同济第五版线性代数分模块复习要点及指导docWord格式.docx

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M,

4.行列式的重要公式：

1、主对角行列式：

主对角元素的乘积；

2、副对角行列式：

副对角元素的乘积x（-l）^;

3、上、下三角行列式（）:

4、in和I纠：

副对角元素的乘积心一1）呼；

5、拉普拉斯展开式：

：

討州B|、；

：

=:

=（-1）”"

|测

6、范德蒙行列式：

大指标减小指标的连乘积；

7、特征值

5.证明|A|=0的方法：

①、A=-A；

②、反证法；

③、构造齐次方程组心“，证明其有非零解;

4、利用秩，证明r（A）<

n；

5、证明0是其特征值；

2、矩阵

1.4是〃阶可逆矩阵：

o|4|工0（是非奇异矩阵）；

or（A）=n（是满秩矩阵）

oA的行（列）向量组线性无关；

o齐次方程组心"

有非零解；

oPbwR”,心"

总有唯一解；

o4与E等价；

oA可表示成若干个初等矩阵的乘积；

oA的特征值全不为0；

o"

A是正定矩阵；

oA的行（列）向量组是肥的一组基；

04是疋中某两组基的过渡矩阵；

2.对于〃阶矩阵4:

AA'

=A^A=\A\E无条件恒成立；

3.（4为・=（"

尸（A-y=（"

尸（A丁=（"

）•

（AB）t=BtAt（AB）'

=X/f（ARY1=Bl

4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；

行列式是数值，可求代数和；

5.关于分块矩阵的重要结论，其中均a、〃可逆：

②、

<

A

0、

-1

=

O、

B,

沪丿

③、

（O

■

B'

、

o’

上1

o>

④、

c、

-A"

CB“

A丿

⑤、

'

9

CA'

BJ

3、矩阵的初等变换与线性方程组

1.—个加X畀矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：

F护；

I。

。

丿,”“

等价类：

所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；

标准形为其形状最简单的矩阵；

对于同型矩阵A、B,若r（A）=r（B）«

AB；

2.行最简形矩阵：

1、只能通过初等行变换获得；

2、每行首个非0元素必须为1;

3、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;

3.初等行变换的应用：

（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

1、若（4,E）'

（E,X）,则A可逆，且；

2、对矩阵（A,B）做初等行变化，当A变为E时，〃就变成,即：

（A,〃）：

（£

小）；

3、求解线形方程组：

对于"

个未知数〃个方程心"

，如果G4"

）「（E,Q，则A可逆，且x=A]b；

4.初等矩阵和对角矩阵的概念:

1、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：

左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

22入.,左乘矩阵A,&

乘A的各行元素；

右乘，人乘A的各列

元素；

11F11）

3、对调两行或两列，符号,且，例如：

1=1；

IJIL

4、倍乘某行或某列，符号Edik））,且E（i（k）y}=,例如：

k

“V'

f1

k=丄（RhO），

〔JJ

\/

5、倍加某行或某列，符号E（ij（k））,且E（ij（k）Yl=E（ij（-k））,如:

（\k、

1

1-k、

伙H0）；

1丿

5.矩阵秩的基本性质：

1、0<

r（Awxw）<

min（JM,n）；

2、r（Ar）=r（A）；

3、若AB,则r（A）=r（B）；

4、若P、0可逆，贝lJr（A）=r（PA）=r（Ae）=r（PAe）；

（可逆矩阵不影响矩阵的秩）

5、max（r（A）,r（B））<

r（A,B）<

r（A）+r（B）；

（探）

6、r（A+B）<

r⑷+讪）；

7、r（AB）<

min（r（A）,r（B））；

8、如果A是加X”矩阵，〃是舁x$矩阵，且A〃=（），则：

I、〃的列向量全部是齐次方程组AX-0解（转置运算后的结论）；

II、r（A）+r（B）<

«

9、若A、B均为〃阶方阵，则r（AB）>

r⑷+"

B）-〃；

6.三种特殊矩阵的方摹：

1、秩为1的矩阵：

一定可以分解为列矩阵（向量）x行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

1ac、

2、型如oib的矩阵：

利用二项展开式

0°

b

3、利用特征值和相似对角化：

7.伴随矩阵：

nr（A）=n

1、伴随矩阵的秩：

r（A*）=\1r（A）=n-\；

0r（A）<

n-l

2、伴随矩阵的特征值:

^（ax=ax^=\a\a-^a^xMx）;

AA

3、A=AA1x=A"

1

8.关于a矩阵秩的描述：

1、r（A）=n,A中有〃阶子式不为0,”+1阶子式全部为0；

（两句话）

2、r（A）<

n,A中有〃阶子式全部为0；

3、r（A）>

n,A中有畀阶子式不为0；

9.线性方程组：

仏“,其中A为加X刃矩阵，则：

1、加与方程的个数相同，即方程组如:

"

有加个方程；

2、〃与方程组得未知数个数相同，方程组4“=方为n元方程；

10•线性方程组血"

的求解：

1、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）

2、齐次解为对应齐次方程组的解；

3、特解：

自由变量赋初值后求得；

•由〃个未知数加个方程的方程组构成〃元线性方程：

①、

a11x1+«

12x2+---+«

I„xn=b,

a2^+a22x2+-+a2nxn=b2

!

2

・••ain

:

们

22

•

…a*

••

X2

b2

aml

%

•…％

mn

7

丿

\m/

匕”內+①沁乞+…+①”忑=bn

^Ax=b（向量方程，A为加x/z矩阵，加个方程，〃个

未知数）

③、（—

+（全部按列分块，其中处

2;

④、a,Xj+a2x2+••+«

„x„=fl（线性表出）

⑤、有解的充要条件：

/•⑷=7*（4,0）"

（"

为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1•加个畀维列向量所组成的向量组4:

0©

2，...,0”构成加矩阵人=（$,硯,…,％）；

加个〃维行向量所组成的向量组B:

0役0：

…,0：

构成加X/1矩阵B=朋；

心丿

含有有限个向量的有序向量组与矩阵对应;

2.①、向量组的线性相关、无关有、无非零解；

（齐次线性方程组）

2、向量的线性表出。

心"

是否有解；

（线性方程组）

3、向量组的相互线性表示a是否有解；

（矩阵方程）

3.矩阵与％”行向量组等价的充分必要条件是：

齐次方程组心“和处“同

解；

4.r（ArA）=r（A）；

5."

维向量线性相关的几何意义：

1、a线性相关O0=（）；

2、a,0线性相关o00坐标成比例或共线（平行）；

3、a,0,y线性相关0a、队丫共面；

6.线性相关与无关的两套定理：

若aPa2,--,as线性相关,则ay,a2,,as,as+l必线性相关；

若apa2,--,a5线性无关,则懾心，…，％必线性无关；

（向量的个数加加减减,二者为对偶）

若/•维向量组4的每个向量上添上〃-/•个分量，构成〃维向量组〃：

若＜4线性无关，则B也线性无关；

反之若B线性相关，则A也线性相关；

（向量组的维数加加减减）

简言之：

无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7.向量组A（个数为厂）能由向量组B（个数为$）线性表示，且A线性无关，

则厂"

；

向量组A能由向量组B线性表示，则r（A）＜r（B）；

向量组A能由向量组B线性表示

^>

AX=B有解；

or（A）=r（A,B）

向量组A能由向量组〃等价or（A）=r（B）=r（A,B）

8.方阵4可逆o存在有限个初等矩阵片,马,…,巧，使A=P,P2Pt；

1、矩阵行等价：

A-B<

^PA=B（左乘，P可逆）oAr=0与处=0同解

2、矩阵列等价：

A~B<

^AQ=B（右乘，0可逆）；

3、矩阵等价：

^PAQ=B（P、0可逆）；

9-对于矩阵仏”与％”：

1、若4与B行等价，贝山与B的行秩相等；

2、若A与〃行等价，则Ar=0与处=0同解，且4与〃的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

3、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

4、矩阵A的行秩等于列秩；

40•若AmxsBsxn=Cmxn,则:

1、Q的列向量组能由A的列向量组线性表示，〃为系数矩阵；

2、c的行向量组能由〃的行向量组线性表示，"

为系数矩阵；

（转置）

•齐次方程组处=0的解一定是A处=0的解，考试中可以直接作为定理使用，

而无需证明；

1、ABx=（）只有零解=>

Bx=（）只有零解；

2、Bx=0有非零解=>

ABx=0—定存在非零解；

*12•设向量组灯:

勺，〃2,…'

以可由向量组A”心：

4|'

2,…,4$线性表示为:

（b」2,…,b"

=（兔宀,…,aJK（B=AK）

其中K为^xr,且A线性无关，则B组线性无关or（K）=r；

（〃与K的列向量

组具有相同线性相关性）

（必要性：

•.•27*（3）="

AK）S（K）,/«

（K）"

."

（K）=r；

充分性：

反证法）

注：

当zs时，K为方阵，可当作定理使用；

13•①、对矩阵仏”，存在0绅，=0心）=加、0的列向量线性无关；

②、对矩阵Amxn,存在代柿，PA=E“oz*（A）f、P的行向量线性无关；

14.©

a，…‘乞线性相关

O存在一组不全为0的数何也，…人,使得g+g+…+5=0成立；

（定义）

004…切”2=。

有非零解，即心"

申丿

…,系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15•设加"

的矩阵A的秩为「，贝心元齐次线性方程组山=0的解集S的秩为：

r（S）=n-r；

16•若zf为心"

的一个解，金，…，爲为心=0的一个基础解系，则八―…线

性无关；

5、相似矩阵

1.正交矩阵=E或（定义）,性质：

1、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即也•=£

可（门=1,2,."

）；

[0I^J

2、若A为正交矩阵，则也为正交阵，且|A|=±

1；

3、若A、〃正交阵，则AB也是正交阵；

注意：

求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2.施密特正父化：

（網,勺,…,匕）

—3

22也,bj

3、对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关;

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4、写出二次型矩阵，化标准型

5、将一个实对称矩阵相似化为一个对角矩阵