集合中常见的几类问题.docx

1、集合中常见的几类问题集合中常见的几类问题题型 1：元素的互异性常见出错点：求出参数范围忘记带回检验，导致增根1、已知 A=a+2 ，（ a+1 ）2，a 2+3a+3 且 1A，求实数 a 的值；2、已知 M=2 ， a， b，N=2a ，2，b2且 M=N ，求 a，b 的值.集合元素的“三性”及其应用3、 设x2（ 2） 1， R，求中所有元素之和已知集合 A a, a b, a2b ， B a, ac,ac 2，若 A B ，求 c 的值4、已知集合 A 2 ，3, a 2 +4 a +2 ， B0,7,求a 值题型 2、有限集之间的关系用韦恩图a 2 +4 a -2,2- a ，且 A

2、 B=3,7,1、全集 U=x|x10 ，xN ，A U，B U，且（C U B）A=1,9 ，AB=3 ，（ CU A)(C U B)=4,6,7 ，求 A、B。题型 3：证明、判断两集合的关系1、 设集合 A a | a3n 2, n Z，集合 Bb | b3k 1,k Z，试判断集合 A 、B 的关系。题型 4、无限集之间的关系用数轴2、集合 A=x|x-3| a，a0，B=x|x 2-3x+2 0 ，且 B A，则实数 a 的取值范围是 .搞不清楚是否能取得边界值：例题 3、A=x|x10 ，B=x|x1m 且 B A，求 m 的范围.题型 5、集合之间的关系（在方程、不等式中的考查）

3、 常见出错点：1、集合的关系判断中遗忘空集的情况2、集合所表示的是点集还是数集（点集多从图形的角度去考虑）3、集合中所涉及到的方程或不等式最高次数如果是字母要讨论 0 的情况1、设集合 Ax x 23x 20 ， Bx x 22(a1) x(a 2 5) 0（1）若 A B2 ，求实数 a 的值；（2）若 A BA，求实数 a 的取值范围若 A B 2 。2、集合 A x | ax1 0, B x | x23x 2 0,且 A B B ,求实数 a 的值.3、 A x, y| x2y2 42， B x, y | x 3y 4 2 r 2，其中 r 0 ,若 A B 求 r 的取值范围。4、已知

4、集合 A x | 2 x 5 ， B x | m1 x 2m1 ，满足 B A ，则实数 m 的取值范围为 .5、已知集合 Ax|x2 6x80， Bx |（ x a）（x3a） 0.（1） 若 A B，求 a 的取值范围；（2） 若 AB ，求 a 的取值范围；（3） 若 ABx|3x 4，求 a 的值或取值范围 .6. 已知集合 Ax|mx22x 3 0，mR.（1） 若 A 是空集，求 m 的取值范围；（2） 若 A 中只有一个元素，求 m 的值；（3） 若 A 中含有两个元素，求 m 的取值范围 .题型六：补集思想的应用例 1 已知集合 A=y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)

5、0,B=y|y2-6y+8 0，若 AB， 求实数 a 的取值范围。例 2、若下列三个方程： x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0 中至少有一个方程有实根，试求实数 a 的取值范围。二、集合中的创新题考查1、新运算问题例 1 定义集合 A 与 B 的运算： AB x|xA，或 xB，且 x AB，已知集合 A1，2，3，4， B3，4，5，6， 7，则(AB)B 为( )(A) 1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7 (B) 1，2，3，4 (C) 1 ， 2 (D) 3 ，4，5，6，7例 2 M，P 是两非空集合，定义 M 与 P 的差集为

6、M Px|xM 且 x P，则 M(MP)= （ ）(A) P (B) MP (C) MP (D) M 2、元素或集合的个数问题例 3 设 P3，4，5 ，Q4， 5， 6， 7，定义 PQ(a， b)|aP， bQ，则 P Q 中元素的个数为 ( )(A) 3 (B) 4 (C) 7 (D) 12例 4 设M ，P 是两个非空集合，定义 M 与 P 的差集为 M Px|xM 且 x P已知 A1，3，5，7， B2，3，5 ，则集合 AB 的子集个数为 ( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 43、理想配集问题 例 5 设 I1， 2， 3， 4，A 与 B 是 I 的子集，若 A

7、 B1，3，则称（A、B）为一个“理想配集”那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定（ A、B）与（ B、A）是两个不同的“理想配集”）( )A 4 B8 C 9 D164、元素的和问题 例 6 定义集合 A，B 的一种运算： A*Bx|xx1x2，其中x1A，x2B ，若 A1 ，2，3，B1 ，2，则 A*B 中的所有元素之和为 ( )(A) 9 (B) 14 (C) 18 (D) 215、集合的分拆问题例 7 若集合 A1 、A2 满足 A1 A2 =A，则称（ A1 ，A2 ）为集合 A 的一个分拆，并规定：当且仅当 A1 =A2 时，（A1 ，A2）与（ A 2，A1）为集合 A

8、的同一种分拆，则集合 A=a1,a2,a3 A.27 B.26 C.9 D.86、集合长度问题例 8 设数集 M x |mxm 3 ，Nx|n41 xn，且 M、N 都是集合 x|03x1的子集，如果把 b a 叫做集合 x|axb的“长度，”那么集合 M N 的“长度”的最小值是( )(A)1 (B) 2 (C) 1 (D) 53 3 12 127、集合组成的数集例 9 设 S 为复数集 C 的非空子集 .若对任意 x, y S ，都有 x y,x y,xy S ，则称 S 为封闭集。下列命题：集合 Sabi| a,b 为整数， i 为虚数单位 为封闭集；若 S 为封闭集，则一定有 0 S；

9、封闭集一定是无限集；若 S 为封闭集，则满足 S T C 的任意集合 T 也是封闭集 .其中真命题是 （写出所有真命题的序号）1. 设 A 是整数集的一个非空子集，对于 k A ，如果 k 1称k 是 A 的一个“孤立元”A ，且 k 1A ，那么给定 S1 ，2 ，3，4 ，5 ，6 ，7 ，8，由 S 的3 个元素构成的所有集合中， 不含“孤立元”的集合共有 个62. 对于各数互不相等的正数数组i1,i 2 , , in （ n 是不小于 2 的正整数），如果在 p q时有 i p iq ，则称“ip 与iq ”是该数组的一个“顺序，”一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”例如

10、，数组 2,4,3,1 中有顺序“2, 4 ”，“2, 3 ”， 其“顺序数”等于2 若各数互不相等的正数数组“顺序数”是 6a1 ,a2 , a3, a4 , a5的“顺序数”是4 ，则a5a, 4,a3,a2a, 1 的3. 对于任意两个正整数，定义运算（用 表示运算符号）：当 m ， n 都 是 正 偶 数 或 都 是 正 奇 数 时 ， m n m n ， 例 如4 6 4 6, 13 7 3 7 ；当 m ， n 中 一个 为正 偶数 ， 另 一 个为 正 奇 数时 ， m n m n ， 例 如3 4 3 4 12在上述定义中， 集合M a ，b| a b12，a ，b N*的元素

11、有 个154. 设集合S A 0 ,A1 ,A 2 ,A 3 ,A4 , A5，在 S 上定义运算“”为：AiAj Ak ，其中k 为 i j 被 4 除的余数，i , j0,1,2,3,4,5则满足关系式( x x)A2 A0 的x ( x S)的个数有 个 35. 实数集 R 中定义一种运算“*，”具有性质： 对任意 a, b R, a * b b * a ； 对任意 a R, a *0 a ； 对任意a, b,c R,( a*b) *c c *(ab) (a *c) (b *c) 2c ；*则 0*2 26. 给定集合 An1,2,3,., n， n N 若 f 是 AnAn 的映射，且

12、满足： 任取 i , j An , 若i j ，则f (i )f ( j ) ； 任取 m An , 若m 2 ，则有 m f (1), f (2),.,f (m) 则称映射 f 为 An An 的一个“ 优映射”例如：用表 1 表示的映射 f ： A3表 1i 1 2 3A3 是一个“ 优映射”表 2i 1 2 3 4f (i )2 3 1f ( i ) 3 已 知 f ： A4 A4 是一个“优映射”，请把表 2 补充完整（只需填出一个满足条件的映射）i 1 2 3 4或i 1 2 3 4f (i )2 3 1 4f (i )2 3 4 17. 定义映射 fA B ，其中A m，n| m

13、，n R， B R 已知对所有的有序正整数对 m ，n 满足下述条件： f m ，1 1 ； 若m n ， f m，n 0 ； f m则 f 3, 21, n n f m, n f m, n 1的值是 ；68. 已知f (1,1) 1 ，f ( m, n)N * （ m 、 n N*)，且对任意 m 、 n N * 都有： f (m, n 1)f (m, n) 2 ；f (m1,1) 2 f(m,1) 给出以下三个结论：（1）f (1,5) 9 ；（2）f (5,1) 16 ；（ 3）f (5, 6) 26 其中正确的个数为（ A ）（A） 3 （B） 2 （ C） 1 （D） 09. 下图展

14、示了一个由区间 0 ，1 到实数集 R 的映射过程： 区间 0 ，1 中的实数 m 对应数轴上的点 M ，如图 1； 将线段 AB 围成一个圆，使两端点 A、 B 恰好重合，如图 2； 再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在 y 轴上，点 A 的坐标为0 ，1，如图 3图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点N n ，0，则 m 的象就是 n ，记作 f m n A M ByAA(B) M0 m 1 MN O x图 1 图 2 图 3 方程 f x0 的解是 x ； 12 下列说法中正确命题的序号是 （填出所有正确命题的序号） f 1 1； f x 是奇函数； f x 在定义域上单调递增；

15、4f x 的图象关于点 1 ,02对称10. 若集合 A 具有以下性质： 0 A ， 1A ； 若 x, yA ，则 x yA ，且 x0 时， 1 A x则称集合 A 是“好集”分别判断集合并说明理由B = -1,0,1，有理数集 Q 是否是“好集，”11. 若集合A a1, a2 ,L, ak ( k2) ，其中 aiZ (i1, 2, L, k ) ，由 A 中的元素构成两个相应的集合：S (a, b)a A, b A, a b A ， T( a, b)a A, b A, a b A 其中 ( a, b)性质 P 是有序数对若对于任意的 a A ，总有 a A ，则称集合 A具有检验集合

16、 0，1，2，3与 1，2，3是否具有性质 P 并对其中具有性质 P 的集合，写出相应的集合 S 和T 12. 已知数集 A a1, a2 , , an （ 1 a1 a2a jan ， n 2 ）具有性质 P ：对任意的 i 、 j (1i j n) ， ai a j 与两数中至少有一个属于 Aai分别判断数集 1,3,4 与 1,2,3,6 是否具有性质 P ，并说明理由 课后练习1、定义集合运算：A B z | z xy, x A, y B 设 A1,2 , B0,2，则集合 A B 的所有元素之和为（ ）A0； B 2； C3； D62. 定义集合运算 : A Bz x 2 yxy 2

17、 , xA, yB ,设集合 A1,0 , B2,3 ,则集合 A B 的所有元素之和为3. 设集合 Sx | x 23 ,Tx | a xa 8 , S TR ，则 a 的取值范围是（ ）A 3 a 1； B 3 a 1C a3 或a1 ； D a3 或a 14. 已知全集 U R ，集合 M x 2x 1 2 和 N x x2k 1, k1,2, 的关精品资料系的韦恩（ Venn ）图如图 1 所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A. 3 个 B. 2 个C. 1 个 D. 无穷多个7.已知集体 A=x|x 1,B=x| a,且 AB=R ，则实数 a 的取值范围是9. 满足 Ma1

18、, a2 , a3 , a4,且 Ma1, a2 , a3a1, a2的集合 M 的个数是 .10. 设全集 U= R,集合 M=x|x 1 或 x3, 集合 P=x| kx k 1, kR ，且 UM P ，则实数 k 的取值范围是 .11. 集合 A=x|x-3| a，a0， B=x|x 2-3x+2 0 ，且 B A，则实数 a 的取值范围是 .12. 已知集合 A=x|mx 2 -2x+3=0 ，mR.（1）若 A 是空集，求 m 2）若 A 中只有一个元素，求 m 的值；（3）若 A 中至多只有一个元素，求 m 的取值范围 .1 设 S,T, 是 R 的两个非空子集 ,如果存在一个从

19、 S 到 T 的函数 y f ( x) 满足: (i )T f ( x) | x S;(ii )对任意x1, x2S, 当 x1x2 时,恒有f ( x1 )f ( x2 ),那么称这两个集合 “ 保序同构 ”.以下集合对不是 “保序同构 ”的是( )A. A N* , B NB. A x | 1 x3, B x| x8或0x 10C. A x | 0x 1,B R D.A Z , B Q2 设常数 a R ,集合 A x | (x1)( x a) 0, B x | x a1 ,若 A B R ,则a的取值范围为 ( )(A) ( ,2) (B) ( , 2 (C) (2, ) (D) 2,

20、)3 （ 2013 年 山 东 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 已 知 集 合 A =0,1,2, 则 集 合B x y x,A y中A 元素的个数是(A) 1 (B) 3 (C)5 (D)94 （2013 年）设集合 A1,2,3 , B4,5 , M x | x a b, a A,b B, 则 M 中的元素个数为 ( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)65设整数 n4 ,集合 X1,2,3, , n .令集合S x, y, z| x, y, z X , 且三条件x y z, y z x, z x y恰有一个成立 , 若x, y, z 和z, w, x 都在 S 中,则下列选项正确的是 ( )A . y, z, w S,x, y, w S B.y, z, w S ,x, y, w SC. y, z, w S,x, y, w S D.y, z, w S ,x, y, w S6 （ 2013 年 重 庆 数 学 （ 理 ） ） 对 正 整 数 n , 记I 1,2,3, , n , P m m I , k I .m m m mk(1) 求集合 P7 中元素的个数 ;(2) 若Pm 的子集 A 中任意两个元素之和不是整数的平方 ,则称 A 为“ 稀疏集”.求n 的最大值 ,使 Pm 能分成两人上不相交的稀疏集的并 .