0 04切”2 =。有非零解，即心申丿,系数矩阵的秩小于未知数的个数；15 设加的矩阵A的秩为，贝心元齐次线性方程组山=0的解集S的秩为：r（S） = n-r ；16 若zf为心的一个解，金，爲为心=0的一个基础解系，则八线性无关；5、相似矩阵1. 正交矩阵= E或（定义）,性质：1 、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即也=可（门=1,2,.）；0 IJ2 、若A为正交矩阵，则也为正交阵，且|A| = 1 ；3 、若A、正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；2. 施密特正父化：（網,勺,匕）32 2 也,bj3、 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关;对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；4、 写出二次型矩阵，化标准型5、 将一个实对称矩阵相似化为一个对角矩阵