集合中常见的几类问题.docx
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集合中常见的几类问题
集合中常见的几类问题
题型1：
元素的互异性
常见出错点：
求出参数范围忘记带回检验，导致增根
1、已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A，求实数a的值；
2、已知M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N，求a，b的值.
集合元素的“三性”及其应用
3、设Ａ＝｛ｘ∣x2
＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂR｝，求Ａ中所有元素之和．
已知集合A
{a,ab,a
2b}，B
{a,ac,ac2}
，若AB，求c的值
4、已知集合A{2，3,a2+4a+2}，B＝{0,7,
求a值
题型2、有限集之间的关系用韦恩图
a2+4a-2,2-a}，且AB={3,7},
1、全集U={x|x<10，x∈N}，AU，BU，且（CUB）∩A={1,9}，A∩B={3}，
（CUA）∩（CUB）={4,6,7}，求A、B。
题型3：
证明、判断两集合的关系
1、设集合A
{a|a
3n2,nZ}，集合B
{b|b
3k1,kZ}，试判断集合A、
B的关系。
题型4、无限集之间的关系用数轴
2、集合A={x||x-3|＜a，a＞0}，B={x|x2-3x+2＜0}，且BA，则实数a的取值范围是.
搞不清楚是否能取得边界值：
例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m或x>1＋m}且BA，求m的范围.
题型5、集合之间的关系（在方程、不等式中的考查）常见出错点：
1、集合的关系判断中遗忘空集的情况
2、集合所表示的是点集还是数集（点集多从图形的角度去考虑）
3、集合中所涉及到的方程或不等式最高次数如果是字母要讨论0的情况
1、设集合A
xx2
3x2
0，B
xx2
2（a
1）
x
（a25）0
（1）若AB
2，求实数a的值；
（2）若AB
A，求实数a的取值范
围若AB2。
2、集合A
{x|ax
10}
Bx|x2
3x20
且ABB,求实数a的值.
3、Ax,y
|x2
y24
2
，Bx,y|x3
y42r2
，其中r0,
若AB求r的取值范围。
4、已知集合A
{x|2≤x≤5}，B
{x|m
1≤x≤2m
1}，满足BA，则
实数m的取值范围为.
5、已知集合A＝{x|x2－6x＋8＜0}，B＝{x|（x－a）（x－3a）＜0}.
（1）若AB，求a的取值范围；
（2）若A∩B＝，求a的取值范围；
（3）若A∩B＝{x|3＜x＜4}，求a的值或取值范围.
6.已知集合A＝{x|mx2－2x＋3＝0，m∈R}.
（1）若A是空集，求m的取值范围；
（2）若A中只有一个元素，求m的值；
（3）若A中含有两个元素，求m的取值范围.
题型六：
补集思想的应用
例1已知集合A={y|y2-（a2+a+1）y+a（a2+1）>0},B={y|y2-6y+8≤0}，若A∩B≠φ，求实数a的取值范围。
例2、若下列三个方程：
x2+4ax-4a+3=0,x2+（a-1）x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围。
二、集合中的创新题考查
1、新运算问题
例1定义集合A与B的运算：
A⊙B＝{x|x∈A，或x∈B，且xA∩B}，已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6，7}，则（A⊙B）⊙B为（）
（A）{1，2，3，4，5，6，7}（B）{1，2，3，4}（C）{1，2}（D）{3，4，5，6，7}
例2M，P是两非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M且xP}，则M
－（M－P）=（）
（A）P（B）M∩P（C）M∪P（D）M2、元素或集合的个数问题
例3设P＝{3，4，5}，Q＝{4，5，6，7}，定义P※Q＝{（a，b）|a∈P，b∈Q}，
则P※Q中元素的个数为（）
（A）3（B）4（C）7（D）12
例4设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为M－P＝{x|x∈M且xP}．已知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，5}，则集合A－B的子集个数为（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
3、理想配集问题例5设I＝{1，2，3，4}，A与B是I的子集，若AB＝{1，
3}，则称（A、B）为一个“理想配集．”那么符合此条件的“理想配集”的个数是（规定（A、B）与（B、A）是两个不同的“理想配集”）（）
A．4B．8C．9D．16
4、元素的和问题例6定义集合A，B的一种运算：
A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1，2，3}，B＝{1，2}，则A*B中的所有元素之和为（）
（A）9（B）14（C）18（D）21
5、集合的分拆问题
例7若集合A1、A2满足A1∪A2=A，则称（A1，A2）为集合A的一个分拆，并规定：
当且仅当A1=A2时，（A1，A2）与（A2，A1）为集合A的同一种分拆，则集合A={a1,a2,a3}
A.27B.26C.9D.8
6、集合长度问题
例8设数集M＝{x|m≤x≤m＋3}，N＝{x|n－
4
1≤x≤n}，且M、N都是集合{x|0≤
3
x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度，”那么集合M∩N的“长
度”的最小值是（）
（A）
1（B）2（C）1（D）5
331212
7、集合组成的数集
例9设S为复数集C的非空子集.若对任意x,yS，都有xy,xy,xyS，则称S为封闭集。
下列命题：
①集合S＝{a＋bi|a,b为整数，i为虚数单位}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0S；③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足STC的任意集合T也是封闭集.
其中真命题是（写出所有真命题的序号）
1.设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1
称k是A的一个“孤立元”．
A，且k1
A，那么
给定S
1，2，3，4，5，6，7，8
，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤
立元”的集合共有个．
6
2.对于各数互不相等的正数数组
i1,i2,,in（n是不小于2的正整数），如果在pq
时有ipiq，则称
“ip与iq”是该数组的一个“顺序，”一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺
序数”．
例如，数组2,4,3,1中有顺序“2,4”，“2,3”，其“顺序数”等于2．
若各数互不相等的正数数组“顺序数”是．6
a1,a2,a3,a4,a5
的“顺序数”是4，则
a5a,4,a3,a2a,1的
3.对于任意两个正整数，定义运算（用表示运算符号）：
当m，n都是正偶数或都是正奇数时，mnmn，例如
4646
13737；
当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mnmn，例如
34341．2
在上述定义中，集合
Ma，b
|ab
12，a，bN*
的元素有个．15
4.设集合
SA0,
A1,
A2,
A3,
A4,A5
，在S上定义运算“⊕”为：
Ai
AjAk，其中
k为ij被4除的余数，
i,j
0,1,2,3,4,5
．则满足关系式
（xx）
A2A0的
x（xS）
的个数有个．3
5.实数集R中定义一种运算“*，”具有性质：
①对任意a,bR,a*bb*a；
②对任意aR,a*0a；
③对任意
a,b,cR,（a*
b）
*
cc*（
ab）（a*
c）
（b*
c）2c；
*
则0*2．2
6.给定集合An
{1,2,3,...,n}
，nN．若f是An
An的映射，且满足：
⑴任取i,jAn,若ij，则
f（i）
f（j）；
⑵任取mAn,若m≥2，则有m{
f
（1）,f
（2）,..,
f（m）}．
则称映射f为AnAn的一个“优映射”．
例如：
用表1表示的映射f：
A3
表1
i123
A3是一个“优映射”．
表2
i1234
f（i）
231
f（i）3
⑴已知f：
A4A4是一个“优映射”，请把表2补充完整（只需填出一个
满足条件的映射）．
i1234
或
i1234
f（i）
2314
f（i）
2341
7.定义映射f∶AB，其中
Am，n
|m，nR
，BR．
已知对所有的有序正整数对m，n满足下述条件：
①fm，11；
②若mn，fm，n0；
③fm
则f3,2
1,nnfm,nfm,n1
的值是；6
8.已知
f（1,1）1，
f（m,n）
N*（m、nN*）
，且对任意m、nN*都有：
①f（m,n1）
f（m,n）2；②
f（m
1,1）2f
（m,1）．
给出以下三个结论：
（1）
f（1,5）9；
（2）
f（5,1）16；（3）
f（5,6）26．其中正确的个数为（A）
（A）3（B）2（C）1（D）0
9.下图展示了一个由区间0，1到实数集R的映射过程：
⑴区间0，1中的实数m对应数轴上的点M，如图1；
⑵将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；
⑶再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为
0，1
，如图3．
图3中直线AM与x轴交于点
Nn，0
，则m的象就是n，记作fmn．
AMB
y
A
A（B）M
0m1M
NOx
图1图2图3
⑴方程fx
0的解是x；1
2
⑵下列说法中正确命题的序号是．③④（填出所有正确命题的序号）
①f11；②fx是奇函数；③fx在定义域上单调递增；④
4
fx的图象关于点1,0
2
对称．
10.．若集合A具有以下性质：
①0A，1
A；②若x,y
A，则xy
A，且x
0时，1A．x
则称集合A是“好集．”分别判断集合并说明理由．
B={-
1,0,1}
，有理数集Q是否是“好集，”
11.．若集合
Aa1,a2,L
ak（k
2）
，其中ai
Z（i
1,2,L
k），由A中的元素
构成两个相应的集合：
S（a,b）
aA,bA,abA，T
（a,b）
aA,bA,abA．
其中（a,b）
性质P．
是有序数对．若对于任意的aA，总有aA，则称集合A具有
检验集合0，1，2，3
与1，2，3
是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写
出相应的集合S和T．
12.．已知数集Aa1,a2,,an（1a1a2
aj
an，n2）具有性质P：
对任意的i、j（1
ijn），aiaj与
两数中至少有一个属于A．
ai
分别判断数集1,3,4与1,2,3,6是否具有性质P，并说明理由．课后练习
1、定义集合运算：
ABz|zxy,xA,yB．设A
1,2,B
0,2
，则集
合AB的所有元素之和为（）
A．0；B．2；C．3；D．6
2.定义集合运算:
AB
zx2y
xy2,x
A,y
B,设集合A
1,0,B
2,3,
则集合AB的所有元素之和为
3.设集合S
x|x2
3,T
x|ax
a8,ST
R，则a的取值范围是
（）
A．3a1；B．3a1
C．a
3或a
1；D．a
3或a1
4.已知全集UR，集合M
{x2
x12}和N
{xx
2k1,k
1,2,}的关
精品资料
系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
（）
A.3个B.2个
C.1个D.无穷多个
7.已知集体A={x|x≤1},B={x|≥a},且A∪B=R，则实数a的取值范围是
9.满足M
a1,a2,a3,a4
且M
a1,a2,a3
a1,a2
的集合M的个数是.
10.设全集U=R,集合M={x|x≤1或x≥3},集合P=
x|k
xk1,k
R，且UMP≠，则实
数k的
取值范围是.
11.集合A={x||x-3|＜a，a＞0}，B={x|x2-3x+2＜0}，且BA，则实数a的取值范围是.
12.已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m∈R}.
（1）若A是空集，求m2）若A中只有一个元素，求m的值；
（3）若A中至多只有一个元素，求m的取值范围.
1．设S,T,是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数yf（x）满
足:
（i）T
{f（x）|xS};（
ii）
对任意
x1,x2
S,当x1
x2时,恒有
f（x1）
f（x2）
那么
称这两个集合“保序同构”.以下集合对不是“保序同构”的是（）
A.AN*,BN
B.A
{x|1x
3},B
{x|x
8或0
x10}
C.A
{x|0
x1},
BRD.
AZ,BQ
2．设常数aR,集合A
{x|（x
1）（xa）0},B
{x|xa
1},若ABR,则a
的取值范围为（）
（A）（,2）（B）（,2]（C）（2,）（D）[2,）
3．（2013年山东数学（理）试题）已知集合A={0,1,2},则集合
Bxyx
Ay
中A元素的个数是
（A）1（B）3（C）5（D）9
4．（2013年）设集合A
1,2,3,B
4,5,Mx|xab,aA,bB
则M中
的元素个数为（）
（A）3（B）4（C）5（D）6
5设整数n
4,集合X
1,2,3,,n.令集合
Sx,y,z
|x,y,zX,且三条件
xyz,yzx,zxy恰有一个成立,若
x,y,z和
z,w,x都在S中,则下列选项正确的是（）
A.y,z,wS,
x,y,wSB.
y,z,wS,
x,y,wS
C.y,z,wS,
x,y,wSD.
y,z,wS,
x,y,wS
6．（2013年重庆数学（理））对正整数n,记
I1,2,3,,n,PmmI,kI.
mmmm
k
（1）求集合P7中元素的个数;
（2）若
Pm的子集A中任意两个元素之和不是．．整数的平方,则称A为“稀疏集”.求
n的最大值,使Pm能分成两人上不相交的稀疏集的并.
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