最新高等数学下册期末考试试题含答案QO.docx

1、最新高等数学下册期末考试试题含答案QO2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）一、解答题1矩型一边长a=10cm，另一边长b=24cm, 当a边增加4mm，而b边缩小1mm时，求对角线长的变化.解：设矩形对角线长为l，则当x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1时，(cm)故矩形的对角线长约增加0.062cm.2求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：;解： 以代入上式得，故所求特解为 .解：以x=1,y=0代入上式，得.故所求特解为 .3利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：(1)星形线x = acos3t，y = asin3t2ex2；(2)双纽线r2 = a22

2、cos2；(3)圆x2+y2 = 2ax解：(1)(2)利用极坐标与直角坐标的关系x=rcos，y=rsin得，从而xdy-ydx=a2cos2d于是面积为：(3)圆x2+y2=2ax的参数方程为故4计算对坐标的曲线积分：(1)，为x2+y2+z2=1与y=z相交的圆，方向按曲线依次经过第、封限；(2)，为x2+y2+z2=1在第封限部分的边界曲线，方向按曲线依次经过xOy平面部分，yOz平面部分和zOx平面部分解:(1)： 即其参数方程为： t：02故：(2)如图11-3所示图11-3=1+2+31： t：0，故又根据轮换对称性知5证明: 本章关于散度的基本性质(1)(3).解：略。6在下列

3、各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：证：方程两端对x求导：得代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.证：方程两端对x求导： ()得.()式两端对x再求导得将代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.7选用适当的坐标计算下列三重积分：(1) ，其中为柱面及平面z = 1, z = 0, x = 0, y = 0所围成的第I卦限内的闭区域；(2) ,其中是由球面所围成的闭区域;(3) ,其中是由曲面及平面z = 5所围成的闭区域；(4) ，其中由不等式所确定。解：（1）积分区闭如图10-51所示.利用柱面坐标计算，在柱面坐标系下表示为：图10-51,0r1，0z1,故本题也可采用直

4、角坐标计算，在直角坐标系下，可表示为：故 (2)积分区域如图10-52所示。用球面坐标计算，在球面坐标系下可表示为：图10-52故(3) 积分区域如图10-53所示。利用柱面坐标计算，在柱面坐标系下，可表示为：图10-53故(4) 积分区域如图10-54所示。利用球面坐标计算，在球面坐标系下，可表示为：图10-54故8如果三重积分的被积函数f(x, y, z)是三个函数f1(x), f2(y), f3(z)的乘积，即f(x ,y, z)=f1(x)f2(y)f3(z)，积分区域为axb，cyd, lzm，证明,这个三重积分等于三个单积分的乘积，即证：9化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是：

5、(1)由双曲抛物面x y = z及平面x+y-1= 0, z=0所围成的闭区域；(2)由曲面z = x2+y2及平面z = 1所围成的闭区域；(3)由曲面z = x2+2y2及z = 2-x2 所围成的闭区域;(4)由曲面c z = x y (c0)，所围成的第I卦限内的闭区域。解：(1)积分区域如图10-38所示，图10-38可表示为：故 (2)积分区域如图10-39所示。图10-39可表示为：故 (3)由消去z得即，所以在xOy面的投影区域为x2+y21，如图10-40所示。图10-40可表示为：-1x1, , x2+2y2z2-x2故(4)积分区域如图10-41所示。可表示为：图10-4

6、1故10计算下列二重积分：(1) (2) D由抛物线y2 = x,直线x=0与y=1所围；(3) D是以O(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)为顶点的三角形;(4) .解：（1）(2) 积分区域D如图10-12所示.图10-12D可表示为：所示(3) 积分区域D如图10-13所示.图10-13D可表示为：所以11设空间有n个点，坐标为,试在xOy面上找一点，使此点与这n个点的距离的平方和最小。解：设所求点为P（x,y,0），则此点与n个点的距离的平方和为解方程组得驻点又在点处Sxx=2n=A, Sxy=0=B, Syy=2n=CB2-AC=-4n20取得最小值.故在点处，S取得最小值.即所

7、求点为.12抛物面z = x2+y2被平面x+y+z =1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。解：设椭圆上的点为P（x,y,z），则|OP|2=x2+y2+z2.因P点在抛物面及平面上，所以约束条件为z=x2+y2， x+y+z=1设F（x,y,z）= x2+y2+z2+1(z-x2-y2)+2(x+y+z-1)解方程组得 由题意知，距离|OP|有最大值和最小值，且.所以原点到椭圆的最长距离是，最短距离是.13在平面xOy上求一点，使它到x=0, y=0及x+2y-16=0三直线距离的平方之和为最小。解：设所求点为P(x,y)，P点到x=0的距离为|x|,到y=0的距离为|y|，到直线

8、x+2y-16=0的距离为距离的平方和为由得唯一驻点,因实际问题存在最小值，故点即为所求。14求下各微分方程的通解：;解： 得相应齐次方程的通解为令特解为,代入原方程得,解得, 故,故原方程通解为 .;解：对应齐次方程通解为 令, 代入原方程得比较等式两边系数得则 故方程所求通解为 .;解：,对应齐次方程通解为 令代入原方程得解得 则 故所求通解为 .;解：相应齐次方程的通解为令，代入原方程并整理得得 则 故所求通解为 .;解：相应齐次方程通解为 令代入原方程得得 则 故所求通解为 .解：对应齐次方程通解为 令代入原方程得故原方程通解为 .15解：因为圆锥体的体积为而时，16一向量的起点是P1

9、（4，0，5），终点是P2（7，1，3），试求：（1） 在各坐标轴上的投影； （2） 的模；（3） 的方向余弦； （4） 方向的单位向量.解：（1）(2) (3) .(4) .17求下列函数的全微分：(1); (2);(3); (4).解：(1)(2) (3)(4)18设z = x ln ( x y)，求及.解：19求曲线在点（2，4，5）处的切线与正向x轴所成的倾角.解：设切线与正向x轴的倾角为,则tan=1. 故=.20一动点离点（2，0，-3）的距离与离点（4，-6，6）的距离之比为3，求此动点的轨迹方程.解：设该动点为M(x,y,z)，由题意知化简得：8x2+8y2+8z2-68x+1

10、08y-114z+779=0即为动点的轨迹方程.21建立以点（1，3，-2）为中心，且通过坐标原点的球面方程.解：球的半径为设(x,y,z)为球面上任一点，则(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0为所求球面方程.22决定参数k的值，使平面x+ky-2z=9适合下列条件：（1）经过点（5，-4，6）； （2） 与平面2x-3y+z=0成的角.解：（1） 因平面过点（5，-4，6）故有 5-4k-26=9得k=-4.（2） 两平面的法向量分别为n1=1,k,-2 n2=2,-3,1且解得23求过(1,1,-1), (-2,-2,2)和（1，-1，2）

11、三点的平面方程.解：由平面的三点式方程知代入三已知点，有化简得x-3y-2z=0即为所求平面方程.24设平面过点(1,2,-1)，而在x轴和z轴上的截距都等于在y轴上的截距的两倍，求此平面方程.解：设平面在y轴上的截距为b则平面方程可定为又(1,2,-1)在平面上，则有得b=2.故所求平面方程为25已知三点A(2,4,1), B(3,7,5), C(4,10,9)，证：此三点共线.证明：,显然则故A，B，C三点共线.26（1）解: 则若共面，则有后与是垂直的.从而 反之亦成立.（2）由行列式性质可得:故27已知a =3i+2j-k, b =i-j+2k,求：(1) ab; (2) 2a7b;(

12、3) 7b2a; (4) aa.解：（1） (2) (3) (4) .28已知四点A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量在向量上的投影.解：=3，-2，-6，=6，2，329求出向量a= i +j+k, b=2i-3j+5k和c =-2i-j+2k的模，并分别用单位向量来表达向量a, b, c.解：30设f具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数：(1) (2)(3)解：(1)(2)(3)【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、解答题1无2无3无4无5无6无7无8无9无10无11无12无13无14无15无16无17无18无19无20无21无22无23无24无25无26无27无28无29无30无